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一、选择题(在每小题所给的四个选项中，有且仅有一个是正确的；每题5分共50分)
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种试验都做错的有4人，则两种试验都做对的人数是( )
A.27 B.25 C.19 D.10
2. =( )
A. B. C. D.
3.函数 的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
4.将正整数 填入 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个 的方格(正方形数表)就叫做n阶幻方.定义 为n阶幻方的每条对角线上的数的和，例如 ，则 ( )
A.32 B.33 C.34 D.35
5.已知O是 所在平面上的一点，若 ，则点O是 的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.从正方体的6个面中选3个面，其中有2个面不相邻的选法的种数是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.20
7.若 ，则 ( )
A.512 B.5120 C.1024 D.10240
8.若函数 的图象关于直线 对称，则 ( )
A. B. C.1 D.-1
9.已知 ， 在R上有极值，则 夹角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )
A.恰有1个 B.恰有3个 C.恰有4个 D.有无数多个
二、填空题(只需填出正确答案；每题5分共25分)
11.若 ，则 .
12.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆.某天于先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么于先生乘上上等车的概率是 .
13.若动直线 与曲线 能交于不同的两点 ，且 为定点，则这个定点坐标为 .
14.图中的四个酒杯A、B、C、D是形状相似的倒立正圆锥形(即这四个酒杯的高与底面直径的比是定值)，已知A中圆锥的底面积是B中圆锥底面积的2倍，B中圆锥的容积是C中圆锥容积的2倍，C中圆锥的高是D中圆锥高的2倍.现在B、C、D中都装满了酒，欲把B、C、D中的酒都倒入A中，A中会有酒溢出吗？
答： .(只答“会”或“不会”.) A B C D
15.有一解三角形的题因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在 中， 分别是角 的对边长.已知 ， ，求 .
经推断知，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案为 ，试将条件补充完整(必须填上所有可能的答案).
三、解答题(须写出清楚的解答过程，要求理由充分、推证严谨、条理清晰，但不啰嗦；前4题每题12分，后两题分别是13分、14分，共75分)
16.已知向量m=(a+c，a-b)，n=(b，a-c)，且m//n，其中a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边长.
(I)求角C的大小；
(II)求 的取值范围.
17.若 ，则
.
18.如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直， ．
(I)求证：FC∥平面AED；
(II)若 ，当二面角 为直二面角时，求k的值；
(III)在(II)的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角 的正弦值．
19.已知二次函数 为偶函数，曲线 与直线 相切.
(I)求函数 的解析式；
(II)若常数 ，存在区间 使得 在该区间上的值域恰好是 ，请求出区间 .
20.(I)过中心二次曲线 的中心(即坐标原点 )的直线交 于 两点，点 在曲线 上，求证：当直线 的斜率均存在时，它们的斜率之积为定值；
(II)过中心二次曲线 的中心(即坐标原点 )的直线交 于 两点(这两点均不在坐标轴上)，作 轴于 ，直线 交 于另一点 ，求证： 为定值.
21. (I)已知数列 满足 N ，若 N )恒成立，求 的取值范围；
(II)已知数列 满足 N 是已知的实数)，请讨论该数列的单调性.
参考答案
一、选择题
BDBCB BBDCD
解析：
1.40+31+4-50=25.
3.先得定义域关于原点对称.
4.仅仅考虑每行上的数的和都相等，就可算出 ，所以 34.
7.令 后可解.
8.由 ，平方后可解得 .(也可由 求解.)
9. ，题设即关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，得 ，再由 ，可得 .
10.本题即“在空间到正方体 的直线 和 距离相等的点有几个”.在平面 上到直线 和 距离相等的点即到直线 和点 距离相等的点的轨迹(是抛物线)，所以这样的点有无数多个.
另解 本题即“在空间到正方体 的直线 和 距离相等的点有几个”.显然，顶点 及棱 的中点、正方体的中心均满足题意，由排除法知选D.
二、填空题
11. 12. 13. 14.不会 15.
解析：
11.
.
12.三辆车的出发顺序有六种情形：①上中下；②上下中；③中上下；④中下上；⑤下上中；⑥下中上.只有③④⑤可使于先生乘上上等车，所以所求概率是 .
