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【摘 要】运动变化观点下的图形与几何教学，就是把图形的运动融入到课堂教学中，从而实现将静态的几何知识在动态处理中变式表征、挖掘本质、梳理关系，使几何表征更加直观形象，空间关系更加简洁清晰，知识结构更加完整系统，从而促使学生在课堂上精准理解概念内涵、深度拓宽概念外延、系统构建知识网络，发展空间观念。
【关键词】运动变化；图形与几何；动态情境；空间观念
空间观念是课程标准提出的核心概念之一，是数学核心素养的重要组成部分。《义务教学数学课程标准（2011年版）》指出，小学生在图形与几何的学习过程中，能对实物及图形的运动与变化进行适当的描述，并能把握相互间的关系。由此可见，物体及图形的运动已经成为课堂教学中发展学生空间观念的重要途径之一。为此，笔者开展了运动变化观点下的小学图形与几何教学的实践，就是将物体和图形的运动融入课堂教学中，将静态的几何图形进行平移、旋转等动态化处理，让学生在创设的动态情境中获得直观体验，从而更加精准、深刻地理解图形的本质特征和空间关系，促进学生空间观念的发展。
一、动态挖掘概念本质，精准理解概念内涵
小学生的思维以具体形象为主，教材在内容的编排时一般都会顺应学生的思维特点，使学习素材力求体现直观形象、易于感知。学生在学习过程中，容易被事物外部的显性表征所吸引，使学习活动流于表层，对具有高度抽象性和内隐性的本质特征却感而不悟。因此，在图形与几何的教学中，可以借助动态处理，使概念内隐的本质特征显性化，从而促进学生对概念本质属性的感悟与理解。
比如，“平行与垂直”一课，教材的编排意图是让学生任意画两条直线，然后通过观察分类得出两条直线的位置关系，并总结平行线的概念。如果就此按部就班进行教学，学生往往能熟练记住概念，但对于“两条直线相交但还没有交叉”的情况往往不能做出正确的判断。笔者觉得问题的症结在于学生对平行线的概念认知建立在两条直线“不相交”的外在表征上，而没有透过这一现象挖掘出“平行线之间的距离处处相等”的本质属性。于是，笔者从动态处理的视角进行了实践探索。
（一）动态想象，呈现素材
课始，笔者通过多媒体演示对图形的平移和旋转知识进行了回顾复习，然后组织学生通过空间想象创设了下面的动态情境：
师：请闭上眼睛，根据老师的描述展开想象，格子图上有一条直线，它开始向上作平移运动，然后停下来了。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？
此时，学生根据老师的描述展开空间想象。
师：格子图上的一条直线绕着线上的某个点开始旋转，它不停地转，忽然停了下来。想一想，这两条直线的位置关系又是怎样的？
……
学生在动态想象中，既积累了直线运动的活动经验，又借助已有的图形运动经验充分感知了平面内两条直线的空间关系，为后续的探究活动提供了研究素材，激活了相关的活动经验，同时也促进了空间想象能力的发展。
（二）经验迁移，挖掘本质
学生的学习是基于自身经验的生长，创设与学生紧密联系的平移情境，激活了学生已有的活动经验，激发学生对平行线本质特征的挖掘。在学生完成作品后，笔者有针对性地挑选了部分作品（如下图）进行了交流。
师：请你仔细观察，看看哪些作品是通过图形平移得到的，哪些作品是通过图形旋转得到的？
在学生进行区分后，教师继续追问。
师：比较一下，通过平移得到的两条直线和通过旋转得到的两条直线的位置关系有什么不同？
生：通过旋转得到的两条直线会相交，而通过平移得到的两条直线不会相交。
师：通过平移得到的两条直线为什么不会相交呢？
生：直线平移后，直线上的每一个点都平移了，所以每一处对应点的距离都是相等的。
师：每一处的距离都要相等吗？相差一点点也不行吗？
生：只要有一处不相等，就不是通过平移得到的，所以就不平行。
……
以上过程中，学生把从平移中获得的经验迁移到平行线的认知中，使“平行线之间的距离处处相等”这一隐性特征得以显性化，加深了学生对概念本质的深度理解，同时也为后续平行线的应用埋下了伏笔。
（三）操作应用，内化概念
