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1.背景揭示
2011年的高考又近了.至自去年秋季开始，四川省进入了新一轮的课改.我们所选用的教材版本为人教A版，当我在教学中讲到必修4的第三章《三角恒等变换》中的第一课时突然回忆起去年的高考题.四川省在2010年的高考中对三角函数考查的19题出现了让人感觉到“奇”.原因是在（1）小问考查教材三角函数中对两角和的余弦公式的推导，这是继1992年全国高考试卷考查异面直线间距离公式推导后，再次出现在18年后的四川卷中，命题人用意明显，取向正确，重视知识的发生发展过程符合现在的新课改精神.
2.教学愿景
在准备这堂课之前的备课中，基于新课改中要求为了让学生学会自主探索、自我归纳总结的精神，且看到高考题对课本的回归，我决定对老教材中对此公式的证明也让学生在课堂上一并进行探究.
3.分组研究
由于时间的关系，要求每个学生把研究这个问题的三种方法在课堂上一一体现出来是不切实际的，我将全班学生分为3个小组，每组确定一个组长，第一组探讨老教材上的方法.第二组研究新教材中第一种当α，β，α-β均为锐角的情况.第三组探讨用向量方法.组长负责收集本组的探讨结论（注：由于本校学生按现实分类属于本县的二类生源，学生的整体水平有限，所以对待三种解题思路由老师和学生共同完成，具体实施则由学生完成）.
小组结论
（1）思路：对此问题的处理时用两点间的距离公式，先建立一直角坐标系xOy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3，角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，并引导学生用α，β，-β的三角函数标出点P1,P2,P3,P4的坐标.
第一组在根据老师和学生刚共同的思路充分利用单位圆、平面内两点的距离公式，并由距离等式|P1P3|=|P2P4|化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式（为节省篇幅详见旧人教版《数学》第一册下P34）.
（2）思路：借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α-β均为锐角时成立.第二组同学在此思路下也证明得到了公式（详见新人教版必修4P125-P126).
（3）思路：对于α，β为任意角的情况，运用向量的知识进行了探究.第三组在研究中遇到了“困难”，有学生认为向量的方法推导过程中的不严谨之处.老师在随后的点评中让学生补充了用向量的方法推导过程中有不严谨之处.这样，两角差的余弦公式便具有了一般性（详见新人教版必修4P125-P126).
注：在旧版中先得到的是两角和的余弦，而在新版中是先得到两角差的余弦.
4.随想综述
基于上述对相同知识不同的探讨方式进行对比和交流，学生感受到第三种推导过程的方法要容易得多.同时直观地让学生体会到了向量这个解题工具的简便.的确，向量作为一个解题工具在历年的高考题中是必不可少的，因为它的作用体现在：
（1）有利于培养学生数形结合的思想方法
向量集数与形于一身，它与生俱来就是数形结合的，既是代数研究对象，又是几何研究对象；既可以进行运算，又可以图形表示，它是数形结合思想方法的体现.所以，学习向量知识有利于培养学生数形结合的思想方法.
（2）向量的引入有利于拓宽解题思路
向量概念能够在数学中得到广泛的发展不是偶然的，这与它强大的工具性是离不开的.向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径，并且这种方法具有普遍性、广泛性、有效性.向量在数学问题解决中的作用，主要体现在几何问题和代数问题等.
正是这样把向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一的重要性体现了出来，把它作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具的作用体现了出来.解题方法新颖，思路清楚，容易想到，计算也较为简单，往往能使解题起到起死回生的效果，所以在我们今后的教学中应引起足够的重视.当然我的学生现在才高一，对待这个工具的实践运用今后可说是机会多多.
【参考文献】
［1］全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册(下）.人民教育出版社中学数学室，2003.
［2］普通高中课程标准实验教科书《数学4》必修A版.人民教育出版社课程教材研究所，2007.
