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摘 要：随着金融业的不断发展，信用风险管理愈发显得重要，运用何种方法去做科学的风险测度也逐渐成为热门领域。VaR是使信用风险数量化的工具，其主旨是估计由于借款人因某种原因不能及使偿还债务而发生违约时给债权人或银行造成的损失。VaR作为一种工具主要在风险控制、绩效评价以及金融监管三个方面发挥重要作用。本文主要应用方差-协方差法计算VaR值进行实证分析。
关键词：信用风险；VaR；方差-协方差法
一、方差-协方差法计算VaR值的基本思想
方差-协方差法假定资产组合收益服从条件正态分布。该方法利用组合的价值函数与市场因素间的近似关系、市场因素的统计分布（方差-协方差矩阵）计算资产组合的收益的方差、标准差、协方差；求出在一定置信水平下，反映分布偏离均值程度的临界值，建立与风险损失的联系，推导VaR值。这种方法只需计算投资组合的波动率和方差-协方差矩阵，VaR值通过简单的矩阵乘法就可得到。
二、模型建立
方差-协方差法（又称“参数法”、“分析法”等）它有两个重要假设：
假设1：线性性假定。即在持有期内，贷款价值的变化与其风险因子成线性关系，此处的风险因子选为借款公司的资产收益率。事实上，除期权类非线性的金融工具，大多数证券价值的变化都是风险因子变化的线性函数。
假设2：正态分布假设。即假设风险因子服从正态分布。
基于前面所说的两点基本假设，借款企业的收益率服从正态分布，即[X～N（μ，σ2）]，其中[μ]为预期收益率，[σ]为收益率的标准差，设[V]为贷款目前的价值，[E（V）]为贷款的预期价值，[V*]为与既定置信水平[α]下最大可能相对应的贷款价值。于是信用风险的VaR值为[VaR=E（V）-V*=ασV]
三、 方差-协方差法计算VaR值的实证分析
假设借款企业的收益率服从正态分布，即[X～N（μ，σ2）]，其中[μ]为预期收益率，[σ]为收益率的标准差，设[V]为贷款目前的价值，[E（V）]为贷款的预期价值，[V*]为与既定置信水平[α]下最大可能相对应的贷款价值。于是，[VaR=E（V）-V*=ασV]
例如，当置信度取为99%时，[VaR=2.33σV]；当置信度取为95%时，[VaR=1.65σV]。
根据标准普尔的数据资料，得到信用等级转移概率矩阵和不同信用等级的远期贴现率，如表1和表2。
[年末等级变化情况（%）＼&初始等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&AAA＼&90.81＼&8.33＼&0.68＼&0.06＼&0.12＼&＼&＼&＼&AA＼&0.70＼&90.65＼&7.79＼&0.64＼&0.06＼&0.14＼&0.02＼&＼&A＼&0.09＼&2.27＼&91.05＼&5.52＼&0.74＼&0.26＼&0.01＼&0.06＼&BBB＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&BB＼&0.03＼&0.14＼&0.67＼&7.73＼&80.53＼&8.84＼&1.00＼&1.06＼&B＼&＼&0.11＼&0.24＼&0.43＼&6.48＼&83.46＼&4.07＼&5.20＼&CCC＼&0.22＼&＼&0.22＼&1.3＼&2.38＼&11.24＼&64.86＼&19.79＼&]
表1 标准普尔借款企业信用等级一年期转移概率矩阵
[信用等级＼&1年＼&2年＼&3年＼&4年＼&AAA＼&3.60＼&4.17＼&4.73＼&5.12＼&AA＼&3.65＼&4.22＼&4.78＼&5.17＼&A＼&3.72＼&4.32＼&4.93＼&5.32＼&BBB＼&4.10＼&4.67＼&5.25＼&5.63＼&BB＼&5.55＼&6.02＼&6.78＼&7.27＼&B＼&6.05＼&7.02＼&8.03＼&8.52＼&CCC＼&15.05＼&15.02＼&14.03＼&13.52＼&]
表2 不同信用等级的远期贴现率（%）
下面以200万元信用等级为BBB级（即表3）的五年期贷款为例计算其在险价值，其中年利率为10%。
[年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&转移概率（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&]
表3 信用等级为BBB级一年期转移概率矩阵
根据公式[Vj=R+i=1n-1R（1+ri+si）i+R+F（1+rn+sn）n]可以得到一年后贷款处于不同等级时的远期价值并绘制成表4如下（其中假设借款企业若在年终违约，则根据其在偿付上的优先权银行可按一定的收益率收回一部分投资，违约回收率为50.98%）：
[年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&違约率＼&转移概率[Pi]（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&贷款远期价值[Vi]＼&209.55＼&209.20＼&208.16＼&205.99＼&195.19＼&187.51＼&159.45＼&101.96＼&]
表4 BBB级贷款处于不同信用等级的远期价值（万元）
若假定贷款的价值服从正态分布。则一年后该笔贷款价值的
均值为[E（V）=PiVi=]205.0992
方差为[R2=Pi[Vi-E（V）]=31.768598]
标准差为R=5.6364
根据公式[Mi=Vi-FF]求出处于不同信用等级的收益率[Mi]，如表5。 [年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&转移概率[Pi]（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&收益率[Mi]（%）＼&4.775＼&4.6000＼&4.080＼&2.995＼&-2.405＼&-6.245＼&-20.275＼&-49.020＼&]