当学生理解了概念的本质属性后，要及时引导学生通过实践应用加深对所学知识的理解并得到内化。随后，笔者让学生经历画平行线的过程，進一步感悟“平移→平行→平移”的认知过程，即从平移现象中学习平行的本质特征，再用本质特征去解释平移的现象，深化概念的理解。
二、动态变式概念表征，深度拓宽概念外延
小学教材中，几何概念的本质属性一般通过基本图形的共性特征得到体现，因而易于被学生所感知，但也往往造成学生认知上的局限。因此，笔者通过图形的运动变式概念表征，使学生从图形“变”的现象中感悟“不变”的本质，从而拓宽概念外延，突破认知局限，完善认知结构。
比如，人教版五年级下册“三角形的认识”一课中，以锐角三角形为例学习了高的概念以后，需要引导学生抓住本质特征在直角三角形和钝角三角形中进一步认识两类特殊的高，这也是学生认识高的一个难点，笔者从运动变化的观点出发进行了探索。
（一）动中察变，感知规律
教学中，在学生认识了锐角三角形中的高后，笔者出示了平行线内的一个锐角三角形，并作动态演示（如下图）：两条平行线间的锐角三角形ABC，以BC为底画出三角形的高，然后把顶点A沿着平行线中的一条直线向右平移，此时三角形底边上的高也会随着顶点A向右移动，形成了一系列同底等高的锐角三角形，然后引领学生总结图形运动的变化规律。
师：三角形的什么在变，什么没有变？
生：三角形的形状在变，但底不变。
生：高随着顶点移动，但长短不变。 师：你能说说高的位置移动与三角形的形状变化之间有什么联系吗？
生：高的位置越来越靠近AC这条边。
继续演示：向右平移顶点A，当出现高与AC重合时停止。
师：高在什么位置？
生：三角形的高与直角边重合了，这时直角边AC既是三角形的边，又可以看作是三角形的高。
……
此环节的教学，通过图形的动态演示，让学生在观察图形的变与不变中，感知图形的形状和高的位置在变，但三角形高的本质不变。
（二）变中求联，拓宽外延
在学生认识了直角边上的高，感知了三角形高的位置移動变化规律后，笔者继续让学生通过动态变化想象钝角三角形钝角边上的高。
师：如果直角三角形的顶点A继续向右边平移，想象一下，会产生什么三角形？它的高又会在什么位置呢？
学生展开动态想象，大部分学生对于高的位置不置可否。此时教师继续演示：向右平移顶点A，形成了一个钝角三角形。
师：这是什么三角形？（钝角三角形）它的高在什么位置？
生：在三角形的外面。
师：这还是三角形的高吗？
生：还是三角形的高，因为这还是一条从三角形的顶点A向它的对边BC所做的一条垂直线段。
师：通过刚才的一系列变化，你有什么发现？
生：不管哪一条高，都是顶点到它的对边作一条垂直线段，但位置不一样了。锐角三角形的高在三角形里面，直角三角形的高与直角边重叠，钝角三角形的高跑到三角形的外面了。……
以上的教学过程，笔者从运动变化的观点出发，抓住三类三角形“同底等高”的这一联系点，通过平移三角形的顶点，拓宽了三角形高的外延，突破了三角形高的认知局限，同时也突出了三角形高的本质属性，促进了学生空间观念的发展。
（三）联中促通，突破难点
当学生完整建构了三角形高的概念后，画高成了学生学习的重要任务，特别是画钝角三角形外面的高时，学生往往找不到三角板摆放的位置。笔者在实践中采取“联中促通、动态迁移”的方法突破了画高难点。
师：画这条钝角边上的高，你觉得三角尺放在什么位置合适呢？（出示一个钝角三角形）
生：我们可以借助平移高的方法，让三角板的一条直角边与三角形的底边重合，然后沿着三角形的底边向顶点所在一边平移，直到三角尺的另一直角紧靠着顶点，然后画出高。
……
以上教学片段中，学生在画钝角三角形外面的高时，没有采取从顶点向对边作一条垂线的常规画法，而是借助了之前因平移顶点而导致高的位置移动的活动经验，通过平移三角板的方式找到了高的准确位置，实现了经验的融通和方法的迁移，突破了学习的难点。
三、动态梳理概念关系，系统建立知识结构
图形与几何教学中，每一个概念都有着各自独特的属性，概念之间也有着非常密切的联系。在动态中梳理概念之间的关系，既可以清晰地掌握概念的本质特征，同时又可以系统构建知识结构。
例如，在学生学习了五年级上册平面图形的面积后，在学生借助面积计算公式梳理知识后，笔者尝试让学生通过图形的运动寻找多边形间的特殊关系，构建知识网络。