［3］朱立青.向量的作用.山东教师教育网，2010.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
2011年的高考又近了.至自去年秋季开始，四川省进入了新一轮的课改.我们所选用的教材版本为人教A版，当我在教学中讲到必修4的第三章《三角恒等变换》中的第一课时突然回忆起去年的高考题.四川省在2010年的高考中对三角函数考查的19题出现了让人感觉到“奇”.原因是在（1）小问考查教材三角函数中对两角和的余弦公式的推导，这是继1992年全国高考试卷考查异面直线间距离公式推导后，再次出现在18年后的四川卷中，命题人用意明显，取向正确，重视知识的发生发展过程符合现在的新课改精神.
2.教学愿景
在准备这堂课之前的备课中，基于新课改中要求为了让学生学会自主探索、自我归纳总结的精神，且看到高考题对课本的回归，我决定对老教材中对此公式的证明也让学生在课堂上一并进行探究.
3.分组研究
由于时间的关系，要求每个学生把研究这个问题的三种方法在课堂上一一体现出来是不切实际的，我将全班学生分为3个小组，每组确定一个组长，第一组探讨老教材上的方法.第二组研究新教材中第一种当α，β，α-β均为锐角的情况.第三组探讨用向量方法.组长负责收集本组的探讨结论（注：由于本校学生按现实分类属于本县的二类生源，学生的整体水平有限，所以对待三种解题思路由老师和学生共同完成，具体实施则由学生完成）.
小组结论
（1）思路：对此问题的处理时用两点间的距离公式，先建立一直角坐标系xOy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3，角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，并引导学生用α，β，-β的三角函数标出点P1,P2,P3,P4的坐标.
第一组在根据老师和学生刚共同的思路充分利用单位圆、平面内两点的距离公式，并由距离等式|P1P3|=|P2P4|化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式（为节省篇幅详见旧人教版《数学》第一册下P34）.
（2）思路：借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α-β均为锐角时成立.第二组同学在此思路下也证明得到了公式（详见新人教版必修4P125-P126).
（3）思路：对于α，β为任意角的情况，运用向量的知识进行了探究.第三组在研究中遇到了“困难”，有学生认为向量的方法推导过程中的不严谨之处.老师在随后的点评中让学生补充了用向量的方法推导过程中有不严谨之处.这样，两角差的余弦公式便具有了一般性（详见新人教版必修4P125-P126).
注：在旧版中先得到的是两角和的余弦，而在新版中是先得到两角差的余弦.
4.随想综述
基于上述对相同知识不同的探讨方式进行对比和交流，学生感受到第三种推导过程的方法要容易得多.同时直观地让学生体会到了向量这个解题工具的简便.的确，向量作为一个解题工具在历年的高考题中是必不可少的，因为它的作用体现在：
（1）有利于培养学生数形结合的思想方法
向量集数与形于一身，它与生俱来就是数形结合的，既是代数研究对象，又是几何研究对象；既可以进行运算，又可以图形表示，它是数形结合思想方法的体现.所以，学习向量知识有利于培养学生数形结合的思想方法.
（2）向量的引入有利于拓宽解题思路
向量概念能够在数学中得到广泛的发展不是偶然的，这与它强大的工具性是离不开的.向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径，并且这种方法具有普遍性、广泛性、有效性.向量在数学问题解决中的作用，主要体现在几何问题和代数问题等.
正是这样把向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一的重要性体现了出来，把它作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具的作用体现了出来.解题方法新颖，思路清楚，容易想到，计算也较为简单，往往能使解题起到起死回生的效果，所以在我们今后的教学中应引起足够的重视.当然我的学生现在才高一，对待这个工具的实践运用今后可说是机会多多.
【参考文献】
［1］全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册(下）.人民教育出版社中学数学室，2003.
［2］普通高中课程标准实验教科书《数学4》必修A版.人民教育出版社课程教材研究所，2007.
［3］朱立青.向量的作用.山东教师教育网，2010.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文