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摘要：本文构建了一个多任务锦标赛模型，研究了多任务锦标赛机制下代理人的行为特征，并基于委托人的不同目标分析了多任务锦标赛中最优任务数量、获胜标准和支付结构的确定问题。研究显示，代理人支付、任务数量和获胜标准直接影响着代理人的行为。当委托人的目标是让代理人在各个任务上付出的努力之和达到最大时，最优机制是一个可以让代理人存在共赢可能的机制。当委托人的目标是追求期望净收益最大化时，给定其他变量，分别存在一个最优的获胜标准和支付结构。本文的模型可以用来分析诸如中国地方政府官员的晋升、高考制度改革、节能减排目标的落实等多任务竞争问题。
关键词：多任务锦标赛；机制设计；委托-代理问题
一、 引言
锦标赛（ournaments）作为一种激励机制，由委托人根据代理人之间的相对绩效决定代理人的支付。与其它激励机制相比，锦标赛的优势之一在于降低了交易成本。委托人只需观察代理人的相对绩效即可确定代理人的支付。其次，锦标赛可以剔除掉系统性的干扰因素的影响，增加绩效评估的准确性。最后，奖金档次和每个档次的奖金数额是事先确定的，独立于代理人的事后产出，从而避免了委托人的失信问题（Commitment Problem）（Franckx， D’Amato and Bros，2004，）。锦标赛在组织内部的晋升、环境治理以及污染控制等方面有着广泛的应用。Govindasmy等（1994）将锦标赛引入了非定点污染的治理问题。周黎安（2007）用地方官员晋升锦标赛解释了改革开放以来的中国经济增长奇迹。
Lazear和Rosen（1981）对单任务锦标赛问题进行了开创性研究，指出当代理人为风险中性时，锦标赛能够实现资源配置的帕累托最优。之后，关于锦标赛问题的研究多集中单任务锦标赛上，而且研究的重点是把锦标赛与其它激励机制（比如，线性工资合约（linear piece rate contract）进行比较，分析单任务锦标赛的效率问题（Green and Stokey， 1983；Malcomson，1984；Predergast， 1999）。但在现实的锦标赛中，委托人大都让代理人承担着多个任务。比如，在现行中国式分权体制下，中国省级官员的晋升制度就接近于多任务锦标赛。中央政府作为委托人对作为代理人的地方政府官员在经济增长、环境保护、节能减排、社会稳定等诸多任务的相对绩效进行考核，并作为官员晋升的依据。从这个角度讲地方政府官员的晋升制度是典型多任务锦标赛。＼+①高校教师的职称晋升机制也属于一种多任务锦标赛。高校教师作为代理人承担着撰写论文、申请科研项目、从事教学和指导研究生等多个任务。校方作为委托人对代理人在多个任务上进行综合考核并决定是否晋升。中国的高考制度也属于一种多任务锦标赛机制。作为委托人的教育主管部门确定代理人——学生要考试的科目（任务种类和数量）和录取标准（一般而言是按总分排序，也有学生在某一科或几科上表现优异而被破格录取）。与单任务锦标赛不同，在多任务的锦标赛中，代理人不但要选择其所付出的总努力，还要选择如何在各项任务上分配努力。对委托人而言，他不但要选择不同相对绩效下代理人的支付，而且要确定代理人承担任务的数量以及绩效核算标准。＼+②
Franckx和D’Amato等（2004）把Lazear和Rosen（1981）单任务锦标赛模型首次推广到了多任务。Franckx和D’Amato（2004）假定有两个代理人承担n项任务，委托人对各任务上的产出赋以权重，并以各任务产出的加权平均作为绩效核算标准。他们的研究核心是分析多任务条件下代理人的行为特征，并对多任务锦标赛与线性合约工作机制的效率进行比较。Clark 和 Konrad（2007）基于不同的相对绩效核算标准分析了多任务锦标赛的机制设计问题。他们假定两个代理人承担n项任务，并假定只有在k项任务上的努力超过竞争对手才能赢得比赛。基于上述假定，他们分别讨论了代理人n项任务上努力之和和单项任务上努力最大化目标下最优n和k选择问题。与Lazear和Rosen（1981）不同，Clark 和 Konrad（2007）没有给出代理人的生产函数，在模型中没有反映支付结构和风险因素对代理人行为的影响，也没有分析支付结构的最优设计问题，而是把代理人在某一任务上的产出超过竞争对手的概率与两个代理人的努力联系起来，并以此为基础分析了委托人的最优机制设计问题（n和k的最优选择问题）。
