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一、问题的缘起与“变异理论”视角
“商不变规律”这一内容是小学数学教学的难点之一。为了提升这一内容的教学效果，可以“变异理论”为指导思想，明晰教学内容的关键属性，重视学生的相关经验，设计相应的教学环节，并根据具体情景的“变”与“不变”，把握变异维度，以引导学生审辨教学内容的关键属性。
二、行动研究方案与教学设计
本研究采用合作的行动研究方法，由小学数学教师和研究者组成合作团队，在确定研究主题、设计教学、实施教学和学生测试等过程中相互协作、共同探讨。
1.实验班的教学过程
实验班教师以“变异理论”为指导设计教学环节，具体有三步。
（1）内容分析
“商不变规律”这一内容包括两个层面的教学。一是规则学习。“商不变规律”，即“被除数和除数同乘或除相同的数（0除外），商不变”。该规则揭示了除法运算中，商、被除数和除数之间大小变化关系的特殊规律。二是技能学习。“商不变规律”简化除法运算有两个方法：一是缩倍法（被除数和除数的末尾都有零时，当它们同除以10或10的整倍数，可简化为划掉被除数和除数末尾相同个数的零），二是扩倍法（除数为5、25或125时，被除数和除数同时乘以2、4或8，以使除数凑成整10、100或1 000）。
（2）学情分析
一是大部分学生对除法运算法则已灵活掌握，并能由商的限定条件推断被除数和除数。二是解释算式之间的规律时，一部分学生回答错误或未回答，另一部分学生能说出局部规律。三是在观察规律时，学生写的算式多是循着逐渐扩大的顺序，较少考虑到逐渐缩小的情况。
（3）教学过程
其一，认识“商不变规律”。
一是导入“商不变算式”。
猴王准备把6个桃子平均分给2只小猴，小猴嫌太少；猴王又准备把12个桃平均分给4只小猴，小猴还嫌太少；猴王准备把60个桃子平均分给20只小猴，小猴觉得占了大便宜，开心地笑了，猴王也笑了。请问，猴王为什么笑？
学生：猴王很聪明。
教师：你怎么知道？
学生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20还等于3。
（教师板书：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）
教师：观察这几个算式，它们有什么共同之处？
学生：它们的商一样。
（教师板书：商不变）
二是归纳“商不变规律”。
教师：我们试着分析，在这些算式中被除数和除数怎样变化，商才不变呢？
（学生四人一组展开讨论，之后全班交流与总结。教师提示先分析前两个算式。）
学生：被除数比前一个算式扩大2倍，除数也比前一个算式扩大2倍，商不变。
教师：扩大2倍，采用运算的形式如何表示？
学生：乘以2。
教师：就是说，被除数乘以2，除数也乘以2，商不变。那么，我们可以把乘除的情况综合起来简洁表述吗？
学生：被除数和除数乘以（或除以）2、5或10，商不变。（此时学生未提及“同时”）
教师：乘以或除以其他数也可以吗？
学生：换成其他数，商也不变。（此时学生未意识到零的特殊性）
教师：我们能不能把它们再归纳为更简洁的一句话呢？
学生：被除数和除数乘以（或除以）相同的数，商不变。
这样，学生用“一个数”“共同的数”或“相同的数”来替代那些具体数值，归纳出“商不变规律”的主要内容，但没有审辨出“同时”和“0除外”这两个要素。
三是完善“商不变规律”。
教师通过正反例对比的变异图式，既巩固已归纳的要点，又引导学生看到前面的归纳还不完善，即需要补充两点（“同时”和“0除外），并强调这两个关键属性。
（12×3）÷（3×3）正例
（12×2）÷（3×4）反例
（12 9）÷（3 9）反例
（12÷6）÷（3×6）反例
（12×0）÷（3×0）反例
其二，运用“商不变规律”简化除法运算。
在复习“商不变规律”这一内容后，教师呈现两个新的教学内容：一是缩倍法简算，二是扩倍法简算。教学重点在于引导学生审辨这两种方法的适用条件和操作方法。
一是缩倍法。
教师：这里有两道题，你可否运用“商不变规律”，口算出结果？
（教师板书：2400÷1200= 24000÷12000= ）
（有几个学生迅速说出答案）
教师：他们是怎么算的？为什么这么快？请大家分小组讨论一下这两题的简算方法。
（教师巡视，并对有困难的学生给予指导，然后全班交流。）
学生：做第一道题，我们的方法是，把被除数和除数都除以100，结果等于2。做第二道题，我们的方法是，把被除数和除数都划掉1000个0，商不变。
教师：这两题有什么共同点？什么情况下可以用去零法或缩倍法简化运算？
学生：被除数和除数都有0。
教师：0在什么位置呢？
学生：在数的末尾。
教师：很好，请大家完成这组练习。
