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带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是高中物理的重点，也是高考的热点.此类问题涉及圆心的确定、半径和周期及运动时间的计算等。若匀强磁场发生周期性变化，则需要注意条件变化的限制。现举两例，与同学们分享。
例1在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图l甲所示。磁场的磁感应强度B（图像中的B。未知）随时间t的变化情况如图1乙所示。该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点。在t=0时刻，有一个质量为m、电荷量为 q的小球（可看成质点），从M点开始沿着水平直线以速度v0向右做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点。经观测发现，小球在2t0至3t0。时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点。不考虑地磁场的影响，则（）。
A.电场强度E的大小为
B.小球运动的周期为4t0
C.小球运动的周期为6t0
D.小球运动的周期为8t0
解析：小球从M点沿直线匀速运动到N点时，由受力平衡知qE=mg，解得E=，选项A正确。小球从M点到N点所用时间为t0，小球在t0～2t0时间内经过3/4个圆周到达P点，小球在2t0～3t0时问内匀速向卜-运动且经过D点，小球在3f。～4t。，时间内经过3/4个圆周，小球在4t0～5t0。时间内匀速向左运动，小球在5t0～6t0时间内经过3/4个圆周，小球在6t0～7t0时间内匀速向上运动，小球在7t0～8t0时间内经过3/4个圆周且回到M点，轨迹如图2所示，所以小球的运动周期T= 8t0，选项B、C错误，D正确。答案为AD。
点评：本题中的电场始终存在且静电力与重力大小相等、方向相反，而磁场周期性地变化，磁场不存在时带电小球做匀速直线运动，磁场存在时带电小球做匀速圆周运动。解答该类问题有两个关键点，一是带电小球做匀速圆周运动的周期与磁场变化的周期相关联，二是画出带电小球运动的轨迹草图，且轨迹图具有周期性，借助图像进行直观分析。
例2 如图3甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图3乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、y轴正方向为电场强度的正方向）。在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0方向沿y轴正方向的带负电粒子（不计重力）。已知v0、t0B0、E0，且，粒子的比荷，x轴上有一点A，坐标为（，o）。
（1）求 时粒子的位置坐标。
（2）求粒子在运动过程中偏离x轴的最大距离。
（3）粒子经多长时间经过A点？
解析：（1）在0～t0。时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得，解得，周期。则在时间内粒子转过的圆心角，所以在时，粒子的位置坐标为
（2）在t0～20时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图4所示。有，解得。在20～30时间内，粒子做匀速圆周运动，半径r2=2r1=，故粒子偏离x轴的最大距离
（3）粒子在xoy平面内做周期性运动的运动周期为4t0。，粒子在一个周期内向右运动的距离d=2r1，A、O间的距离为，所以粒子运动至A点所需的时间t=32t0。
点评：本题中的电场和磁场均做周期性变化，但细心观察会发现电场和磁场并不同时存在。只存在磁场时带电粒子做匀速圆周运动，只存在电场时带电粒子做匀变速直线运动，其轨迹具有周期性和对称性。根据画出的轨迹草图从宏观上把握粒子的运动特点，并在粒子运动的每个阶段分别应用对应的物理规律，这样该类问题便可迎刃而解。
跟踪训练
1.如图5甲所示，在直角坐标系O≤x≤L的区域内有沿z轴正方向的匀强电场，电场区域右侧有一个圆心在x轴上、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N。现有一质量为m，带电荷量为e的正电子（重力忽略不计），从y轴上的A点以速度v0。沿y轴负方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，此时正电子的速度方向与x轴的夹角为30°。同时，在圆形区域加如图5乙所示的周期性变化磁场，以垂直于纸面向里为磁场正方向。正电子在运动一段时间后于t=2T时刻从N点飞出，且此时正电子的速度方向与其进入磁场时的速度方向相同。则（）。
A.匀强电场场强E的大小为
B.匀强电场场强E的大小为
c.磁感应强度B。的大小为
D.磁感应强度B。的大小为
2.如图6甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O’且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图6乙所示（规定垂直于纸面向里的磁场方向为正方向）。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射人磁场。已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受的重力。求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）若正离子从O’孔垂直于N板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨迹并求出该最短时间；