本文以Lazear和Rosen（1981）为基础，构建了代理人在各任务上的生产函数，拓展了Clark 和 Konrad（2007）的模型，分析了多任务下代理人的行为特征，并基于机制设计的视角分析了委托人不同目标下最优任务数量、获胜标准和支付结构的设计问题，因此分析框架和和结论都更具一般性。我们假定代理人承担了多项任务n，而委托人所能颁发的奖项小于任务的数量，也就是说委托人不能在每一个任务上设一个奖项，而不得不根据代理人在各任务的综合表现进行考核，并对领先者进行奖励。我们假定委托人不是比较代理人在各任务的总产出来决定胜负，而是选择只有一个代理人在k（k≤n）项任务上的产出超过竞争对手才算赢得比赛。与各任务产出之和的绩效核算标准相比，该假定更接近于现实，因为在现实中各任务的产出常常并不能直接相加。但该假定也隐含着一个假设，即对委托人而言，各任务的重要性相同。
本文共分四个部分，除第一部分引言外，第二部分为基本模型，主要分析多任务锦标赛下代理人的行为特征，第三部分基于委托人视角分别研究了代理人在各任务付出努力之和最大的最优机制设计，第四部分为结论。
二、基本模型
假定有一个委托人和两个代理人，且委托人和代理人都是风险中性。委托人先行动，在多任务的背景下，委托人首先确定并公开代理人所要承担的任务数量n、代理人赢得竞赛的门槛k（即代理人需要在k项任务的产出上超过竞争对手才能赢得比赛，k≤n））以及赢得比赛和输掉比赛后的支付。在委托人行动之后，两个代理人同时选择自己的行动，即选择在各任务上付出的努力。假定赢得比赛一方获得的支付是V＼-，而没有赢得比赛的一方的支付是V＼-L，V＼->V＼-L。当n≥2k时，两个代理人都有可能获得V＼-。当n<2k，则只有一个代理人能获得V＼-，另一个代理人获得V＼-L，即一个代理人要想获得V＼-，必须在1/2或以上任务上的产出超过竞争对 根据模型基本假定，两个代理人的目标函数和面临的约束条件相同，委托人对各任务的产出评价相同，故存在一个对称的纯策略均衡， ，而且（Clark and Conrad，200）。即在均衡时，两个代理人在同一任务上付出的努力相同，同一代理人在不同任务上付出的努力
也相同。＼+④为便于书写，假定e＼+＼-ij=e，则上述纯策略均衡可写为E＼-1= E＼-2=向量E＼-1、 E＼-2分别代表代理人1和2均衡时的策略组合。上述结论意味着，如果各任务对委托人的重要性相同，而且在单一任务总产出上的边际收益递减，则代理人在各任务上付出相同的努力对委托人而言是最优的。
为求解代理人各个任务上的均衡努力，我们构建一个代理人效用与其在任务1上所付出努力之间的函数关系。给定代理人2在各任务上努力向量E2，代理人1在除任务1外的其他任务付出的努力e＼-1j（j≠1）都是e。代理人1在h （0≤h≤n）项任务上的产出都超过代理人2的概率（P（h））就可以写成是该代理人在任务1付出努力的函数：
C＼+h-1＼-n-1、C＼+h＼-n-1是排列组合符号。上式中第一部分表示代理人1在任务1上的产出超过代理人2、并在剩余的n-1项任务中有h-1项任务的产出上超过代理人2的概率；第二部分代表代理人1在任务1上的产出低于代理人2、但在剩余的n-1项任务中有h项任务的产出上超过代理人2的概率。基于结论e＼-2j=e和e＼-1j=e（j≠1），则上式可以写成
我们用Pr代表代理人1在k或k以上任务上的产出都高于代理人2的概率，则。代理人1的期望效用与其在第一个任务上的努力之间的函数关系为