（教师板书：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）
在这组练习题的第2、3、4题中，被除数和除数末尾零的个数不同。起初，不少学生未能审辨这一差别，只是一味地将末尾所有零划去。后来，学生发现了问题（划去零的个数不同违背了“商不变规律”），进而意识到：必须分辨末尾零的个数，以确保被除数和除数划去的末尾零的个数相同。
二是扩倍法。
由于学生自己探究扩倍法简算的难度较大，所以采用课本上的例子作为导入示范。
教师：请大家看课本第76页的“观察与思考”，注意“400÷25”的运算过程，从中你发现了什么？
学生：运用了“商不变规律”，被除数和除数同时乘以4，商不变。
教师：为什么要乘以4？
学生：使除数变成100，再算除法就简单了。
教师：你能用这样的方法简便计算下面各题吗？
（教师板书：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）
在这组练习题中，第1题可采用“乘以4”的方法简算；第2题的除数是5，可把被除数和除数都乘以2，这样，除数变为10，从而简化运算；第3题的除数是125，可把被除数和除数都乘以8，这样，除数变为1 000，从而简化运算。这组练习题的关键在于除数。当除数是5、25和125时，为了简算，应把除数分别乘以2、4和8，以使除数变为10、100和1 000。当然，被除数也要乘以相同的数。
2.对照班的教学过程
对照班的教学过程也紧紧围绕“商不变规律”这一内容展开，与实验班的教学过程相比，它有四个不同之处：一是强调了“商不变规律”的关键要素，但未通过“变”与“不变”的教学情景逐一突出其属性；二是设计的教学情景与“商不变规律”这一内容的联系不够紧密；三是强调“相同的数”可以是任何数（包括除不尽的情况），引发学生的不解；四是技能教学只列举了几个例子，变异图式不够完整。
三、研究结果分析
教学后的测验表明，实验班与对比班的学生对“商不变规律”这一内容均已基本理解，但实验班学生对这一规律的理解更全面、清晰，并能熟练掌握这一规律简算除法。于是，我们总结出两个体会。一是关于“商不变规律”这一内容，应将整体表述与细节分析相结合，以使学生对规律的细节有深刻的理解和有力的把握。二是关于知识技能的运用，需要专门而有效的教学设计。在“变异理论”指导下，知识技能的教学强调了情景的识别和方法的判断，这对知识技能的习得和今后的迁移变通具有积极的促进作用。
（作者单位：1.北京市海淀区八里庄小学 2.北京师范大学教育学部）
（责任编辑：梁金）
“商不变规律”这一内容是小学数学教学的难点之一。为了提升这一内容的教学效果，可以“变异理论”为指导思想，明晰教学内容的关键属性，重视学生的相关经验，设计相应的教学环节，并根据具体情景的“变”与“不变”，把握变异维度，以引导学生审辨教学内容的关键属性。
二、行动研究方案与教学设计
本研究采用合作的行动研究方法，由小学数学教师和研究者组成合作团队，在确定研究主题、设计教学、实施教学和学生测试等过程中相互协作、共同探讨。
1.实验班的教学过程
实验班教师以“变异理论”为指导设计教学环节，具体有三步。
（1）内容分析
“商不变规律”这一内容包括两个层面的教学。一是规则学习。“商不变规律”，即“被除数和除数同乘或除相同的数（0除外），商不变”。该规则揭示了除法运算中，商、被除数和除数之间大小变化关系的特殊规律。二是技能学习。“商不变规律”简化除法运算有两个方法：一是缩倍法（被除数和除数的末尾都有零时，当它们同除以10或10的整倍数，可简化为划掉被除数和除数末尾相同个数的零），二是扩倍法（除数为5、25或125时，被除数和除数同时乘以2、4或8，以使除数凑成整10、100或1 000）。
（2）学情分析
一是大部分学生对除法运算法则已灵活掌握，并能由商的限定条件推断被除数和除数。二是解释算式之间的规律时，一部分学生回答错误或未回答，另一部分学生能说出局部规律。三是在观察规律时，学生写的算式多是循着逐渐扩大的顺序，较少考虑到逐渐缩小的情况。
（3）教学过程
其一，认识“商不变规律”。
一是导入“商不变算式”。
猴王准备把6个桃子平均分给2只小猴，小猴嫌太少；猴王又准备把12个桃平均分给4只小猴，小猴还嫌太少；猴王准备把60个桃子平均分给20只小猴，小猴觉得占了大便宜，开心地笑了，猴王也笑了。请问，猴王为什么笑？
学生：猴王很聪明。
教师：你怎么知道？
学生：算一下就知道。6除以2 等于3，12除以4等于3，60除以20还等于3。
（教师板书：6÷2=3 12÷4 =3 60÷20=3）
教师：观察这几个算式，它们有什么共同之处？
学生：它们的商一样。
（教师板书：商不变）
二是归纳“商不变规律”。