（一）变中求异，初步感知
师：平行四边形和梯形是四边形家族中的重要成员，它们间有什么不同的地方呢？
生：它们都是四边形，最大的不同是平行四边形有两组对边平行，而梯形只有一组对边平行。
笔者通过动态演示：把梯形上底的一个顶点进行平移，使两腰也平行，变成了平行四边形。
师：通过刚才的演示，什么在变，什么没有变？
生：当梯形的上、下底长度相等时，该梯形也就成了一个“特殊”的梯形。
……
学生在动态演示过程中，初步感知了通过改变图形的特征，可以实现图形间的相互转化，从“另类”的视角打开了图形关系梳理的一扇窗。
（二）变中求同，系统建构
当学生初步感知了梯形和平行四边形的变与不变之后，笔者借助多媒体继续演示：沿着梯形的上底向右平移顶点A，（如右上图）当上下底相等时，图形变成了上下底相等的“特殊梯形”（平行四边形）；如果反之，当这个A点逐渐挨近B点，当上底的两个顶点重合时，图形变成了上底等于零的“特殊梯形”（三角形）。
在图形的动态变化过程中，学生感悟了改变梯形上下底的长度关系，梯形可以在平行四边形和三角形之间互相转化，那么梯形的面积计算公式就可以将平行四边形和三角形的面积计算方法包括其中，达到以简驭繁、以少统多的效果，使概念间的关系在动态梳理中更加系统。
（三）变中求解，综合应用
我们经常会碰到这样的一类题目：比较两条平行线之间的平行四边形、三角形和梯形的面积大小（如下图）。对于此类题目，我们一般的处理方法是假设出高的值，然后运用公式进行计算比较。
以上方法是建立在图形面积公式的熟练计算的基础上，如果我们借助图形的动态处理，把三角形和平行四边形分别看作上底是零、上下底相等的特殊梯形。那么在高相等的前提下，只要比较梯形上下底和的大小，就可以轻而易举地得出三个图形面积的大小关系，既解决了问题，又发展了学生的思维。
总之，运动变化观点下的图形与几何教学，其实质是借助物体与图形的运动，把抽象的数学知识转化成动态的具体表象，使几何表征更加直观形象，空间关系更加简洁清晰，知识结构更加完整系统，有利于促进学生空间观念的深刻发展。
参考文献：
[1]张奠宙.小学数学如何实现从直观到抽象的飞跃[J].小学教学（数学版），2015（5）.
[2]朱乐平.谈小学空间与图形教学内容的动态处理[J].江苏教育研究，2009（11B）.
（浙江省天台县外国语学校 317200）
【关键词】运动变化；图形与几何；动态情境；空间观念
空间观念是课程标准提出的核心概念之一，是数学核心素养的重要组成部分。《义务教学数学课程标准（2011年版）》指出，小学生在图形与几何的学习过程中，能对实物及图形的运动与变化进行适当的描述，并能把握相互间的关系。由此可见，物体及图形的运动已经成为课堂教学中发展学生空间观念的重要途径之一。为此，笔者开展了运动变化观点下的小学图形与几何教学的实践，就是将物体和图形的运动融入课堂教学中，将静态的几何图形进行平移、旋转等动态化处理，让学生在创设的动态情境中获得直观体验，从而更加精准、深刻地理解图形的本质特征和空间关系，促进学生空间观念的发展。
一、动态挖掘概念本质，精准理解概念内涵
小学生的思维以具体形象为主，教材在内容的编排时一般都会顺应学生的思维特点，使学习素材力求体现直观形象、易于感知。学生在学习过程中，容易被事物外部的显性表征所吸引，使学习活动流于表层，对具有高度抽象性和内隐性的本质特征却感而不悟。因此，在图形与几何的教学中，可以借助动态处理，使概念内隐的本质特征显性化，从而促进学生对概念本质属性的感悟与理解。
比如，“平行与垂直”一课，教材的编排意图是让学生任意画两条直线，然后通过观察分类得出两条直线的位置关系，并总结平行线的概念。如果就此按部就班进行教学，学生往往能熟练记住概念，但对于“两条直线相交但还没有交叉”的情况往往不能做出正确的判断。笔者觉得问题的症结在于学生对平行线的概念认知建立在两条直线“不相交”的外在表征上，而没有透过这一现象挖掘出“平行线之间的距离处处相等”的本质属性。于是，笔者从动态处理的视角进行了实践探索。
（一）动态想象，呈现素材
课始，笔者通过多媒体演示对图形的平移和旋转知识进行了回顾复习，然后组织学生通过空间想象创设了下面的动态情境：
