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摘 要：基于Banach不动点定理，通过构造积分算子和GREEN函数，研究了如下两点分数阶微分方程边值问题
解的存在性。当函数满足不同的条件时，通过证明积分算子的有关性质，结合Banach不动点定理，能够证明出该分数阶微分方程至少存在一个解的充分条件。在这里f是一个连续的函数，λ是实数。
关键词：分数阶微分方程 分数阶导数 解的存在性 不动点定理
中图分类号：O177 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）02（b）-0242-04
The Existence of Solution for Fractional Differential Equation
ZHANG Yanhui* GUO Rui
（College of Science， Shihezi University， Shihezi， Xinjiang Uygur Autonomous Region， 832003 China）
Abstract： Based on Banach fixed point theorem， by constructing integral operator and GREEN function， the following two-point fractional differential equation boundary value problems are studied， The existence of solutions.When the function satisfies different conditions， the sufficient conditions for the existence of at least one solution of the fractional differential equation can be proved by proving some properties of the integral operator and combining with the Banach fixed point theorem. Here f is a continuous function， λ is a real number.
Key Words： Fractional differential equation; Fractional derivative; Existence of solution; Fixed point theorem
分数阶微积分是一种经典的微积分，在声学、热力系统和力学中起着重要的作用。此外，在其他科学领域，比如光学、流变学、材料、信号处理和控制理论等方面也扮演着重要的角色，关于分数阶边值问题已经有许多研究成果[1-6]，受文献[7]的启发，该文研究下面的分数阶微分方程的边值问题解的存在性。
（1）
式中是Riemann-Liouville型α阶导数。
1 预备知识
定义1[8]：令，那么Riemann-Liouville分数阶积分定义如下：
该积分右端在上逐点有定义，这里的*表示卷积，表示Gamma函数并且
定义2：令，，那么Riemann-Liouville分数阶导数定义如下：
注释：
是包含了上所有的连续函数的Banach空间，空间上函数f的范数定义为：
是包含了上所有的连续函数的Lebesgue可积空间。
如果，则存在，并且
，是正数集合。
引理3[9]：假设且，
则：
引理4：令，則是的唯一解，其中C∈R。
引理5[10]：E是Banach空间，是E的非空有界闭凸子集，是紧的且连续，则T在C中至少有一个不动点。
引理6：假设是连续的，方程（1）的等价积分方程为：
贯穿整篇文章，我们会用到以下假设。
（H1）关于t是有界函数，也就是说，存在，使得有成立。
（H2）存在，使得
有成立。
2 主要结果
在这一部分中，我们将证明方程（1）的解是存在的。如果是方程（1）的解，则：
其中是Green函数，定义为：
这里。
另外，我们还须考虑序列：
其中
接下来，定义算子，即：
。
定理2.1：算子T是连续的。
证明：由假设（H2），有：
则
另外，
对于（j=0，1，2，…有
由Euler积分，，特别的，
。通过变量替换，令，则 可得：
所以：
因此，可得：
即，T是连续的。
定理2.2 T是紧的。
证明： （1）T是等度连续的。
令，则：
当，所以，T是等度连续的。
T是一致有界的，即是有界集。
所以，
因此，T是一致有界的。 综上所述，由Arzela-Ascoli定理可知，T是紧的。
定理2.3 是一致紧序列。
证明：当时，。因此是基序列。假设，是的子序列，则：
当。当所以是收敛的，即是收敛的。
综上所述，是一致紧序列。
另外，当时，有，即是方程（1）的解。
定理4 假设（H1）和（H2）都成立，则方程（1）至少有一个解。
证明：由定理1和2、引理5可知，方程（1）有不动点，换句话说，方程（1）至少有一个解。
3 结语
该文运用不动点定理解决了微分方程两点边值问题，笔者也会去考虑如果把边界条件换成积分边界条件能否解决该问题。
参考文献
[1] Lachouri Adel， Abdelouaheb Ardjouni， and Ahcene Djoudi. Positive solutions of a fractional integro-differential equation with integral boundary conditions[J].Communications in Optimization Theory，2020，1-9.
[2] Etemad Sina， Shahram Rezapour， and Fethiye Muge Sakar. On a fractional Caputo–Hadamard problem with boundary value conditions via different orders of the Hadamard fractional operators[J].Advances in Difference Equations，2020（1）：1-20.
[3] Hamida Salim， Hamid Boulares， Abdelouaheb Ardjouni. Positive solutions for nonlinear caputo-hadamard fractional differential equations[J]. Surveys in Mathematics and its Applications，2021（16）：31-42.
[4] 卓小密.帶p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性[D].湖南师范大学，2020.
[5] 薛婷婷.几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性[D].中国矿业大学，2020.
[6] 宋利梅.一类分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性[J].嘉应学院学报，2020，38（3）：1-5.
[7] Zhou Yong. Attractivity for fractional differential equations in Banach space[J].Applied Mathematics Letters，2017（75）： 1-6.
[8] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M].San Diego：Academic Press，1999：48-68.
[9] Kaufmann E， Mboumi E. Positive solutions of a boundary value problem for a nonlinear fractional differential equation[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2008（3）：1-11.
[10] Granas A，Dugundji J.Fixed point theory[M]. Springer Science and Business Media，2013：8-10.