（3）要使正离子从O’孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0。的可能值。
参考答案：1.BC
2.（1）；（2）如图7所示，tmin=T0；（3）v0=。
例1在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图l甲所示。磁场的磁感应强度B（图像中的B。未知）随时间t的变化情况如图1乙所示。该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点。在t=0时刻，有一个质量为m、电荷量为 q的小球（可看成质点），从M点开始沿着水平直线以速度v0向右做匀速直线运动，t0时刻恰好到达N点。经观测发现，小球在2t0至3t0。时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点。不考虑地磁场的影响，则（）。
A.电场强度E的大小为
B.小球运动的周期为4t0
C.小球运动的周期为6t0
D.小球运动的周期为8t0
解析：小球从M点沿直线匀速运动到N点时，由受力平衡知qE=mg，解得E=，选项A正确。小球从M点到N点所用时间为t0，小球在t0～2t0时间内经过3/4个圆周到达P点，小球在2t0～3t0时问内匀速向卜-运动且经过D点，小球在3f。～4t。，时间内经过3/4个圆周，小球在4t0～5t0。时间内匀速向左运动，小球在5t0～6t0时间内经过3/4个圆周，小球在6t0～7t0时间内匀速向上运动，小球在7t0～8t0时间内经过3/4个圆周且回到M点，轨迹如图2所示，所以小球的运动周期T= 8t0，选项B、C错误，D正确。答案为AD。
点评：本题中的电场始终存在且静电力与重力大小相等、方向相反，而磁场周期性地变化，磁场不存在时带电小球做匀速直线运动，磁场存在时带电小球做匀速圆周运动。解答该类问题有两个关键点，一是带电小球做匀速圆周运动的周期与磁场变化的周期相关联，二是画出带电小球运动的轨迹草图，且轨迹图具有周期性，借助图像进行直观分析。
例2 如图3甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图3乙、丙所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、y轴正方向为电场强度的正方向）。在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0方向沿y轴正方向的带负电粒子（不计重力）。已知v0、t0B0、E0，且，粒子的比荷，x轴上有一点A，坐标为（，o）。
（1）求 时粒子的位置坐标。
（2）求粒子在运动过程中偏离x轴的最大距离。
（3）粒子经多长时间经过A点？
解析：（1）在0～t0。时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力得，解得，周期。则在时间内粒子转过的圆心角，所以在时，粒子的位置坐标为
（2）在t0～20时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图4所示。有，解得。在20～30时间内，粒子做匀速圆周运动，半径r2=2r1=，故粒子偏离x轴的最大距离
（3）粒子在xoy平面内做周期性运动的运动周期为4t0。，粒子在一个周期内向右运动的距离d=2r1，A、O间的距离为，所以粒子运动至A点所需的时间t=32t0。
点评：本题中的电场和磁场均做周期性变化，但细心观察会发现电场和磁场并不同时存在。只存在磁场时带电粒子做匀速圆周运动，只存在电场时带电粒子做匀变速直线运动，其轨迹具有周期性和对称性。根据画出的轨迹草图从宏观上把握粒子的运动特点，并在粒子运动的每个阶段分别应用对应的物理规律，这样该类问题便可迎刃而解。
跟踪训练
1.如图5甲所示，在直角坐标系O≤x≤L的区域内有沿z轴正方向的匀强电场，电场区域右侧有一个圆心在x轴上、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N。现有一质量为m，带电荷量为e的正电子（重力忽略不计），从y轴上的A点以速度v0。沿y轴负方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，此时正电子的速度方向与x轴的夹角为30°。同时，在圆形区域加如图5乙所示的周期性变化磁场，以垂直于纸面向里为磁场正方向。正电子在运动一段时间后于t=2T时刻从N点飞出，且此时正电子的速度方向与其进入磁场时的速度方向相同。则（）。
A.匀强电场场强E的大小为
B.匀强电场场强E的大小为
c.磁感应强度B。的大小为
D.磁感应强度B。的大小为
2.如图6甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O’且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图6乙所示（规定垂直于纸面向里的磁场方向为正方向）。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射人磁场。已知正离子质量为m，带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受的重力。求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）若正离子从O’孔垂直于N板射出磁场所用的时间最短，请画出其运动轨迹并求出该最短时间；
（3）要使正离子从O’孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0。的可能值。
参考答案：1.BC
2.（1）；（2）如图7所示，tmin=T0；（3）v0=。