教师：我们试着分析，在这些算式中被除数和除数怎样变化，商才不变呢？
（学生四人一组展开讨论，之后全班交流与总结。教师提示先分析前两个算式。）
学生：被除数比前一个算式扩大2倍，除数也比前一个算式扩大2倍，商不变。
教师：扩大2倍，采用运算的形式如何表示？
学生：乘以2。
教师：就是说，被除数乘以2，除数也乘以2，商不变。那么，我们可以把乘除的情况综合起来简洁表述吗？
学生：被除数和除数乘以（或除以）2、5或10，商不变。（此时学生未提及“同时”）
教师：乘以或除以其他数也可以吗？
学生：换成其他数，商也不变。（此时学生未意识到零的特殊性）
教师：我们能不能把它们再归纳为更简洁的一句话呢？
学生：被除数和除数乘以（或除以）相同的数，商不变。
这样，学生用“一个数”“共同的数”或“相同的数”来替代那些具体数值，归纳出“商不变规律”的主要内容，但没有审辨出“同时”和“0除外”这两个要素。
三是完善“商不变规律”。
教师通过正反例对比的变异图式，既巩固已归纳的要点，又引导学生看到前面的归纳还不完善，即需要补充两点（“同时”和“0除外），并强调这两个关键属性。
（12×3）÷（3×3）正例
（12×2）÷（3×4）反例
（12 9）÷（3 9）反例
（12÷6）÷（3×6）反例
（12×0）÷（3×0）反例
其二，运用“商不变规律”简化除法运算。
在复习“商不变规律”这一内容后，教师呈现两个新的教学内容：一是缩倍法简算，二是扩倍法简算。教学重点在于引导学生审辨这两种方法的适用条件和操作方法。
一是缩倍法。
教师：这里有两道题，你可否运用“商不变规律”，口算出结果？
（教师板书：2400÷1200= 24000÷12000= ）
（有几个学生迅速说出答案）
教师：他们是怎么算的？为什么这么快？请大家分小组讨论一下这两题的简算方法。
（教师巡视，并对有困难的学生给予指导，然后全班交流。）
学生：做第一道题，我们的方法是，把被除数和除数都除以100，结果等于2。做第二道题，我们的方法是，把被除数和除数都划掉1000个0，商不变。
教师：这两题有什么共同点？什么情况下可以用去零法或缩倍法简化运算？
学生：被除数和除数都有0。
教师：0在什么位置呢？
学生：在数的末尾。
教师：很好，请大家完成这组练习。
（教师板书：8400÷400= 36000÷1200= 2000÷500= 72000÷600= 8080÷80= ）
在这组练习题的第2、3、4题中，被除数和除数末尾零的个数不同。起初，不少学生未能审辨这一差别，只是一味地将末尾所有零划去。后来，学生发现了问题（划去零的个数不同违背了“商不变规律”），进而意识到：必须分辨末尾零的个数，以确保被除数和除数划去的末尾零的个数相同。
二是扩倍法。
由于学生自己探究扩倍法简算的难度较大，所以采用课本上的例子作为导入示范。
教师：请大家看课本第76页的“观察与思考”，注意“400÷25”的运算过程，从中你发现了什么？
学生：运用了“商不变规律”，被除数和除数同时乘以4，商不变。
教师：为什么要乘以4？
学生：使除数变成100，再算除法就简单了。
教师：你能用这样的方法简便计算下面各题吗？
（教师板书：300÷25= 340÷5= 4000÷125= ）
在这组练习题中，第1题可采用“乘以4”的方法简算；第2题的除数是5，可把被除数和除数都乘以2，这样，除数变为10，从而简化运算；第3题的除数是125，可把被除数和除数都乘以8，这样，除数变为1 000，从而简化运算。这组练习题的关键在于除数。当除数是5、25和125时，为了简算，应把除数分别乘以2、4和8，以使除数变为10、100和1 000。当然，被除数也要乘以相同的数。
2.对照班的教学过程
对照班的教学过程也紧紧围绕“商不变规律”这一内容展开，与实验班的教学过程相比，它有四个不同之处：一是强调了“商不变规律”的关键要素，但未通过“变”与“不变”的教学情景逐一突出其属性；二是设计的教学情景与“商不变规律”这一内容的联系不够紧密；三是强调“相同的数”可以是任何数（包括除不尽的情况），引发学生的不解；四是技能教学只列举了几个例子，变异图式不够完整。
三、研究结果分析
教学后的测验表明，实验班与对比班的学生对“商不变规律”这一内容均已基本理解，但实验班学生对这一规律的理解更全面、清晰，并能熟练掌握这一规律简算除法。于是，我们总结出两个体会。一是关于“商不变规律”这一内容，应将整体表述与细节分析相结合，以使学生对规律的细节有深刻的理解和有力的把握。二是关于知识技能的运用，需要专门而有效的教学设计。在“变异理论”指导下，知识技能的教学强调了情景的识别和方法的判断，这对知识技能的习得和今后的迁移变通具有积极的促进作用。
（作者单位：1.北京市海淀区八里庄小学 2.北京师范大学教育学部）
（责任编辑：梁金）