师：请闭上眼睛，根据老师的描述展开想象，格子图上有一条直线，它开始向上作平移运动，然后停下来了。想一想，这两条直线的位置关系是怎样的？
此时，学生根据老师的描述展开空间想象。
师：格子图上的一条直线绕着线上的某个点开始旋转，它不停地转，忽然停了下来。想一想，这两条直线的位置关系又是怎样的？
……
学生在动态想象中，既积累了直线运动的活动经验，又借助已有的图形运动经验充分感知了平面内两条直线的空间关系，为后续的探究活动提供了研究素材，激活了相关的活动经验，同时也促进了空间想象能力的发展。
（二）经验迁移，挖掘本质
学生的学习是基于自身经验的生长，创设与学生紧密联系的平移情境，激活了学生已有的活动经验，激发学生对平行线本质特征的挖掘。在学生完成作品后，笔者有针对性地挑选了部分作品（如下图）进行了交流。
师：请你仔细观察，看看哪些作品是通过图形平移得到的，哪些作品是通过图形旋转得到的？
在学生进行区分后，教师继续追问。
师：比较一下，通过平移得到的两条直线和通过旋转得到的两条直线的位置关系有什么不同？
生：通过旋转得到的两条直线会相交，而通过平移得到的两条直线不会相交。
师：通过平移得到的两条直线为什么不会相交呢？
生：直线平移后，直线上的每一个点都平移了，所以每一处对应点的距离都是相等的。
师：每一处的距离都要相等吗？相差一点点也不行吗？
生：只要有一处不相等，就不是通过平移得到的，所以就不平行。
……
以上过程中，学生把从平移中获得的经验迁移到平行线的认知中，使“平行线之间的距离处处相等”这一隐性特征得以显性化，加深了学生对概念本质的深度理解，同时也为后续平行线的应用埋下了伏笔。
（三）操作应用，内化概念
当学生理解了概念的本质属性后，要及时引导学生通过实践应用加深对所学知识的理解并得到内化。随后，笔者让学生经历画平行线的过程，進一步感悟“平移→平行→平移”的认知过程，即从平移现象中学习平行的本质特征，再用本质特征去解释平移的现象，深化概念的理解。
二、动态变式概念表征，深度拓宽概念外延
小学教材中，几何概念的本质属性一般通过基本图形的共性特征得到体现，因而易于被学生所感知，但也往往造成学生认知上的局限。因此，笔者通过图形的运动变式概念表征，使学生从图形“变”的现象中感悟“不变”的本质，从而拓宽概念外延，突破认知局限，完善认知结构。
比如，人教版五年级下册“三角形的认识”一课中，以锐角三角形为例学习了高的概念以后，需要引导学生抓住本质特征在直角三角形和钝角三角形中进一步认识两类特殊的高，这也是学生认识高的一个难点，笔者从运动变化的观点出发进行了探索。
（一）动中察变，感知规律
教学中，在学生认识了锐角三角形中的高后，笔者出示了平行线内的一个锐角三角形，并作动态演示（如下图）：两条平行线间的锐角三角形ABC，以BC为底画出三角形的高，然后把顶点A沿着平行线中的一条直线向右平移，此时三角形底边上的高也会随着顶点A向右移动，形成了一系列同底等高的锐角三角形，然后引领学生总结图形运动的变化规律。
师：三角形的什么在变，什么没有变？
生：三角形的形状在变，但底不变。
生：高随着顶点移动，但长短不变。 师：你能说说高的位置移动与三角形的形状变化之间有什么联系吗？
生：高的位置越来越靠近AC这条边。
继续演示：向右平移顶点A，当出现高与AC重合时停止。
师：高在什么位置？
生：三角形的高与直角边重合了，这时直角边AC既是三角形的边，又可以看作是三角形的高。
……
此环节的教学，通过图形的动态演示，让学生在观察图形的变与不变中，感知图形的形状和高的位置在变，但三角形高的本质不变。
（二）变中求联，拓宽外延
在学生认识了直角边上的高，感知了三角形高的位置移動变化规律后，笔者继续让学生通过动态变化想象钝角三角形钝角边上的高。
师：如果直角三角形的顶点A继续向右边平移，想象一下，会产生什么三角形？它的高又会在什么位置呢？
学生展开动态想象，大部分学生对于高的位置不置可否。此时教师继续演示：向右平移顶点A，形成了一个钝角三角形。
师：这是什么三角形？（钝角三角形）它的高在什么位置？
生：在三角形的外面。
师：这还是三角形的高吗？