13.可求得曲线 的两个极值点分别是 ，可证得该曲线关于 的中点 对称，所以 ，由此可得答案.
14.两个相似圆锥的体积、对应面积(包括底面积、侧面积、表面积)的比分别等于相似比.设 ，得 .可得 ，所以A中不会有酒溢出.
15.由 ，得
，
再由 及正弦定理可求得 .
若 ，则原题的题设是 ，由正弦定理或余弦定理可求得 有两个值： .所以此时不合题意.
若 ，则原题的题设是“角边角”的条件 ，所以解三角形的答案是唯一的.所以此时符合题意.
即所缺条件是“ ”.
三、解答题
16.解：(I)由m//n，可得(a+c)(a-c)-(a-b)b=0， ，再由余弦定理，得 .
(II)由(I)得 ，所以
由 ，得 ，所以可得 的取值范围是 .
17.证明：当 时显然成立.
假设 N*)时成立：
.
设 ，其中 .由归纳假设，得 .又
所以 ，即 时成立：
所以欲证成立.
18. 解：
(I)证明： ，
∴平面FBC∥平面EDA ，故 平面 .
(II)取EF，BD的中点M，N. 由于AE=AF=CE=CF，所以 ，且 .
∴ 就是二面角 的平面角.
连接AC，当 =90°即二面角 为直二面角时， ，即
(III)由(II) 平面 ，则直线BC与平面AEF所成的角 与BC与MC所成的角互余.
连结BM，设BC=2. 则在△MBC中， ， ，故 .
另解 如图，设点 是 的中点，以菱形 的中心点 为坐标原点，射线 分别为 轴建系，设 ，得 .
(I)可求得面 的法向量是 ，又 ，所以 .又 面 ，所以 平面 .
(II)可求得面 的法向量分别是 ，所以二面角 是直二面角 因为 ，所以所求的 .
(III)在(II)的条件下，得 ，面 的法向量是 ，又 ，设 的夹角为 ，得
所以直线BC与平面AEF所成的角 的正弦值也是 .
19.解：(I)由 及 可得 ，所以 .
再由曲线 与直线 相切，可得方程 有两个相等的实数根，得 .
(II)可得 R)，所以 .又 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，得
再由 ，得本题的答案是：
当 时， ；
当 时， 不存在；
当 时， .
20.解：(I)可设 .又设 是 上的任意一点，得 ，所以
(II)可设 .可得点 不重合，所以 ，得 存在且 ，还得 存在且 ，所以 .
由题设可得 存在，所以由(1)得 ，可再得 .
21.解：(I)解法1 我们可以证得：
①当 时， N )；
②当 时， N )；
③当 时， N )；
④当 时， N )；
⑤当 时， N ).
所以所求 的取值范围是 .
下面分别证明这五个结论成立：
①当 时，可用数学归纳法证得 N )：
当 时成立.假设 时成立： .由递推式及题设可得 ，所以 .
由 可得：
当 时，得 N )，所以 N ).得 N ).
②极易用数学归纳法证得.
③当 时，可用数学归纳法证得 N ).
当 时，得 N )，所以 N ).得 N ).
④同(2)可证.
⑤同(1)可证.
解法2 或 .
由题设可用数学归纳法证得 N )，又
所以当 时， 与 同号或都为0.再由数学归纳法知， 与 同号或都为0.
所以所求 的取值范围是 .
解法3 由题设可用数学归纳法证得 N )，又由函数 在 上是增函数，得
再由数学归纳法知， .进而可得所求 的取值范围是 .
解法4 由题设可用数学归纳法证得 N )，又 ，所以当 时， (最后一步的理由是函数 在 上是增函数).再由数学归纳法知， .进而可得所求 的取值范围是 .
(II)用第(I)问的前三种解法均可证得：
①当 时， N )；
②当 时， N )；
③当 时， N )；
④当 时， N )；
⑤当 时， N )；
⑥当 时， N )；
⑦当 时， N ).