，Eπ＼-1代表代理人1的期望效用。在均衡的时，代理人1在任务1上的努力e＼+＼-11必须最大化Eπ＼-1，即
由于Pr关于e11是线性的＼+⑤，而根据假定，是凸函数，则Eπ1关于e11是凹函数。假定存在内点解，基于e11以最大化Eπ1的一阶条件为＼+⑥，基于存在一个对称性均衡结论，则在均衡时有e＼+＼-11=e＼+＼-ij=e，因此上述一阶条件可以写为
命题1：
根据（）和假定可知，奖金差距越大，代理人付出的努力就越大；干扰项εij的方差越大，则代理人付出的努力就越小。代理人承担的任务数量和获胜标准直接影响其努力付出。如果令n=1，k=1，则与Lazear and Rosen（1981）的模型相一致。如果假定，则给定n、k，存在如下对称性均衡，代理人在单一任务上的努力均为
在均衡时代理人i赢得竞赛的概率为
给定n、k，在均衡时代理人i的期望收益为＼+⑦
三、多任务下最优锦标赛机制的设计
（一）给定V＼- 、V＼-L、n，代理人付出努力最大化下变量k的选取
在代理人承担任务数量既定的情况下，委托人选择赢取比赛的标准以最大化效用是多任务锦标赛中最常发生的情况。假定委托人的目标是使代理人在各任务付出努力之和的最大化。基于本文关于生产函数的假定以及存在对称性均衡的结论，两个代理人在n项任务上的付出努力之和为。由于n既定和存在对称性均衡的结论，委托人在各项任务上总产出之和的最大化等价于代理人在单一任务上努力的最大化，因此委托人的问题可刻画为maxme，即选择k以使代理人在单一任务上的努力最大化。由于，且，则委托人面临问题就转化为＼+⑧
令，则给定n，委托人把k增加到k+1会使X（k）发生下述变化
命题2：
由式（10）可知，给定n，当k0，即代理人在单一任务上付出和在各任务上付出的努力之和随k的增加而增加；当k= n/3时，X（k+1）-X（k）=0，即在k= n/3或1+n/3时，代理人在单一任务和各个任务上付出的努力之和达到最大，总产出也最大。由于n和k都是整数，因此当n<3时不存在内点解，只存在角点解。
根据以上分析，使代理人在各项任务付出努力之和最大的机制将会使两个代理人都有赢得比赛的可能性。由于k和n都是正整数，故当n不是k的整数倍时，k就不为整数，须把＼S]n3＼s或＼S]n+13＼s代入式（6）进行比较后才能确认。
（二）给定V＼- 、V＼-L、k，代理人付出努力最大化下变量n的选取＼+⑨
给定变量k，即代理人要赢得竞赛必须在k项任务的产出上超过竞争者，委托人选代理人承担任务的数量n以最大化各项任务的总期望产出。由假定g（e＼-ij）=＼S]1[]2＼se＼+2＼-ij可以得到，在均衡时有
。如上一部分所述，委托人的问题可以刻画为maxm2ne。
令，则给定k，把n增加到n+1将导致代理人在单一任务上的努力和总努力发生如下变化
命题3：
由式（11）可知，给定k和（V＼--V＼-L），当k=1时，e（n+1）-e（n）=0，即代理人在单一任务上施加的努力恒为＼S]（V＼-h-V＼-L）2πσ＼s，不随n的变化而变化；当k>1时，e（n+1）-e（n）>0，即代理人在单一任务上付出的努力随n的增加而单调增加。由式（12）可知，（n+1）e（n+1）-ne（n）>0，即代理人在各任务上付出的努力之和随n的增加而单调增加。上述结论与模型假设密切相关。模型假定所有任务都是同质的，存在一个对称性均衡，即代理人人在所有任务付出的努力相同，给定获胜标准k，任务数量n越大，代理人获胜的概率就越高，当然代理人就有激励所有任务上施加更多的努力。
四、结论
