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摘要：《数学课程标准》明确指出，作为促进学生全面发展的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。在教学中，不仅重视知识形成过程，还应十分重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。美国教育家布鲁纳曾说“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”因此，在课堂教学中，教师应不失时机地对学生进行思想方法的渗透。现以根的判别式的复习课为例进行阐述。
关键词：数学思想；根的判别式；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0092
一、化归转化思想的渗透
化归思想既是在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟悉的问题的基本解题模式，其核心就是将有待解决的问题转为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论技术加以处理。
例1. 若关于x的二次三项式x2 （k-2）x 9是一个完全平方式，求k的值。
分析：已知条件可以转化为关于x的一元二次方程x2 （k-2）x 9=0有两个相等的实数根。
从而可以得到Δ=（k-2）2-4×1×9=0，解得k1=8，k2=-4。
启示：要成为完全平方式，本可以利用完全平方式进行分类讨论，但把条件转为一元二次方程之后，就把问题转化为熟悉的根的判别式问题，而且也无需进行分类，简化了解题步骤，提高了学生的解题灵活性。
例2. 当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m 2）x （m 5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m 2）]2-4m（m 5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m 2）x （m 5）能在实数范围内因式分解。
∴m≥4且m≠0。
启示：对于系数是有理数的二次三项式ax2 bx c（a≠0）的因式分解，转化为判断一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的情况，所以，利用别式来判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
二、数形结合思想的渗透
数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来进行分析，研究解决问题的一种思维策略，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，其核心是以形解数，或以数解形，或数形互助，从而使问题获得简便易行的解决。
例3. 已知抛物线y=x2 ax a-2，求证：不论a取何实数，该抛物线都与x轴有两个交点。
分析：抛物线与x轴有两个交点，即方程x2 ax a-2=0有两个不相等的实数根，即Δ>0。
而Δ=a2-4（a-2）=a2-4a 8=（a-2）2 4，故无论a取何值Δ>0。
启示：本题需解决的是有关抛物线与x轴交点的情况，转化为讨论一元二次方程根的情况的问题，这是一道典型的运用数形结合思想解决的题目。在教学中，注意引导学生认真分析数学问题中的有关数字和图形，并把数与形有机结合起来，找到解决问题的方法和策略，对提高学生的解题能力很有帮助。
例4. 二次函数y=-2x2-3x k的图像在x轴下方，求k的取值范围.
解：∵二次函数y=-2x2-3x k的图像在x轴下方，
∴Δ<0，即（-3）2-4×（-2）k<0。
解得 k<- 。
启示：本题可以结合二次函数图像，由a<0，且图像在x轴下方可知函数图像与x轴没有交点，故Δ<0，从而可求得k的取值范围。
三、整体思想的渗透
整体思维就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察。其核心是对数学问题的观察和分析从客观和大处入手，整体把握，化零为整。
例5. 已知抛物线y=x2 2x m-1与直线y=x 2m只有一个公共点时，求m的值。
分析：两个函数图像只有一个公共点，理解为对应的两个方程有公共解，即方程y=x2 2x m-1和方程y=x 2m有公共解，然后把两个方程看作一个整体，理解为x2 2x m-1=x 2m只有一个解，再借助一元二次方程的判别式就可以顺利解决。
Δ=12-4（m-1）=0，∴m= .
启示：在求函数交点时，把两个函数的问题转为有关一个方程的整体问题，在教学中有效地渗透整体思想，以简化运算过程，提高学生整体思考问题的能力。
例6. 已知x≥0，y≥0且x 2y=1，求x2 y2的最大值和最小值。
解：∵x 2y=1，∴x=1-2y。
∴s=x2 y2=（1-2y）2 y2=5y2-4y 1。
∴5y2-4y 1-s=0。
此方程为关于y的一元二次方程且有解。
∴Δ=16-20（1-s）≥0，s≥-
∴smin=-
又∵x≥0，y≥0且x=1-2y≥0，∴0≤y≤
对于函数s（y）=5y2-4y 1
s（0）=1 s（ ）= ∴x2 y2最大值为1
∴x2 y2最大值为1，最小值为
四、分类讨论思想的渗透
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，分类从具体出发，选取适当的分类标准，划分只是手段，分类研究才是目的，其核心就是全面而不重复，广泛而不疏漏。
例7. 已知关于x的方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
分析：有实数根分为有两个不相等实数根和有两个相等的实数根，所以判别式Δ≥0，又条件没有对方程的次数加以限定，所以又要分为一元一次方程和一元二次方程两种情况，综合以上两方面的考虑，本题应得到Δ≥0或k=1，∴k≤2或k=1，∴k的取值范围k≤2。 启示：本题既要从两个方面进行分类，在引导学生对可能出现的各种情况进行分类讨论，从而提高学生思维的严密性。
初中范围内，在运用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，所以必须考虑一元二次方程的判别式Δ≥0，判别式限制了一元二次方程的根与系数关系。