生：还是三角形的高，因为这还是一条从三角形的顶点A向它的对边BC所做的一条垂直线段。
师：通过刚才的一系列变化，你有什么发现？
生：不管哪一条高，都是顶点到它的对边作一条垂直线段，但位置不一样了。锐角三角形的高在三角形里面，直角三角形的高与直角边重叠，钝角三角形的高跑到三角形的外面了。……
以上的教学过程，笔者从运动变化的观点出发，抓住三类三角形“同底等高”的这一联系点，通过平移三角形的顶点，拓宽了三角形高的外延，突破了三角形高的认知局限，同时也突出了三角形高的本质属性，促进了学生空间观念的发展。
（三）联中促通，突破难点
当学生完整建构了三角形高的概念后，画高成了学生学习的重要任务，特别是画钝角三角形外面的高时，学生往往找不到三角板摆放的位置。笔者在实践中采取“联中促通、动态迁移”的方法突破了画高难点。
师：画这条钝角边上的高，你觉得三角尺放在什么位置合适呢？（出示一个钝角三角形）
生：我们可以借助平移高的方法，让三角板的一条直角边与三角形的底边重合，然后沿着三角形的底边向顶点所在一边平移，直到三角尺的另一直角紧靠着顶点，然后画出高。
……
以上教学片段中，学生在画钝角三角形外面的高时，没有采取从顶点向对边作一条垂线的常规画法，而是借助了之前因平移顶点而导致高的位置移动的活动经验，通过平移三角板的方式找到了高的准确位置，实现了经验的融通和方法的迁移，突破了学习的难点。
三、动态梳理概念关系，系统建立知识结构
图形与几何教学中，每一个概念都有着各自独特的属性，概念之间也有着非常密切的联系。在动态中梳理概念之间的关系，既可以清晰地掌握概念的本质特征，同时又可以系统构建知识结构。
例如，在学生学习了五年级上册平面图形的面积后，在学生借助面积计算公式梳理知识后，笔者尝试让学生通过图形的运动寻找多边形间的特殊关系，构建知识网络。
（一）变中求异，初步感知
师：平行四边形和梯形是四边形家族中的重要成员，它们间有什么不同的地方呢？
生：它们都是四边形，最大的不同是平行四边形有两组对边平行，而梯形只有一组对边平行。
笔者通过动态演示：把梯形上底的一个顶点进行平移，使两腰也平行，变成了平行四边形。
师：通过刚才的演示，什么在变，什么没有变？
生：当梯形的上、下底长度相等时，该梯形也就成了一个“特殊”的梯形。
……
学生在动态演示过程中，初步感知了通过改变图形的特征，可以实现图形间的相互转化，从“另类”的视角打开了图形关系梳理的一扇窗。
（二）变中求同，系统建构
当学生初步感知了梯形和平行四边形的变与不变之后，笔者借助多媒体继续演示：沿着梯形的上底向右平移顶点A，（如右上图）当上下底相等时，图形变成了上下底相等的“特殊梯形”（平行四边形）；如果反之，当这个A点逐渐挨近B点，当上底的两个顶点重合时，图形变成了上底等于零的“特殊梯形”（三角形）。
在图形的动态变化过程中，学生感悟了改变梯形上下底的长度关系，梯形可以在平行四边形和三角形之间互相转化，那么梯形的面积计算公式就可以将平行四边形和三角形的面积计算方法包括其中，达到以简驭繁、以少统多的效果，使概念间的关系在动态梳理中更加系统。
（三）变中求解，综合应用
我们经常会碰到这样的一类题目：比较两条平行线之间的平行四边形、三角形和梯形的面积大小（如下图）。对于此类题目，我们一般的处理方法是假设出高的值，然后运用公式进行计算比较。
以上方法是建立在图形面积公式的熟练计算的基础上，如果我们借助图形的动态处理，把三角形和平行四边形分别看作上底是零、上下底相等的特殊梯形。那么在高相等的前提下，只要比较梯形上下底和的大小，就可以轻而易举地得出三个图形面积的大小关系，既解决了问题，又发展了学生的思维。
总之，运动变化观点下的图形与几何教学，其实质是借助物体与图形的运动，把抽象的数学知识转化成动态的具体表象，使几何表征更加直观形象，空间关系更加简洁清晰，知识结构更加完整系统，有利于促进学生空间观念的深刻发展。
参考文献：
[1]张奠宙.小学数学如何实现从直观到抽象的飞跃[J].小学教学（数学版），2015（5）.
[2]朱乐平.谈小学空间与图形教学内容的动态处理[J].江苏教育研究，2009（11B）.
（浙江省天台县外国语学校 317200）