本文构建了一个多任务锦标赛模型，分析了多任务锦标赛中代理人的行为特征，并从委托人的角度分别分析了代理人努力和期望净收益最大化目标下最优任务数量、获胜标准和支付结构的确定问题。与Clark 和 Konrad（2007）的模型相比，本文模型的推理更加严密，分析框架和结论更具一般性。本文的结论主要有：首先，代理人承担任务数量和获胜标准直接影响着代理人在各任务上付出的努力；其次，给定任务数量n，无论委托人的目标是要代理人在单一任务、还是在各个任务上付出的努力之和最大，委托人的最优机制选择都是确定一个获胜标准k，使两个代理有同时赢得比赛的可能性；在给定获胜标准k的情况下，不存在一个最优的任务数量n，代理人在单任务的努力和在各任务上付出的努力之都随n的增加而增加；再次，给定任务数量n，存在某个确定的代理人赢得竞赛的门槛k，使委托人的期望收益达到最大；最后，给定n和k，存在一个最优的支付结构以最大化委托人的期望净收益，且最优支付的大小与任务数量和获胜标准密切相关。本文的模型可以用来分析现实中多任务锦标赛问题。比如，中国地方政府官员的晋升机制、高考制度改革、节能减排目标的落实以及组织内部晋升和奖励机制等等。 本文的不足之处主要有以下两个个方面：一是为了简化分析致使模型比较简化。模型假定只有两个风险中性的代理人，且两个代理人和及其承担的任务都是同质，没有把模型推广到n个人的情形，也没有进一步分析代理人风险规避和代理人和任务异质性的情况。二是本文偏重于纯理论分析，没有针对某一现实经济现象进行深入剖析，缺乏经验研究。这将作为下一步研究的方向。
注释：
①本文是2011年第十一届经济学年会微观经济学组入选论文，非常感谢与会者的建设性建议，当然文责自负。作者感谢深圳大学青年基金（4WSD）的资助。
② 详见《地方党政领导班子和领导干部综合考核评价办法（试行）》（中共中央组织部文件中组发[2009]13号）（王赛德、潘瑞姣等（2010）基于一个多任务委托代理框架分析了中国式分权体制下的垂直化管理趋势，但没有构建相应的多任务锦标赛模型）。
③ 由于代理人在单任务锦标赛中承担着单一任务，只需要根据该任务的产出指标来衡量代理人的相对绩效。如果代理人承担多个任务，委托人在衡量代理人相对绩效时就面临多个选择。比如，委托人可以把代理人在各任务上的产出赋以权重加总，然后核算代理人的相对绩效。委托人也可以在代理人承担的n项任务中确定一个特定的任务数量k（0< k ≤n），k为代理人在所承担的任务中在k项任务上的产出超过了竞争者，并以k为标准来确定代理人的相对绩效。
④ 在组织内部，我们也可以将V＼-理解为晋升给代理人带来的效用，而V＼-L则为没有获得晋升时代理人的效用。
⑤ Clark， D， Konrad， K A， 2007， “Contests with Multi-tasking“， Scand of Economics， Vol 109，Issue 2， pp 303–319
⑥ 该结论可以采取事后验证的方法给出证据。基于（3）和对称性博弈的假定（在对称性博弈假定条件下，在均衡时两个代理人在各个任务上的相等两个代理人，可得到，因此P（h）关于e＼-11是线性的。基于上述结论，可知Pr关于e＼-11也是线性的。
⑦ 限于篇幅，文中没有货列出该结论的详细推导，如有需要可致函作者索要。
⑧ 此处隐含的一个假设，即在均衡时V＼-和V＼-的取值能保证满足代理人的参与约束。
⑨ 如果假定，则有，委托人面临的问题可刻画为maxme
。该关于代理人成本函数的假定不但不会改变已有分析的结论，而且会使分析变得更加直观，在后续的部分分析中会采用基于该假设的结论。
⑩ 该情形在现实中比较少见，但本文出于理论分析的严谨性对该问题进行了分析。
参考文献：
[1]Clark， D， Konrad， K A， 2007， “Contests with Multi-tasking“， Scand of Economics， Vol 109，Issue 2， pp 303–319
[2]Franckx， L， D’Amato， A， and Brose， I， 2004， “Multitask Rank Order ournaments”， Economics Bulletin， Vol10， Issue 10， pp 1-10