例8. 已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m n=k-1，mn=-3k-2
∴m2 n2=（m n）2-2mn=k2 4k 5=17
∴k1=-6，k2=2
又∵Δ=[-2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2 10k 9
∴当k1=-6时，Δ=k2 10k 9=-15<0，方程无实数根；
当k2=2时，Δ=k2 10k 9=33>0方程有实数根。
故只取k=2。
再利用韦达定理求出字母值时，出现了两种情况，每一种情况都应逐一考虑。
五、逆向思维的渗透
逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考和运用某些数学公式法则解决问题，其核心是培养学生思维的灵活性和发散性，让学生掌握数学知识得到有效的迁移。
例9. 无论x取何值，分式 总有意义，求m满足的条件。
分析：要使分式有意义，分母不能为零，即x2-4x m始终不等于零，也就是方程x2-4x m=0无解，故Δ<0，Δ=16-4m<0，解得m>4。
启发：逆向思维是创新思维的一种重要方式，本题需考虑的是分式有意义的情况，直接入手解决会显得有些困难，但从其反面入手，即考虑分式无意义时，本题解决方法就能迎刃而解。
例10. 已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y），求证：2y=x z。
分析：构造一个以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程，再利用根的判别式解决。
简解：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程（x-y）t2 （z-x）t （y-z）=0有两个不相等的实数根，
又∵（x-y） （z-x） （y-z）=0，
∴ t1=t2=1。
由根与系数的关系可知： =t1t2=1，
∴2y=x z.
六、类比联想的渗透
类比联想就是根据事物间的相似点提出假设和猜想，从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中，让学生进行类比得到不同的结论。
例11. （1）已知关于x的方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
（2）已知函数y=（k-1）x2-2x 1与x轴有交点，求k的取值范围。
（3）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
分析：第（1）题解为k≤2，第（2）题解也为k≤2，第（3）题对方程进行限制了，所以需考虑k-1≠0，所以本题的取值范围为k≤2且k≠1。
启发：本题将相似的三道题目一起呈现，以便让学生通过类比与联想，找出知识点之间的联系与区别。教学中，应尽可能多给学生提供具有相似知识点的背景材料，这种对知识的有效整合，加深了学生对知识本身的理解，也提供了学生一种有效的学习方式。
根的判别式这节复习课，以根的判别式为立足点，有效运用各种初中数学思想方法，用“联系”的观点把各知识块串起来，从而在教学过程中，不仅使学生完善知识体系，同时也有力地促进了学生思维品质的发展。
（作者单位：浙江省义乌绣湖中学 322000）
关键词：数学思想；根的判别式；学生
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0092
一、化归转化思想的渗透
化归思想既是在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟悉的问题的基本解题模式，其核心就是将有待解决的问题转为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论技术加以处理。
例1. 若关于x的二次三项式x2 （k-2）x 9是一个完全平方式，求k的值。
分析：已知条件可以转化为关于x的一元二次方程x2 （k-2）x 9=0有两个相等的实数根。
从而可以得到Δ=（k-2）2-4×1×9=0，解得k1=8，k2=-4。
启示：要成为完全平方式，本可以利用完全平方式进行分类讨论，但把条件转为一元二次方程之后，就把问题转化为熟悉的根的判别式问题，而且也无需进行分类，简化了解题步骤，提高了学生的解题灵活性。
例2. 当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m 2）x （m 5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m 2）]2-4m（m 5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m 2）x （m 5）能在实数范围内因式分解。
∴m≥4且m≠0。
启示：对于系数是有理数的二次三项式ax2 bx c（a≠0）的因式分解，转化为判断一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的情况，所以，利用别式来判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
二、数形结合思想的渗透
数形结合思想是指将数（量）与形（图）结合起来进行分析，研究解决问题的一种思维策略，数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，其核心是以形解数，或以数解形，或数形互助，从而使问题获得简便易行的解决。
例3. 已知抛物线y=x2 ax a-2，求证：不论a取何实数，该抛物线都与x轴有两个交点。
分析：抛物线与x轴有两个交点，即方程x2 ax a-2=0有两个不相等的实数根，即Δ>0。
而Δ=a2-4（a-2）=a2-4a 8=（a-2）2 4，故无论a取何值Δ>0。
启示：本题需解决的是有关抛物线与x轴交点的情况，转化为讨论一元二次方程根的情况的问题，这是一道典型的运用数形结合思想解决的题目。在教学中，注意引导学生认真分析数学问题中的有关数字和图形，并把数与形有机结合起来，找到解决问题的方法和策略，对提高学生的解题能力很有帮助。
例4. 二次函数y=-2x2-3x k的图像在x轴下方，求k的取值范围.
