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函数值域是函数知识的一个重要内容,也是高考中重点考查的内容之一,本文归纳出函数值域的通常求法,以培养学生的发散思维和归纳概括能力,并会用函数的值域解决实际应用问题. 一般从以下三方面出题:求函数的值域､函数的综合性题目､运用函数的值域解决实际问题. 第一类问题主要利用求函数值域的常用方法:配方法､分离变量法､单调性法､图像法､换元法､不等式法等. 无论用什么方法求函数的值域,都必须考虑函数的定义域. 第二类问题主要考查函数值域､单调性､奇偶性､反函数等一些基本知识相结合的题目,此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力. 第三类问题的关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决,此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力. 以下举例说明.
例1 设m是实数,记M = {m|m > 1},f(x) = log3x2 - 4mx + 4m2 + m +.
① 证明:当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M .
② 当m∈M时,求函数f(x)的最小值.
③ 求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解 ① 先将f(x)变形:
f(x) = log3(x - 2m)2 + m +.
当m∈M时,m > 1,
∴ (x - m)2 + m + > 0恒成立,
故f(x)的定义域为R .
反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须x2 - 4mx + 4m2 + m + > 0,令Δ < 0,即16m2 - 44m2 + m + < 0,解得m > 1,故m∈M.
② 设u = x2 - 4mx + 4m2 + m +.
∵ y = log3u是增函数,
∴当u最小时,f(x)最小 .
而u = (x - 2m)2 + m +,
显然,当x = m时,u取最小值为m +,
此时f(2m) = log3m +为最小值.
③ 当m∈M时,m + = (m - 1) + + 1 ≥ 3,当且仅当m = 2时等号成立 .
∴ log3m + ≥ log33 = 1.
例2 已知函数f(x) = ,x∈[1,+∞),
① 当a =时,求函数f(x)的最小值.
② 若对任意x∈[1,+∞),f(x) > 0恒成立,试求实数a的取值范围.
本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力 .
(1) 知识依托:本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想 . (2) 错解分析:考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
(3) 技巧与方法:
解 ① 当a = 时,f(x) = x + + 2.
∵ f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴ f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1) =.
② 解法一 在区间[1,+∞)上,
f(x) = > 0恒成立 ?圳 x2 + 2x + a > 0恒成立.
设y = x2 + 2x + a,x∈[1,+∞).
∵ y = x2 + 2x + a = (x + 1)2 + a - 1递增,
∴当x = 1时,ymin = 3 + a,当且仅当ymin = 3 + a > 0时,函数f(x) > 0恒成立,故a > -3.
此解法运用了转化思想,把f(x) > 0转化为关于x的二次不等式.
解法二 f(x) = x + + 2,x∈[1,+∞).
当a ≥ 0时,函数f(x)的值恒为正;
当a < 0时,函数f(x)递增,
故当x = 1时,f(x)min = 3 + a;当且仅当f(x)min = 3 + a > 0时,函数f(x) > 0恒成立,故a > -3.
此解法运用分类讨论思想解得.
例3 设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ < 1),画面的上､下各留8 cm的空白,左右各留5 cm的空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈ , ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所学知识解决实际问题的能力.
(1) 知识依托:主要依据函数概念､奇偶性和最小值等基础知识.
(2) 错解分析:证明s(λ)在区间 , 上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
(3) 技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解 设画面高为x(cm),宽为λx(cm),则λx2 = 4840.
设纸张面积为S(cm2),
则S = (x + 16)(λx + 10) = λx2 + (16λ + 10)x + 160.
将x =代入上式得:
S = 5000 + 44 8 +.
当8=,即λ = < 1时S取得最小值.
此时高:x = = 88 cm ,宽λx = × 88 = 55 cm.
如果λ∈ , ,可设≤ λ1 < λ2≤ ,
则由S的表达式得:
S(λ1) - S(λ2) =
448 + - 8 - =
44 (-)8-.
