数列和不等式的交叉是高三数学复习中一个重要话题，也是各级各类考试中常见的问题，更是学生学习中的难题。在平时的教学中，我们发现数列不等式的证明方法千变万化，但细细品味还是能发现其中一些不变的因素，通过一段时间的思考整理，笔者发现有些简单的数列不等式堪称经典，在多种场合下有不可替代的作用。现通过几个实例来分析一下这些经典不等式的功能和变化。
　　模型一■■＝１－■＜１
　　这是我们在证明数列不等式时常常遇到的不等式，它通过数列的拆项求和过程，达到了放缩的目的，在实际解决问题中它还有一些典型的变形，如■■＝■■（ｎ≥２），许多不等式的证明题只要能转化为我们的模型一，就可以解决了。
　　例1 求证：■+■＋...＋■＜■（ｎ∈Ｎ*）.
　　分析：题中分式■的分母展开后是4n2+4n+1，可缩小为4n2+4n=4n（n+1），从而可得■<■=■■-■，恰可利用模型一。
　　简证如下：
　　■+■＋...＋■＜■■+■+...+■=■1-■<■.
　　说明：模型一实际上是数列与不等式的结合应用，数列与不等式的结合题通常是高考压轴题的优先选择和高中数学联赛一试、二试解答题的常考点，而其解答过程通常是将不等式的放缩作为关键步骤。模型一只是放缩的一个特例，不能死记硬背，要灵活应用，下列不等式也有异曲同工之妙：
　　 ■■=■■<■■=1+■-■-■<■……①;
　　 ■■＞■■=1-■+■-■+...+■-■……②；
　　 ■■＞1+■■≤1-■■=2-■……③.
　　例2 在数列{an}中，an=n21+■+■+...+■（n≥2）.求证：
　　（1）■=■（n≥2）
　　（2）１＋■１＋■...１＋■<4（n≥1）
　　分析：（1）易于证明，由已知可得n≥2时，
　　an+1=n21+■+■+...+■+1
　　=n21+■+■+...+■+■
　　=■1+■+■+...+■+■
　　＝■ａｎ＋１，得证.
　　（2）的证明可由（1）及已知和不等式③而得：当n≥2时，1+■＝■＝■■，故得当n≥2时，
　　１＋■１＋■...１＋■=２１＋■１＋■
　　＝２×■×■×...×■■
　　＝■＝■
　　＝２１＋１－■＋■－■＋...＋■－■＝２２－■<4
　　又n=1时，1+■＝２<4也成立，所以不等式得证。
　　说明：这里乘积１＋■１＋■...１＋■经过变形后转化成为 ■■，于是便有了证题方向。
　　模型二 ■■＝１－■ｎ<１（更一般地，■ｑｉ＝■<■）（0　　是等比数列学习中的一个基本数列其前n项和通过放缩可以成为一个常用的不等式，即模型二，它在证明一些数列不等式时效果显著。
　　本文仅就平时碰到的几个问题阐述对形如（为常数）的一类数列不等式的一些处理方法，而且借助的不等式也不完全，这种不等式实际上有较多形式，这里不一一叙述，但相信只要经常思考训练定能驾轻就熟。
　　
　　【参考文献】
　　[1]任念兵，周心华.强化命题证明一类数列不等式.中学数学教学参考，2006年第12期.
　　
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