责任编辑 李婷婷
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种试验都做错的有4人，则两种试验都做对的人数是( )
A.27 B.25 C.19 D.10
2. =( )
A. B. C. D.
3.函数 的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
4.将正整数 填入 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个 的方格(正方形数表)就叫做n阶幻方.定义 为n阶幻方的每条对角线上的数的和，例如 ，则 ( )
A.32 B.33 C.34 D.35
5.已知O是 所在平面上的一点，若 ，则点O是 的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.从正方体的6个面中选3个面，其中有2个面不相邻的选法的种数是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.20
7.若 ，则 ( )
A.512 B.5120 C.1024 D.10240
8.若函数 的图象关于直线 对称，则 ( )
A. B. C.1 D.-1
9.已知 ， 在R上有极值，则 夹角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )
A.恰有1个 B.恰有3个 C.恰有4个 D.有无数多个
二、填空题(只需填出正确答案；每题5分共25分)
11.若 ，则 .
12.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆.某天于先生准备从该汽车站前往省城办事，但他不知道客车的等级情况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么于先生乘上上等车的概率是 .
13.若动直线 与曲线 能交于不同的两点 ，且 为定点，则这个定点坐标为 .
14.图中的四个酒杯A、B、C、D是形状相似的倒立正圆锥形(即这四个酒杯的高与底面直径的比是定值)，已知A中圆锥的底面积是B中圆锥底面积的2倍，B中圆锥的容积是C中圆锥容积的2倍，C中圆锥的高是D中圆锥高的2倍.现在B、C、D中都装满了酒，欲把B、C、D中的酒都倒入A中，A中会有酒溢出吗？
答： .(只答“会”或“不会”.) A B C D
15.有一解三角形的题因纸张破损而使得有一个条件看不清，具体如下：在 中， 分别是角 的对边长.已知 ， ，求 .
经推断知，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案为 ，试将条件补充完整(必须填上所有可能的答案).
三、解答题(须写出清楚的解答过程，要求理由充分、推证严谨、条理清晰，但不啰嗦；前4题每题12分，后两题分别是13分、14分，共75分)
16.已知向量m=(a+c，a-b)，n=(b，a-c)，且m//n，其中a，b，c分别是 的内角A，B，C的对边长.
(I)求角C的大小；
(II)求 的取值范围.
17.若 ，则
.
18.如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在平面互相垂直， ．
(I)求证：FC∥平面AED；
(II)若 ，当二面角 为直二面角时，求k的值；
(III)在(II)的条件下，求直线BC与平面AEF所成的角 的正弦值．
19.已知二次函数 为偶函数，曲线 与直线 相切.
(I)求函数 的解析式；
(II)若常数 ，存在区间 使得 在该区间上的值域恰好是 ，请求出区间 .
20.(I)过中心二次曲线 的中心(即坐标原点 )的直线交 于 两点，点 在曲线 上，求证：当直线 的斜率均存在时，它们的斜率之积为定值；
(II)过中心二次曲线 的中心(即坐标原点 )的直线交 于 两点(这两点均不在坐标轴上)，作 轴于 ，直线 交 于另一点 ，求证： 为定值.
21. (I)已知数列 满足 N ，若 N )恒成立，求 的取值范围；
(II)已知数列 满足 N 是已知的实数)，请讨论该数列的单调性.
参考答案
一、选择题
BDBCB BBDCD
解析：
1.40+31+4-50=25.
3.先得定义域关于原点对称.
4.仅仅考虑每行上的数的和都相等，就可算出 ，所以 34.
7.令 后可解.
8.由 ，平方后可解得 .(也可由 求解.)
9. ，题设即关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，得 ，再由 ，可得 .
10.本题即“在空间到正方体 的直线 和 距离相等的点有几个”.在平面 上到直线 和 距离相等的点即到直线 和点 距离相等的点的轨迹(是抛物线)，所以这样的点有无数多个.
另解 本题即“在空间到正方体 的直线 和 距离相等的点有几个”.显然，顶点 及棱 的中点、正方体的中心均满足题意，由排除法知选D.
二、填空题
11. 12. 13. 14.不会 15.
解析：
11.
.
