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摘 要 长期以来，数学课程总是强调它的“逻辑性”、“演译性”和“封闭性”，但近年来，“开放性”的数学问题成为一个热点，中考试题已有开放题出现，甚至高考也有开放性试题。因此，我认为有必要探讨“开放性”数学教学及培养学生的开放性思维。
关键词 开放性教学；数学；思维
中图分类号：C931.1 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）16-0020-01
一、开放性数学
开放性数学教学的重点是数学问题的开放性设计，“开放性”问题是只条件开放（条件是在不断变化的），结论开放（多结论或无固定结论的），解题策略的开放（可以用多种途径解决的）的问题，也可以是一个实际问题。“开放性教学是”充分建立在对学生学习过程的认识的一种模式。它充分注重人在学习时表现出的强烈心理，通过教师有效引导，包括设置开放性问题、问题的层次性推进以及教学诊断优化控制教学过程，有效地发展学生的能力，“开放性”教学不仅使学生经历一个知识获得的过程和能力获得的过程，更在于学生数学素养形成的过程，它具有以下的特征：
（一）主体性和主动性
“开放性”数学教学的实践就是一种数学活动，通过活动让学生学习自己获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学基本技能和创造才能。如在学习“平行四边形的判定”这节时，可以设计这样一堂开放式的数学课，开始老师拿出一个平行四边形并告诉学生两组对边分别平行的四边形是平行四边形。紧接着学生分小组研讨，满足什么样的条件的四边形可以被判定是平行四边形？同学们一起猜想，争论质疑，互相补充，他们不仅找到了一组对边平行且相等，两组对边分别相等，对角线互相平分这三种教材上载明的判定方法，还发现用两组对角分别相等，一组对边平行且一组对角相等这些条件也能判定四边形。对照教材，这些发现令同学们欣喜不已，不仅如此，在解决这一问题过程中，同学们还归纳出解决四边形问题的三条主要途径。这就是边、角、和对角线。在运用“开放式”数学教学过程中，学生能主动参与和探索，经历了历史上数学家们曾经经历创造过程（观察、实验、用直觉推理猜想加以证实），并开始形成一种很强烈的主体意识和学习需求。
（二）民主性与合作性
“开放式”数学教学就是要提供更多的机会。鼓励学生不仅读、写，还要去讲（表述自己的数学思想）、去听（听别人的想法）。因为数学不仅是模式的科学，也是一种交流形式，一种语言。它是自然语言的补充。例如：有许多个答案的问题，可以用多种方法解决的问题，条件不断变化而结论始终不变的问题，这些问题靠一个人的力量很难圆满解决，必须依靠集体的智慧和大家的力量。这样的实践使同学们深切感受到集体的重要和合作意义，同时，也使他们体验到解决问题的过程也同样重要，很多规律恰恰蕴藏于其中，可以说同学们从未像现在这样强烈地意识到，在强调竞争的社会中，其实还有比竞争更重要的东西，那就是合作，未来社会需要的就是“合作型”人才。
二、开放性思维
开放性思维就是对在条件不断变化的问题，结论不断变化的问题，或条件和结论都可以变化的问题，从多种角度去考虑，需要有较强的组织能力、判断能力及适应变化能力。这种思维要有灵活性和预见性，思路开阔。设计“开放式”的教学，做开放式的题目，可培养学生的“开放性”思维，下面是培养学生开放式思维的二例。
问题1：在1—8这八个数中，试在某些数前添加负号，使它们的代数和为零。
过程：在几分钟内，大部分同学都拿出了自己的答案，少则一个、多则几个、十几个，紧接着大家开始交流，叫一个学生讲，大家补充。通过交流，同学们不仅找到了问题的答案，而且还找出了规律：这一问题的实质是将几个数分成和相等的两组数，各组数的和应为：1/2（1 2 3 ……8）=18
（1）这样在其中一组数前加负号，则两组数的和为0。这样的问题可归纳为找到几个和为18的数。（2）找到了一组和为18的数，则余下的数和必为18，这两数具有对偶性，在任一组数前加负号，它们的和都为0。（3）在8个数中，添加负号的数至少为3个，至多为5个，（因为8 7 3=18，1 2 3 4 8=18），循着规律去分析，大家终于得出这一问题的所有答案。
接着，师生共同设计如下的问题，若在1—9这9个数中，在其中的一些数前添加负号，能使它们的代数和为零吗？如果在1—10这10個数呢？在1—11，1—12又怎样？有什么规律？这样讨论，可以提高学生的兴趣，又培养了学生的开放思维。
问题2：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD____。求证：这个平行四边形ABCD是____形。
要求：（1）完成填空。（2）证明此题。
开始学生独立思考，然后组织争论，并找一些同学说出自己的想法，最后教师归纳总结，这题有三种解法：
（1）平行四边形ABCD的对角线相等，这个平行四边形是矩形。
（2）平行四边形ABCD的对角垂直，这个平行四边形是菱形。
