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物理学中经常会涉及用圆的相关知识求解的问题，可以说物理与圆有着不解之缘.本文通过几个具体的实例，简要说明圆在求解物理疑难问题中的巧妙应用.
一、船渡河问题——最短航程问题
例1 某人划船，在静水中速度为v1，若他在流速为v2的河中行驶（v1
图1解析：因为v1 点评：船的划行方向与船头指向一致（即v1的方向），而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向.解答此类问题要分清合运动和分运动的关系（即等时性、独立性、等效性），运用运动的合成和分解知识求解.
二、连带运动问题——最值速度问题
例2 如图2所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L.现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角）.此过程中下述说法正确的是（ ）
图2 图3（A） 重物M做匀速直线运动
（B） 重物M做匀变速直线运动
（C） 重物M的最大速度为ωL
（D） 重物M的速度先增大后减小
解析：C点的速度垂直于杆，大小为ωL，它可以分解为沿绳方向的速度v1和垂直于绳的分速度v2，如图3所示，v1等于物体M上升的速度，v1与v的夹角为α，v1=vcosα.在杆转动过程中，∠OCA由钝角变为锐角，所以当绳与杆垂直时（即v1与v方向一致时，α=0°），物体的速度有最大值为ωL.或者以O为圆心，以L为半径画圆，设AO的长度为h，过A点作圆弧的切线，当AO与CO垂直时（绳与杆垂直时），由三角函数知，cosθ=Lh，物体的速度有最大值.所以正确选项为（C）（D）.
点评：考查运动的分解方法，合速度是物体实际运动速度，根据实际效果进行分解.上述两例如用数学知识求解非常繁杂，涉及正弦定理、导数求极值或三角函数求最值等知识，给学生带来复杂的计算，但是如果运用画圆采用数形结合法，则能起到出奇制胜、事半功倍的效果.
三、“等时圆” 的拓展应用——比较时间
图4例3 如图4所示，pa、pb、pc是竖直面内三根固定的光滑细杆，p、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周最高点，c点为最低点，O为圆心.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出）.三个滑环都从p点无初速度释放，用t1，t2，t3依次表示滑环到达a，b，c所用的时间，则（ ）
（A） t1=t2=t3 （B） t1>t2>t3
（C） t1t1>t2
解析：粗看时感觉无从下手，找不到彼此间的关系.但是如果能想到“等时圆”模型，顿时豁然开朗，迎刃而解.那么何为“等时圆”呢？有什么结论呢？先看下面问题：如图5所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点.每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为零），用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
（A） t1t2>t3
（C） t3>t1>t2（D） t1=t2=t3
分析：选任一小滑环为研究对象，其受力如图6所示，设圆的直径为D，细杆与水平方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，连接a、c，则∠C=90°，所以细杆的长度为x=Dsinθ.
图5 图6 设下滑时间为t，则x=12at2，由以上三式得：t=2Dg.可见，滑环下滑时间与细杆的倾角无关，正确选项为（D）.
由此可以得到如下结论：
①物体沿着位于同一竖直圆上的不同光滑弦由静止下滑，滑至圆周最低点的用时都相等.
②物体从同一竖直圆的最高点由静止沿不同的光滑弦下滑，滑至圆周上各点的用时都相等.上述结论中所涉及的竖直圆称之为“等时圆”.将上述结论应用于解题，能避烦就简、出奇制胜.
接例3解析：分别从P点作三个竖直圆， 为竖直直径的顶点，使得三杆分别为三个圆的弦长，如图7所示，不难看出a杆所在竖直圆直径最长，根据以上结论②可以选出正确选项为（B）.
图7应用数学工具解决物理问题的能力是高考重点考查的解题能力之一.从以上几例不难看出，圆在物理解题中起着相当重要的作用，恰当地使用可以起到事半功倍的效果，提高解题效益，而且有的问题若不借助于圆的话，解起来相当复杂.因此，在平时的教学活动中，要注意灵活运用数学知识解决物理疑难问题，多角度、全方位地锻炼学生运用数学工具解决物理问题的能力.