解：∵二次函数y=-2x2-3x k的图像在x轴下方，
∴Δ<0，即（-3）2-4×（-2）k<0。
解得 k<- 。
启示：本题可以结合二次函数图像，由a<0，且图像在x轴下方可知函数图像与x轴没有交点，故Δ<0，从而可求得k的取值范围。
三、整体思想的渗透
整体思维就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察。其核心是对数学问题的观察和分析从客观和大处入手，整体把握，化零为整。
例5. 已知抛物线y=x2 2x m-1与直线y=x 2m只有一个公共点时，求m的值。
分析：两个函数图像只有一个公共点，理解为对应的两个方程有公共解，即方程y=x2 2x m-1和方程y=x 2m有公共解，然后把两个方程看作一个整体，理解为x2 2x m-1=x 2m只有一个解，再借助一元二次方程的判别式就可以顺利解决。
Δ=12-4（m-1）=0，∴m= .
启示：在求函数交点时，把两个函数的问题转为有关一个方程的整体问题，在教学中有效地渗透整体思想，以简化运算过程，提高学生整体思考问题的能力。
例6. 已知x≥0，y≥0且x 2y=1，求x2 y2的最大值和最小值。
解：∵x 2y=1，∴x=1-2y。
∴s=x2 y2=（1-2y）2 y2=5y2-4y 1。
∴5y2-4y 1-s=0。
此方程为关于y的一元二次方程且有解。
∴Δ=16-20（1-s）≥0，s≥-
∴smin=-
又∵x≥0，y≥0且x=1-2y≥0，∴0≤y≤
对于函数s（y）=5y2-4y 1
s（0）=1 s（ ）= ∴x2 y2最大值为1
∴x2 y2最大值为1，最小值为
四、分类讨论思想的渗透
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，分类从具体出发，选取适当的分类标准，划分只是手段，分类研究才是目的，其核心就是全面而不重复，广泛而不疏漏。
例7. 已知关于x的方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
分析：有实数根分为有两个不相等实数根和有两个相等的实数根，所以判别式Δ≥0，又条件没有对方程的次数加以限定，所以又要分为一元一次方程和一元二次方程两种情况，综合以上两方面的考虑，本题应得到Δ≥0或k=1，∴k≤2或k=1，∴k的取值范围k≤2。 启示：本题既要从两个方面进行分类，在引导学生对可能出现的各种情况进行分类讨论，从而提高学生思维的严密性。
初中范围内，在运用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，所以必须考虑一元二次方程的判别式Δ≥0，判别式限制了一元二次方程的根与系数关系。
例8. 已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m n=k-1，mn=-3k-2
∴m2 n2=（m n）2-2mn=k2 4k 5=17
∴k1=-6，k2=2
又∵Δ=[-2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2 10k 9
∴当k1=-6时，Δ=k2 10k 9=-15<0，方程无实数根；
当k2=2时，Δ=k2 10k 9=33>0方程有实数根。
故只取k=2。
再利用韦达定理求出字母值时，出现了两种情况，每一种情况都应逐一考虑。
五、逆向思维的渗透
逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考和运用某些数学公式法则解决问题，其核心是培养学生思维的灵活性和发散性，让学生掌握数学知识得到有效的迁移。
例9. 无论x取何值，分式 总有意义，求m满足的条件。
分析：要使分式有意义，分母不能为零，即x2-4x m始终不等于零，也就是方程x2-4x m=0无解，故Δ<0，Δ=16-4m<0，解得m>4。
启发：逆向思维是创新思维的一种重要方式，本题需考虑的是分式有意义的情况，直接入手解决会显得有些困难，但从其反面入手，即考虑分式无意义时，本题解决方法就能迎刃而解。
例10. 已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y），求证：2y=x z。
分析：构造一个以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程，再利用根的判别式解决。
简解：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程（x-y）t2 （z-x）t （y-z）=0有两个不相等的实数根，
又∵（x-y） （z-x） （y-z）=0，
∴ t1=t2=1。
由根与系数的关系可知： =t1t2=1，
∴2y=x z.
六、类比联想的渗透
类比联想就是根据事物间的相似点提出假设和猜想，从而把已知事物的属性类比推广到类似的新事物中，让学生进行类比得到不同的结论。
例11. （1）已知关于x的方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
（2）已知函数y=（k-1）x2-2x 1与x轴有交点，求k的取值范围。
（3）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x 1=0有实数根，求k的取值范围。
分析：第（1）题解为k≤2，第（2）题解也为k≤2，第（3）题对方程进行限制了，所以需考虑k-1≠0，所以本题的取值范围为k≤2且k≠1。
启发：本题将相似的三道题目一起呈现，以便让学生通过类比与联想，找出知识点之间的联系与区别。教学中，应尽可能多给学生提供具有相似知识点的背景材料，这种对知识的有效整合，加深了学生对知识本身的理解，也提供了学生一种有效的学习方式。
根的判别式这节复习课，以根的判别式为立足点，有效运用各种初中数学思想方法，用“联系”的观点把各知识块串起来，从而在教学过程中，不仅使学生完善知识体系，同时也有力地促进了学生思维品质的发展。
（作者单位：浙江省义乌绣湖中学 322000）