[3]Govindasamy， R， erriges，A， and Shogren，F， 1994， “Nonpoint ournaments”， in C Dosi and omasi， Nonpoint Source Pollution Regulation： Issues and Analysis， pp87-10， Kluwer Academic Publishers， DordrechtGreen，R， Stokey， NL， 1983， “A Comparison of ournaments and Contracts”，ournal of Political Economy， Vol 91， Issue 3， pp 349-364
[4]Lazear， EP， Rosen， S， 1981， “Rank Order ournaments as Optimum Labor Contracts”，ournal of Political Economy Vol 89， Issue ， pp 841-864
[]Malcomson，M， 1984， “Work Incentives， ierarchy， and Internal Labor Markets”，ournal of Political Economy， Vol 92， Issue 4， pp 486-07
[6]Prendergast， C， 1999， “he Provision of Incentives in Firms”，ournal of Economic Literature， Vol 37， Issue 1， pp 7-63
[7]王赛德、潘瑞姣，2010，《中国式分权与政府机构垂直化管理——一个基于任务冲突的多任务的委托代理框架》，《世界经济文汇》第1期92-101页。
[8]周黎安，2007，《中国地方官员的晋升锦标赛模式研究》，《经济研究》第1期36-0页。
关键词：多任务锦标赛；机制设计；委托-代理问题
一、 引言
锦标赛（ournaments）作为一种激励机制，由委托人根据代理人之间的相对绩效决定代理人的支付。与其它激励机制相比，锦标赛的优势之一在于降低了交易成本。委托人只需观察代理人的相对绩效即可确定代理人的支付。其次，锦标赛可以剔除掉系统性的干扰因素的影响，增加绩效评估的准确性。最后，奖金档次和每个档次的奖金数额是事先确定的，独立于代理人的事后产出，从而避免了委托人的失信问题（Commitment Problem）（Franckx， D’Amato and Bros，2004，）。锦标赛在组织内部的晋升、环境治理以及污染控制等方面有着广泛的应用。Govindasmy等（1994）将锦标赛引入了非定点污染的治理问题。周黎安（2007）用地方官员晋升锦标赛解释了改革开放以来的中国经济增长奇迹。
Lazear和Rosen（1981）对单任务锦标赛问题进行了开创性研究，指出当代理人为风险中性时，锦标赛能够实现资源配置的帕累托最优。之后，关于锦标赛问题的研究多集中单任务锦标赛上，而且研究的重点是把锦标赛与其它激励机制（比如，线性工资合约（linear piece rate contract）进行比较，分析单任务锦标赛的效率问题（Green and Stokey， 1983；Malcomson，1984；Predergast， 1999）。但在现实的锦标赛中，委托人大都让代理人承担着多个任务。比如，在现行中国式分权体制下，中国省级官员的晋升制度就接近于多任务锦标赛。中央政府作为委托人对作为代理人的地方政府官员在经济增长、环境保护、节能减排、社会稳定等诸多任务的相对绩效进行考核，并作为官员晋升的依据。从这个角度讲地方政府官员的晋升制度是典型多任务锦标赛。＼+①高校教师的职称晋升机制也属于一种多任务锦标赛。高校教师作为代理人承担着撰写论文、申请科研项目、从事教学和指导研究生等多个任务。校方作为委托人对代理人在多个任务上进行综合考核并决定是否晋升。中国的高考制度也属于一种多任务锦标赛机制。作为委托人的教育主管部门确定代理人——学生要考试的科目（任务种类和数量）和录取标准（一般而言是按总分排序，也有学生在某一科或几科上表现优异而被破格录取）。与单任务锦标赛不同，在多任务的锦标赛中，代理人不但要选择其所付出的总努力，还要选择如何在各项任务上分配努力。对委托人而言，他不但要选择不同相对绩效下代理人的支付，而且要确定代理人承担任务的数量以及绩效核算标准。＼+②