解的存在性。当函数满足不同的条件时，通过证明积分算子的有关性质，结合Banach不动点定理，能够证明出该分数阶微分方程至少存在一个解的充分条件。在这里f是一个连续的函数，λ是实数。
关键词：分数阶微分方程 分数阶导数 解的存在性 不动点定理
中图分类号：O177 文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）02（b）-0242-04
The Existence of Solution for Fractional Differential Equation
ZHANG Yanhui* GUO Rui
（College of Science， Shihezi University， Shihezi， Xinjiang Uygur Autonomous Region， 832003 China）
Abstract： Based on Banach fixed point theorem， by constructing integral operator and GREEN function， the following two-point fractional differential equation boundary value problems are studied， The existence of solutions.When the function satisfies different conditions， the sufficient conditions for the existence of at least one solution of the fractional differential equation can be proved by proving some properties of the integral operator and combining with the Banach fixed point theorem. Here f is a continuous function， λ is a real number.
Key Words： Fractional differential equation; Fractional derivative; Existence of solution; Fixed point theorem
分数阶微积分是一种经典的微积分，在声学、热力系统和力学中起着重要的作用。此外，在其他科学领域，比如光学、流变学、材料、信号处理和控制理论等方面也扮演着重要的角色，关于分数阶边值问题已经有许多研究成果[1-6]，受文献[7]的启发，该文研究下面的分数阶微分方程的边值问题解的存在性。
（1）
式中是Riemann-Liouville型α阶导数。
1 预备知识
定义1[8]：令，那么Riemann-Liouville分数阶积分定义如下：
该积分右端在上逐点有定义，这里的*表示卷积，表示Gamma函数并且
定义2：令，，那么Riemann-Liouville分数阶导数定义如下：
注释：
是包含了上所有的连续函数的Banach空间，空间上函数f的范数定义为：
是包含了上所有的连续函数的Lebesgue可积空间。
如果，则存在，并且
，是正数集合。
引理3[9]：假设且，
则：
引理4：令，則是的唯一解，其中C∈R。
引理5[10]：E是Banach空间，是E的非空有界闭凸子集，是紧的且连续，则T在C中至少有一个不动点。
引理6：假设是连续的，方程（1）的等价积分方程为：
贯穿整篇文章，我们会用到以下假设。
（H1）关于t是有界函数，也就是说，存在，使得有成立。
（H2）存在，使得
有成立。
2 主要结果
在这一部分中，我们将证明方程（1）的解是存在的。如果是方程（1）的解，则：
其中是Green函数，定义为：
这里。
另外，我们还须考虑序列：
其中
接下来，定义算子，即：
。
定理2.1：算子T是连续的。
证明：由假设（H2），有：
则
另外，
对于（j=0，1，2，…有
由Euler积分，，特别的，
。通过变量替换，令，则 可得：
所以：
因此，可得：
即，T是连续的。
定理2.2 T是紧的。
证明： （1）T是等度连续的。
令，则：
当，所以，T是等度连续的。
T是一致有界的，即是有界集。
所以，
因此，T是一致有界的。 综上所述，由Arzela-Ascoli定理可知，T是紧的。
定理2.3 是一致紧序列。
证明：当时，。因此是基序列。假设，是的子序列，则：
当。当所以是收敛的，即是收敛的。
综上所述，是一致紧序列。
另外，当时，有，即是方程（1）的解。
定理4 假设（H1）和（H2）都成立，则方程（1）至少有一个解。
证明：由定理1和2、引理5可知，方程（1）有不动点，换句话说，方程（1）至少有一个解。
3 结语
该文运用不动点定理解决了微分方程两点边值问题，笔者也会去考虑如果把边界条件换成积分边界条件能否解决该问题。
参考文献
[1] Lachouri Adel， Abdelouaheb Ardjouni， and Ahcene Djoudi. Positive solutions of a fractional integro-differential equation with integral boundary conditions[J].Communications in Optimization Theory，2020，1-9.
[2] Etemad Sina， Shahram Rezapour， and Fethiye Muge Sakar. On a fractional Caputo–Hadamard problem with boundary value conditions via different orders of the Hadamard fractional operators[J].Advances in Difference Equations，2020（1）：1-20.
[3] Hamida Salim， Hamid Boulares， Abdelouaheb Ardjouni. Positive solutions for nonlinear caputo-hadamard fractional differential equations[J]. Surveys in Mathematics and its Applications，2021（16）：31-42.
[4] 卓小密.帶p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题解的存在性[D].湖南师范大学，2020.
[5] 薛婷婷.几类带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的可解性[D].中国矿业大学，2020.
[6] 宋利梅.一类分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性[J].嘉应学院学报，2020，38（3）：1-5.
[7] Zhou Yong. Attractivity for fractional differential equations in Banach space[J].Applied Mathematics Letters，2017（75）： 1-6.
[8] Podlubny I. Fractional Differential Equations[M].San Diego：Academic Press，1999：48-68.
[9] Kaufmann E， Mboumi E. Positive solutions of a boundary value problem for a nonlinear fractional differential equation[J].Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations，2008（3）：1-11.
[10] Granas A，Dugundji J.Fixed point theory[M]. Springer Science and Business Media，2013：8-10.