12.三辆车的出发顺序有六种情形：①上中下；②上下中；③中上下；④中下上；⑤下上中；⑥下中上.只有③④⑤可使于先生乘上上等车，所以所求概率是 .
13.可求得曲线 的两个极值点分别是 ，可证得该曲线关于 的中点 对称，所以 ，由此可得答案.
14.两个相似圆锥的体积、对应面积(包括底面积、侧面积、表面积)的比分别等于相似比.设 ，得 .可得 ，所以A中不会有酒溢出.
15.由 ，得
，
再由 及正弦定理可求得 .
若 ，则原题的题设是 ，由正弦定理或余弦定理可求得 有两个值： .所以此时不合题意.
若 ，则原题的题设是“角边角”的条件 ，所以解三角形的答案是唯一的.所以此时符合题意.
即所缺条件是“ ”.
三、解答题
16.解：(I)由m//n，可得(a+c)(a-c)-(a-b)b=0， ，再由余弦定理，得 .
(II)由(I)得 ，所以
由 ，得 ，所以可得 的取值范围是 .
17.证明：当 时显然成立.
假设 N*)时成立：
.
设 ，其中 .由归纳假设，得 .又
所以 ，即 时成立：
所以欲证成立.
18. 解：
(I)证明： ，
∴平面FBC∥平面EDA ，故 平面 .
(II)取EF，BD的中点M，N. 由于AE=AF=CE=CF，所以 ，且 .
∴ 就是二面角 的平面角.
连接AC，当 =90°即二面角 为直二面角时， ，即
(III)由(II) 平面 ，则直线BC与平面AEF所成的角 与BC与MC所成的角互余.
连结BM，设BC=2. 则在△MBC中， ， ，故 .
另解 如图，设点 是 的中点，以菱形 的中心点 为坐标原点，射线 分别为 轴建系，设 ，得 .
(I)可求得面 的法向量是 ，又 ，所以 .又 面 ，所以 平面 .
(II)可求得面 的法向量分别是 ，所以二面角 是直二面角 因为 ，所以所求的 .
(III)在(II)的条件下，得 ，面 的法向量是 ，又 ，设 的夹角为 ，得
所以直线BC与平面AEF所成的角 的正弦值也是 .
19.解：(I)由 及 可得 ，所以 .
再由曲线 与直线 相切，可得方程 有两个相等的实数根，得 .
(II)可得 R)，所以 .又 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，得
再由 ，得本题的答案是：
当 时， ；
当 时， 不存在；
当 时， .
20.解：(I)可设 .又设 是 上的任意一点，得 ，所以
(II)可设 .可得点 不重合，所以 ，得 存在且 ，还得 存在且 ，所以 .
由题设可得 存在，所以由(1)得 ，可再得 .
21.解：(I)解法1 我们可以证得：
①当 时， N )；
②当 时， N )；
③当 时， N )；
④当 时， N )；
⑤当 时， N ).
所以所求 的取值范围是 .
下面分别证明这五个结论成立：
①当 时，可用数学归纳法证得 N )：
当 时成立.假设 时成立： .由递推式及题设可得 ，所以 .
由 可得：
当 时，得 N )，所以 N ).得 N ).
②极易用数学归纳法证得.
③当 时，可用数学归纳法证得 N ).
当 时，得 N )，所以 N ).得 N ).
④同(2)可证.
⑤同(1)可证.
解法2 或 .
由题设可用数学归纳法证得 N )，又
所以当 时， 与 同号或都为0.再由数学归纳法知， 与 同号或都为0.
所以所求 的取值范围是 .
解法3 由题设可用数学归纳法证得 N )，又由函数 在 上是增函数，得
再由数学归纳法知， .进而可得所求 的取值范围是 .
解法4 由题设可用数学归纳法证得 N )，又 ，所以当 时， (最后一步的理由是函数 在 上是增函数).再由数学归纳法知， .进而可得所求 的取值范围是 .
(II)用第(I)问的前三种解法均可证得：
①当 时， N )；
②当 时， N )；
③当 时， N )；
④当 时， N )；
⑤当 时， N )；
⑥当 时， N )；
⑦当 时， N ).
责任编辑 李婷婷