Franckx和D’Amato等（2004）把Lazear和Rosen（1981）单任务锦标赛模型首次推广到了多任务。Franckx和D’Amato（2004）假定有两个代理人承担n项任务，委托人对各任务上的产出赋以权重，并以各任务产出的加权平均作为绩效核算标准。他们的研究核心是分析多任务条件下代理人的行为特征，并对多任务锦标赛与线性合约工作机制的效率进行比较。Clark 和 Konrad（2007）基于不同的相对绩效核算标准分析了多任务锦标赛的机制设计问题。他们假定两个代理人承担n项任务，并假定只有在k项任务上的努力超过竞争对手才能赢得比赛。基于上述假定，他们分别讨论了代理人n项任务上努力之和和单项任务上努力最大化目标下最优n和k选择问题。与Lazear和Rosen（1981）不同，Clark 和 Konrad（2007）没有给出代理人的生产函数，在模型中没有反映支付结构和风险因素对代理人行为的影响，也没有分析支付结构的最优设计问题，而是把代理人在某一任务上的产出超过竞争对手的概率与两个代理人的努力联系起来，并以此为基础分析了委托人的最优机制设计问题（n和k的最优选择问题）。
本文以Lazear和Rosen（1981）为基础，构建了代理人在各任务上的生产函数，拓展了Clark 和 Konrad（2007）的模型，分析了多任务下代理人的行为特征，并基于机制设计的视角分析了委托人不同目标下最优任务数量、获胜标准和支付结构的设计问题，因此分析框架和和结论都更具一般性。我们假定代理人承担了多项任务n，而委托人所能颁发的奖项小于任务的数量，也就是说委托人不能在每一个任务上设一个奖项，而不得不根据代理人在各任务的综合表现进行考核，并对领先者进行奖励。我们假定委托人不是比较代理人在各任务的总产出来决定胜负，而是选择只有一个代理人在k（k≤n）项任务上的产出超过竞争对手才算赢得比赛。与各任务产出之和的绩效核算标准相比，该假定更接近于现实，因为在现实中各任务的产出常常并不能直接相加。但该假定也隐含着一个假设，即对委托人而言，各任务的重要性相同。
本文共分四个部分，除第一部分引言外，第二部分为基本模型，主要分析多任务锦标赛下代理人的行为特征，第三部分基于委托人视角分别研究了代理人在各任务付出努力之和最大的最优机制设计，第四部分为结论。
二、基本模型
假定有一个委托人和两个代理人，且委托人和代理人都是风险中性。委托人先行动，在多任务的背景下，委托人首先确定并公开代理人所要承担的任务数量n、代理人赢得竞赛的门槛k（即代理人需要在k项任务的产出上超过竞争对手才能赢得比赛，k≤n））以及赢得比赛和输掉比赛后的支付。在委托人行动之后，两个代理人同时选择自己的行动，即选择在各任务上付出的努力。假定赢得比赛一方获得的支付是V＼-，而没有赢得比赛的一方的支付是V＼-L，V＼->V＼-L。当n≥2k时，两个代理人都有可能获得V＼-。当n<2k，则只有一个代理人能获得V＼-，另一个代理人获得V＼-L，即一个代理人要想获得V＼-，必须在1/2或以上任务上的产出超过竞争对 根据模型基本假定，两个代理人的目标函数和面临的约束条件相同，委托人对各任务的产出评价相同，故存在一个对称的纯策略均衡， ，而且（Clark and Conrad，200）。即在均衡时，两个代理人在同一任务上付出的努力相同，同一代理人在不同任务上付出的努力
也相同。＼+④为便于书写，假定e＼+＼-ij=e，则上述纯策略均衡可写为E＼-1= E＼-2=向量E＼-1、 E＼-2分别代表代理人1和2均衡时的策略组合。上述结论意味着，如果各任务对委托人的重要性相同，而且在单一任务总产出上的边际收益递减，则代理人在各任务上付出相同的努力对委托人而言是最优的。