浙江省宁波市鄞州区正始中学（315131）
一、船渡河问题——最短航程问题
例1 某人划船，在静水中速度为v1，若他在流速为v2的河中行驶（v1
图1解析：因为v1 点评：船的划行方向与船头指向一致（即v1的方向），而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向.解答此类问题要分清合运动和分运动的关系（即等时性、独立性、等效性），运用运动的合成和分解知识求解.
二、连带运动问题——最值速度问题
例2 如图2所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L.现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平（转过了90°角）.此过程中下述说法正确的是（ ）
图2 图3（A） 重物M做匀速直线运动
（B） 重物M做匀变速直线运动
（C） 重物M的最大速度为ωL
（D） 重物M的速度先增大后减小
解析：C点的速度垂直于杆，大小为ωL，它可以分解为沿绳方向的速度v1和垂直于绳的分速度v2，如图3所示，v1等于物体M上升的速度，v1与v的夹角为α，v1=vcosα.在杆转动过程中，∠OCA由钝角变为锐角，所以当绳与杆垂直时（即v1与v方向一致时，α=0°），物体的速度有最大值为ωL.或者以O为圆心，以L为半径画圆，设AO的长度为h，过A点作圆弧的切线，当AO与CO垂直时（绳与杆垂直时），由三角函数知，cosθ=Lh，物体的速度有最大值.所以正确选项为（C）（D）.
点评：考查运动的分解方法，合速度是物体实际运动速度，根据实际效果进行分解.上述两例如用数学知识求解非常繁杂，涉及正弦定理、导数求极值或三角函数求最值等知识，给学生带来复杂的计算，但是如果运用画圆采用数形结合法，则能起到出奇制胜、事半功倍的效果.
三、“等时圆” 的拓展应用——比较时间
图4例3 如图4所示，pa、pb、pc是竖直面内三根固定的光滑细杆，p、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周最高点，c点为最低点，O为圆心.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出）.三个滑环都从p点无初速度释放，用t1，t2，t3依次表示滑环到达a，b，c所用的时间，则（ ）
（A） t1=t2=t3 （B） t1>t2>t3
（C） t1t1>t2
解析：粗看时感觉无从下手，找不到彼此间的关系.但是如果能想到“等时圆”模型，顿时豁然开朗，迎刃而解.那么何为“等时圆”呢？有什么结论呢？先看下面问题：如图5所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点.每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为零），用t1，t2，t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）
（A） t1t2>t3
（C） t3>t1>t2（D） t1=t2=t3
分析：选任一小滑环为研究对象，其受力如图6所示，设圆的直径为D，细杆与水平方向的夹角为θ，由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，连接a、c，则∠C=90°，所以细杆的长度为x=Dsinθ.
图5 图6 设下滑时间为t，则x=12at2，由以上三式得：t=2Dg.可见，滑环下滑时间与细杆的倾角无关，正确选项为（D）.
由此可以得到如下结论：
①物体沿着位于同一竖直圆上的不同光滑弦由静止下滑，滑至圆周最低点的用时都相等.
②物体从同一竖直圆的最高点由静止沿不同的光滑弦下滑，滑至圆周上各点的用时都相等.上述结论中所涉及的竖直圆称之为“等时圆”.将上述结论应用于解题，能避烦就简、出奇制胜.
接例3解析：分别从P点作三个竖直圆， 为竖直直径的顶点，使得三杆分别为三个圆的弦长，如图7所示，不难看出a杆所在竖直圆直径最长，根据以上结论②可以选出正确选项为（B）.
图7应用数学工具解决物理问题的能力是高考重点考查的解题能力之一.从以上几例不难看出，圆在物理解题中起着相当重要的作用，恰当地使用可以起到事半功倍的效果，提高解题效益，而且有的问题若不借助于圆的话，解起来相当复杂.因此，在平时的教学活动中，要注意灵活运用数学知识解决物理疑难问题，多角度、全方位地锻炼学生运用数学工具解决物理问题的能力.
浙江省宁波市鄞州区正始中学（315131）