又 ≥ ≥,故8 - > 0,
∴ S(λ1) - S(λ2) < 0,
∴ s(λ)在区间 , 内单调递增,
从而对于λ∈ , ,当λ =时,S(λ)取得最小值.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
例1 设m是实数,记M = {m|m > 1},f(x) = log3x2 - 4mx + 4m2 + m +.
① 证明:当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M .
② 当m∈M时,求函数f(x)的最小值.
③ 求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1. 解 ① 先将f(x)变形:
f(x) = log3(x - 2m)2 + m +.
当m∈M时,m > 1,
∴ (x - m)2 + m + > 0恒成立,
故f(x)的定义域为R .
反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则只须x2 - 4mx + 4m2 + m + > 0,令Δ < 0,即16m2 - 44m2 + m + < 0,解得m > 1,故m∈M.
② 设u = x2 - 4mx + 4m2 + m +.
∵ y = log3u是增函数,
∴当u最小时,f(x)最小 .
而u = (x - 2m)2 + m +,
显然,当x = m时,u取最小值为m +,
此时f(2m) = log3m +为最小值.
③ 当m∈M时,m + = (m - 1) + + 1 ≥ 3,当且仅当m = 2时等号成立 .
∴ log3m + ≥ log33 = 1.
例2 已知函数f(x) = ,x∈[1,+∞),
① 当a =时,求函数f(x)的最小值.
② 若对任意x∈[1,+∞),f(x) > 0恒成立,试求实数a的取值范围.
本题主要考查函数的最小值以及单调性问题,着重于学生的综合分析能力以及运算能力 .
(1) 知识依托:本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围,体现了转化的思想与分类讨论的思想 . (2) 错解分析:考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
(3) 技巧与方法:
解 ① 当a = 时,f(x) = x + + 2.
∵ f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
∴ f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1) =.
② 解法一 在区间[1,+∞)上,
f(x) = > 0恒成立 ?圳 x2 + 2x + a > 0恒成立.
设y = x2 + 2x + a,x∈[1,+∞).
∵ y = x2 + 2x + a = (x + 1)2 + a - 1递增,
∴当x = 1时,ymin = 3 + a,当且仅当ymin = 3 + a > 0时,函数f(x) > 0恒成立,故a > -3.
此解法运用了转化思想,把f(x) > 0转化为关于x的二次不等式.
解法二 f(x) = x + + 2,x∈[1,+∞).
当a ≥ 0时,函数f(x)的值恒为正;
当a < 0时,函数f(x)递增,
故当x = 1时,f(x)min = 3 + a;当且仅当f(x)min = 3 + a > 0时,函数f(x) > 0恒成立,故a > -3.
此解法运用分类讨论思想解得.
例3 设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ < 1),画面的上､下各留8 cm的空白,左右各留5 cm的空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈ , ,那么λ为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所学知识解决实际问题的能力.
(1) 知识依托:主要依据函数概念､奇偶性和最小值等基础知识.
(2) 错解分析:证明s(λ)在区间 , 上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
(3) 技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解 设画面高为x(cm),宽为λx(cm),则λx2 = 4840.
设纸张面积为S(cm2),
则S = (x + 16)(λx + 10) = λx2 + (16λ + 10)x + 160.
将x =代入上式得:
S = 5000 + 44 8 +.
当8=,即λ = < 1时S取得最小值.
此时高:x = = 88 cm ,宽λx = × 88 = 55 cm.
如果λ∈ , ,可设≤ λ1 < λ2≤ ,
则由S的表达式得:
S(λ1) - S(λ2) =
448 + - 8 - =
44 (-)8-.
又 ≥ ≥,故8 - > 0,
∴ S(λ1) - S(λ2) < 0,
∴ s(λ)在区间 , 内单调递增,
从而对于λ∈ , ,当λ =时,S(λ)取得最小值.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”