为求解代理人各个任务上的均衡努力，我们构建一个代理人效用与其在任务1上所付出努力之间的函数关系。给定代理人2在各任务上努力向量E2，代理人1在除任务1外的其他任务付出的努力e＼-1j（j≠1）都是e。代理人1在h （0≤h≤n）项任务上的产出都超过代理人2的概率（P（h））就可以写成是该代理人在任务1付出努力的函数：
C＼+h-1＼-n-1、C＼+h＼-n-1是排列组合符号。上式中第一部分表示代理人1在任务1上的产出超过代理人2、并在剩余的n-1项任务中有h-1项任务的产出上超过代理人2的概率；第二部分代表代理人1在任务1上的产出低于代理人2、但在剩余的n-1项任务中有h项任务的产出上超过代理人2的概率。基于结论e＼-2j=e和e＼-1j=e（j≠1），则上式可以写成
我们用Pr代表代理人1在k或k以上任务上的产出都高于代理人2的概率，则。代理人1的期望效用与其在第一个任务上的努力之间的函数关系为
，Eπ＼-1代表代理人1的期望效用。在均衡的时，代理人1在任务1上的努力e＼+＼-11必须最大化Eπ＼-1，即
由于Pr关于e11是线性的＼+⑤，而根据假定，是凸函数，则Eπ1关于e11是凹函数。假定存在内点解，基于e11以最大化Eπ1的一阶条件为＼+⑥，基于存在一个对称性均衡结论，则在均衡时有e＼+＼-11=e＼+＼-ij=e，因此上述一阶条件可以写为
命题1：
根据（）和假定可知，奖金差距越大，代理人付出的努力就越大；干扰项εij的方差越大，则代理人付出的努力就越小。代理人承担的任务数量和获胜标准直接影响其努力付出。如果令n=1，k=1，则与Lazear and Rosen（1981）的模型相一致。如果假定，则给定n、k，存在如下对称性均衡，代理人在单一任务上的努力均为
在均衡时代理人i赢得竞赛的概率为
给定n、k，在均衡时代理人i的期望收益为＼+⑦
三、多任务下最优锦标赛机制的设计
（一）给定V＼- 、V＼-L、n，代理人付出努力最大化下变量k的选取
在代理人承担任务数量既定的情况下，委托人选择赢取比赛的标准以最大化效用是多任务锦标赛中最常发生的情况。假定委托人的目标是使代理人在各任务付出努力之和的最大化。基于本文关于生产函数的假定以及存在对称性均衡的结论，两个代理人在n项任务上的付出努力之和为。由于n既定和存在对称性均衡的结论，委托人在各项任务上总产出之和的最大化等价于代理人在单一任务上努力的最大化，因此委托人的问题可刻画为maxme，即选择k以使代理人在单一任务上的努力最大化。由于，且，则委托人面临问题就转化为＼+⑧
令，则给定n，委托人把k增加到k+1会使X（k）发生下述变化
命题2：
由式（10）可知，给定n，当k
根据以上分析，使代理人在各项任务付出努力之和最大的机制将会使两个代理人都有赢得比赛的可能性。由于k和n都是正整数，故当n不是k的整数倍时，k就不为整数，须把＼S]n3＼s或＼S]n+13＼s代入式（6）进行比较后才能确认。
（二）给定V＼- 、V＼-L、k，代理人付出努力最大化下变量n的选取＼+⑨
给定变量k，即代理人要赢得竞赛必须在k项任务的产出上超过竞争者，委托人选代理人承担任务的数量n以最大化各项任务的总期望产出。由假定g（e＼-ij）=＼S]1[]2＼se＼+2＼-ij可以得到，在均衡时有
。如上一部分所述，委托人的问题可以刻画为maxm2ne。
令，则给定k，把n增加到n+1将导致代理人在单一任务上的努力和总努力发生如下变化
命题3：
由式（11）可知，给定k和（V＼--V＼-L），当k=1时，e（n+1）-e（n）=0，即代理人在单一任务上施加的努力恒为＼S]（V＼-h-V＼-L）2πσ＼s，不随n的变化而变化；当k>1时，e（n+1）-e（n）>0，即代理人在单一任务上付出的努力随n的增加而单调增加。由式（12）可知，（n+1）e（n+1）-ne（n）>0，即代理人在各任务上付出的努力之和随n的增加而单调增加。上述结论与模型假设密切相关。模型假定所有任务都是同质的，存在一个对称性均衡，即代理人人在所有任务付出的努力相同，给定获胜标准k，任务数量n越大，代理人获胜的概率就越高，当然代理人就有激励所有任务上施加更多的努力。
