【摘要】 在生产实践和数学分析中经常会遇到一类函数,即所谓的分段函数. 由于分段函数有着特殊的地位,因此有必要对其某些性态加以讨论,研究. 本文通过对几个实例的分析研究来加以说明.
　　 【关键词】 分段函数 极限 连续 导数 积分
　　
　　 分段函数一般而言是非初等函数,而在高等数学中对于分段函数的研究尽管是难点,却经常要遇到它. 因此正确掌握求分段函数的极限､连续､导数､积分等问题就显得比较重要. 下面通过几个实例加以讨论.
　　
　　 一､分段函数的极限
　　
　　 例1 设f(x) = x,x ≥ 0,-x,x < 0,求.
　　 解 由题意,可得 == 1;
　　 == -1 .
　　 因为 ≠ ,所以不存在.
　　 例2 设f(x) =,x < 1,a,x = 1,ax - 2,x > 1, 求当a为何值时, f(x)存在.
　　 解 因为f(x)= (ax - 2)=a - 2;
　　 f(x)=== -1.
　　 由题意,当f(x)=f(x) 时,f(x) 存在,
　　 故a - 2 = -1,即a = 1.
　　 对于分段函数f(x)在分段点x0处的极限,当f(x)在分段点的左､右邻域内的解析表达式不同时,应分别求函数在该点的右极限和左极限,且 f(x) =f(x) = A ?圳f(x) = A.
　　
　　 二､分段函数的连续性
　　
　　 例3 讨论函数f(x) =,x > 0,2,x = 0,cos2tdt,x < 0的连续性.
　　 解 当x > 0时,f(x) =为初等函数,故连续;
　　 当x < 0时,f(x) = cos2 tdt,因变上限定积分可导,必连续,故f(x)在x < 0时连续.
　　 下面讨论f(x)在点x = 0处的连续性:
　　 因为f(x) = = 2= 2.
　　 f(x) = =2cos2x = 2.
　　 所以 f(x) = f(0) = 2,因此f(x)在x = 0处连续.
　　 综上讨论,f(x)在(-∞,+∞)内连续.
　　 讨论分段函数的连续性,关键是根据连续性的定义,判别分段点的连续性.
　　 三､分段函数的导数
　　 例4 设f(x) = 1 + x,x ≤ 0,e-x,x > 0,求f′(x).
　　 解 当x < 0时,因为f(x) = 1 + x,故f′(x) = (1 + x)′ = 1;
　　 当x > 0时,因为f(x) = e-x, 故f′(x) = (e-x)′ = -e-x.
　　 当x = 0时;因为f+′(0) === (-e-x) = -1;
　　 f-′(0) === 1.
　　 由于f+′(0) ≠f-′(0),故f(x)在点x = 0处不可导.
　　 所以f′(x) = 1,x < 0,-e-x,x > 0.
　　 例5 设f(x) = x3 cos ,x≠0,0,x = 0,求f′(0).
　　 解 因x = 0是函数的分段点,用导数的定义计算可得:f′(0) = ==
　　 x2 cos= 0.
　　 讨论分段函数的导数时应注意,若求分段函数中非分段点的导数,则可用初等函数的求导方法直接求出;若求分段函数中分段点的导数,则必须用导数的定义来计算.
　　 四､分段函数的积分
　　 例6 设f(x) = sin 2x,x < 0,0,x = 0,e-x ,x > 0,求f(x)的一个原函数.
　　 解 当x < 0时,F(x) =f(x)dx =
　　 sin2xdx=- cos2x + c1 (c1为任意常数);
　　 当x > 0时,F(x) =f(x)dx= e-xdx = -e-x + c2 (c2为任意常数).
　　 由原函数定义可知,F(x)在点x = 0处可导,所以 F(x)在点x = 0处连续.
　　 故有F(0) = F(x) = F(x).
　　 而 F(x)= -1 + c1, F(x) = -+ c1,
　　 所以-1 + c2 = -+ c1,即c2 = + c1 .
　　 对于c1不同的值,可得f(x)的不同的原函数,令c1 = 0,可得f(x)的一个原函数为:
　　 F(x) = - cos2x,x < 0,- ,x = 0,-e- x+,x > 0.
　　 例7 设f(x) =,x ≥ 0,1 - ex -1 ,x < 0, 求 f(x-1)dx.
　　 解 因为f(x - 1)= ,x ≥ 1,1 + ex -1 ,x < 1.
　　 而f(x - 1)在x = 1处不连续,所以根据定积分性质有:
　　 f(x-1)dx =(1 + ex-1)dx +dx =
　　 (x + ex-1) + ln x= 2-e-1 + ln 2.
　　 例8 设f(x)= sin x,| x | ≤ ,0,| x | >,求 f(t)dt .
　　 解 当|x| ≤ 时,有
　　 f(t)dt =sin tdt = -cos t = 1 - cos x;
　　 当|x| >时,则对x >时,有
　　 f(t)dt =sin tdt +0dt = -cos t = 1;
　　 当x < - 时,有
　　 f(t)dt =sin tdt +0dt = -cos t = 1.
　　 故 f(t)dt = 1 -cos x,| x | ≤,1,| x | >.
　　 对于分段函数的积分,关键是要根据被积函数的结构特点,分段计算之.
　　
　　 【参考文献】
　　 [1] 赵树姬. 微积分学习与考试指导.北京:中国人民大学出版社,1998(10).
　　 [2] 姚孟臣. MPA入学考试综合知识应试指导与模拟试题.北京:北京大学出版社,2002(6).
　　
　　注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”