（3）平行四边形ABCD的对角线相等且垂直，这个平行四边形是正方形。
师生共同分析后，再让同学们根据自己的能力，选择一种方法证明。这样，各层次的学生都有机会训练，人人都有收获。
关键词 开放性教学；数学；思维
中图分类号：C931.1 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）16-0020-01
一、开放性数学
开放性数学教学的重点是数学问题的开放性设计，“开放性”问题是只条件开放（条件是在不断变化的），结论开放（多结论或无固定结论的），解题策略的开放（可以用多种途径解决的）的问题，也可以是一个实际问题。“开放性教学是”充分建立在对学生学习过程的认识的一种模式。它充分注重人在学习时表现出的强烈心理，通过教师有效引导，包括设置开放性问题、问题的层次性推进以及教学诊断优化控制教学过程，有效地发展学生的能力，“开放性”教学不仅使学生经历一个知识获得的过程和能力获得的过程，更在于学生数学素养形成的过程，它具有以下的特征：
（一）主体性和主动性
“开放性”数学教学的实践就是一种数学活动，通过活动让学生学习自己获取数学知识的方法，学习主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学基本技能和创造才能。如在学习“平行四边形的判定”这节时，可以设计这样一堂开放式的数学课，开始老师拿出一个平行四边形并告诉学生两组对边分别平行的四边形是平行四边形。紧接着学生分小组研讨，满足什么样的条件的四边形可以被判定是平行四边形？同学们一起猜想，争论质疑，互相补充，他们不仅找到了一组对边平行且相等，两组对边分别相等，对角线互相平分这三种教材上载明的判定方法，还发现用两组对角分别相等，一组对边平行且一组对角相等这些条件也能判定四边形。对照教材，这些发现令同学们欣喜不已，不仅如此，在解决这一问题过程中，同学们还归纳出解决四边形问题的三条主要途径。这就是边、角、和对角线。在运用“开放式”数学教学过程中，学生能主动参与和探索，经历了历史上数学家们曾经经历创造过程（观察、实验、用直觉推理猜想加以证实），并开始形成一种很强烈的主体意识和学习需求。
（二）民主性与合作性
“开放式”数学教学就是要提供更多的机会。鼓励学生不仅读、写，还要去讲（表述自己的数学思想）、去听（听别人的想法）。因为数学不仅是模式的科学，也是一种交流形式，一种语言。它是自然语言的补充。例如：有许多个答案的问题，可以用多种方法解决的问题，条件不断变化而结论始终不变的问题，这些问题靠一个人的力量很难圆满解决，必须依靠集体的智慧和大家的力量。这样的实践使同学们深切感受到集体的重要和合作意义，同时，也使他们体验到解决问题的过程也同样重要，很多规律恰恰蕴藏于其中，可以说同学们从未像现在这样强烈地意识到，在强调竞争的社会中，其实还有比竞争更重要的东西，那就是合作，未来社会需要的就是“合作型”人才。
二、开放性思维
开放性思维就是对在条件不断变化的问题，结论不断变化的问题，或条件和结论都可以变化的问题，从多种角度去考虑，需要有较强的组织能力、判断能力及适应变化能力。这种思维要有灵活性和预见性，思路开阔。设计“开放式”的教学，做开放式的题目，可培养学生的“开放性”思维，下面是培养学生开放式思维的二例。
问题1：在1—8这八个数中，试在某些数前添加负号，使它们的代数和为零。
过程：在几分钟内，大部分同学都拿出了自己的答案，少则一个、多则几个、十几个，紧接着大家开始交流，叫一个学生讲，大家补充。通过交流，同学们不仅找到了问题的答案，而且还找出了规律：这一问题的实质是将几个数分成和相等的两组数，各组数的和应为：1/2（1 2 3 ……8）=18
（1）这样在其中一组数前加负号，则两组数的和为0。这样的问题可归纳为找到几个和为18的数。（2）找到了一组和为18的数，则余下的数和必为18，这两数具有对偶性，在任一组数前加负号，它们的和都为0。（3）在8个数中，添加负号的数至少为3个，至多为5个，（因为8 7 3=18，1 2 3 4 8=18），循着规律去分析，大家终于得出这一问题的所有答案。
接着，师生共同设计如下的问题，若在1—9这9个数中，在其中的一些数前添加负号，能使它们的代数和为零吗？如果在1—10这10個数呢？在1—11，1—12又怎样？有什么规律？这样讨论，可以提高学生的兴趣，又培养了学生的开放思维。
问题2：已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD____。求证：这个平行四边形ABCD是____形。
要求：（1）完成填空。（2）证明此题。
开始学生独立思考，然后组织争论，并找一些同学说出自己的想法，最后教师归纳总结，这题有三种解法：
（1）平行四边形ABCD的对角线相等，这个平行四边形是矩形。
（2）平行四边形ABCD的对角垂直，这个平行四边形是菱形。
（3）平行四边形ABCD的对角线相等且垂直，这个平行四边形是正方形。
师生共同分析后，再让同学们根据自己的能力，选择一种方法证明。这样，各层次的学生都有机会训练，人人都有收获。