四、结论
本文构建了一个多任务锦标赛模型，分析了多任务锦标赛中代理人的行为特征，并从委托人的角度分别分析了代理人努力和期望净收益最大化目标下最优任务数量、获胜标准和支付结构的确定问题。与Clark 和 Konrad（2007）的模型相比，本文模型的推理更加严密，分析框架和结论更具一般性。本文的结论主要有：首先，代理人承担任务数量和获胜标准直接影响着代理人在各任务上付出的努力；其次，给定任务数量n，无论委托人的目标是要代理人在单一任务、还是在各个任务上付出的努力之和最大，委托人的最优机制选择都是确定一个获胜标准k，使两个代理有同时赢得比赛的可能性；在给定获胜标准k的情况下，不存在一个最优的任务数量n，代理人在单任务的努力和在各任务上付出的努力之都随n的增加而增加；再次，给定任务数量n，存在某个确定的代理人赢得竞赛的门槛k，使委托人的期望收益达到最大；最后，给定n和k，存在一个最优的支付结构以最大化委托人的期望净收益，且最优支付的大小与任务数量和获胜标准密切相关。本文的模型可以用来分析现实中多任务锦标赛问题。比如，中国地方政府官员的晋升机制、高考制度改革、节能减排目标的落实以及组织内部晋升和奖励机制等等。 本文的不足之处主要有以下两个个方面：一是为了简化分析致使模型比较简化。模型假定只有两个风险中性的代理人，且两个代理人和及其承担的任务都是同质，没有把模型推广到n个人的情形，也没有进一步分析代理人风险规避和代理人和任务异质性的情况。二是本文偏重于纯理论分析，没有针对某一现实经济现象进行深入剖析，缺乏经验研究。这将作为下一步研究的方向。
注释：
①本文是2011年第十一届经济学年会微观经济学组入选论文，非常感谢与会者的建设性建议，当然文责自负。作者感谢深圳大学青年基金（4WSD）的资助。
② 详见《地方党政领导班子和领导干部综合考核评价办法（试行）》（中共中央组织部文件中组发[2009]13号）（王赛德、潘瑞姣等（2010）基于一个多任务委托代理框架分析了中国式分权体制下的垂直化管理趋势，但没有构建相应的多任务锦标赛模型）。
③ 由于代理人在单任务锦标赛中承担着单一任务，只需要根据该任务的产出指标来衡量代理人的相对绩效。如果代理人承担多个任务，委托人在衡量代理人相对绩效时就面临多个选择。比如，委托人可以把代理人在各任务上的产出赋以权重加总，然后核算代理人的相对绩效。委托人也可以在代理人承担的n项任务中确定一个特定的任务数量k（0< k ≤n），k为代理人在所承担的任务中在k项任务上的产出超过了竞争者，并以k为标准来确定代理人的相对绩效。
④ 在组织内部，我们也可以将V＼-理解为晋升给代理人带来的效用，而V＼-L则为没有获得晋升时代理人的效用。
⑤ Clark， D， Konrad， K A， 2007， “Contests with Multi-tasking“， Scand of Economics， Vol 109，Issue 2， pp 303–319
⑥ 该结论可以采取事后验证的方法给出证据。基于（3）和对称性博弈的假定（在对称性博弈假定条件下，在均衡时两个代理人在各个任务上的相等两个代理人，可得到，因此P（h）关于e＼-11是线性的。基于上述结论，可知Pr关于e＼-11也是线性的。
⑦ 限于篇幅，文中没有货列出该结论的详细推导，如有需要可致函作者索要。
⑧ 此处隐含的一个假设，即在均衡时V＼-和V＼-的取值能保证满足代理人的参与约束。
⑨ 如果假定，则有，委托人面临的问题可刻画为maxme
。该关于代理人成本函数的假定不但不会改变已有分析的结论，而且会使分析变得更加直观，在后续的部分分析中会采用基于该假设的结论。
⑩ 该情形在现实中比较少见，但本文出于理论分析的严谨性对该问题进行了分析。
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