表5 BBB级贷款处于不同信用等级的远期价值及其收益率（万元）
根据表5，求出一年后该笔贷款的收益率均值为[μ=PiMi=]0.02549351， 方差[σ2=Pi（Mi-μ）2=]0.0007944773，标准差[σ]=0.0281864，当置信度取为99%时，[VaR=2.33σV]=13.13万元；当置信度取为95%时，[VaR=1.65σV]=9.30万元。
②若基于贷款价值服从实际分布的假设。从表四中得到贷款价值不高于195.19万元的概率为6.77%（5.30%+1.17%+0.12%+0.18%），即第6.77个百分位数的贷款价值为195.19万元，同理可得出第1.47个百分位数的贷款价值为187.51万元，由线性插值法得到第一个百分位数的贷款价值为186.83万元，第5个百分位数的贷款价值为192.63万元，于是99%置信度下的VaR值为VaR=205.10-186.83=18.27万元，于是95%置信度下的VaR值为VaR=205.10-192.63=12.47万元。
显然，基于不同分布的假设前提计算出来的VaR值差别较大。基于正态分布的VaR值比基于实际分布的VaR值明显偏小，对于产生上述差异的原因作以下分析：
一方面，方差-协方差方法是基于线性性和风险因子的正态性的假设。事实上，实践表明很多资产收益的分布并不遵循正态分布的假设，而是表现出了所谓的“厚尾现象”，也就是实际观察值偏离均值的情况要比正态分布更多一些，这意味着超出预期损失的频率比正态分布预测的更高，这也是让管理者担心的问题。但是，根据中心极限定理即使单个资产的收益不遵循正态分布，但各种风险因子分散得很好的资产组合的收益仍会表现出正态分布的特征，在正态分布不能很好的描述资产组合收益的情况时，建议采用t分布，t分布考虑了厚尾情形（如图1），其它推导类似于正态分布假设的结果。一般地，由t分布推导出的VaR值要比正态分布推导出的VaR值大。
图1 标准正态分布和自由度为4的t分布图
另一方面，VaR方法最初是用来度量市场风险的，通常认为市场风险的概率分布是服从正态分布的，这种假设在许多情况下反映了其基本特征。然而，对于银行来说，信用风险的概率分布是不对称的。因为对手方信用质量的改善会给投资者带来的收益的“上升”是有限的，而降级或违约则会给收益带来实质性甚至是巨大的“下降”。这样就导致了信用风险概率分布的“厚尾现象”。
参考文献：
[1]（美）安东尼.桑德斯.信用风险度量：风险估值的新方法与其他范式[M].劉宇飞译.北京：机械工业出版社，2001.
[2] 马超群，李红权.VaR方法及其在金融风险管理中的应用[J].系统工程，2000，18（2）：56-59.
[3]Morgan.J.P.Risk Metrics Technical Document[M]，Fourth Edith，New York，1996.
[4]王春峰、万海晖、张维.金融市场风险测量模型——VaR[J].系统工程学报，2000，15（1）：67-75.
关键词：信用风险；VaR；方差-协方差法
一、方差-协方差法计算VaR值的基本思想
方差-协方差法假定资产组合收益服从条件正态分布。该方法利用组合的价值函数与市场因素间的近似关系、市场因素的统计分布（方差-协方差矩阵）计算资产组合的收益的方差、标准差、协方差；求出在一定置信水平下，反映分布偏离均值程度的临界值，建立与风险损失的联系，推导VaR值。这种方法只需计算投资组合的波动率和方差-协方差矩阵，VaR值通过简单的矩阵乘法就可得到。
二、模型建立
方差-协方差法（又称“参数法”、“分析法”等）它有两个重要假设：
假设1：线性性假定。即在持有期内，贷款价值的变化与其风险因子成线性关系，此处的风险因子选为借款公司的资产收益率。事实上，除期权类非线性的金融工具，大多数证券价值的变化都是风险因子变化的线性函数。
假设2：正态分布假设。即假设风险因子服从正态分布。
基于前面所说的两点基本假设，借款企业的收益率服从正态分布，即[X～N（μ，σ2）]，其中[μ]为预期收益率，[σ]为收益率的标准差，设[V]为贷款目前的价值，[E（V）]为贷款的预期价值，[V*]为与既定置信水平[α]下最大可能相对应的贷款价值。于是信用风险的VaR值为[VaR=E（V）-V*=ασV]
三、 方差-协方差法计算VaR值的实证分析
假设借款企业的收益率服从正态分布，即[X～N（μ，σ2）]，其中[μ]为预期收益率，[σ]为收益率的标准差，设[V]为贷款目前的价值，[E（V）]为贷款的预期价值，[V*]为与既定置信水平[α]下最大可能相对应的贷款价值。于是，[VaR=E（V）-V*=ασV]
例如，当置信度取为99%时，[VaR=2.33σV]；当置信度取为95%时，[VaR=1.65σV]。
根据标准普尔的数据资料，得到信用等级转移概率矩阵和不同信用等级的远期贴现率，如表1和表2。
[年末等级变化情况（%）＼&初始等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&AAA＼&90.81＼&8.33＼&0.68＼&0.06＼&0.12＼&＼&＼&＼&AA＼&0.70＼&90.65＼&7.79＼&0.64＼&0.06＼&0.14＼&0.02＼&＼&A＼&0.09＼&2.27＼&91.05＼&5.52＼&0.74＼&0.26＼&0.01＼&0.06＼&BBB＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&BB＼&0.03＼&0.14＼&0.67＼&7.73＼&80.53＼&8.84＼&1.00＼&1.06＼&B＼&＼&0.11＼&0.24＼&0.43＼&6.48＼&83.46＼&4.07＼&5.20＼&CCC＼&0.22＼&＼&0.22＼&1.3＼&2.38＼&11.24＼&64.86＼&19.79＼&]
表1 标准普尔借款企业信用等级一年期转移概率矩阵
[信用等级＼&1年＼&2年＼&3年＼&4年＼&AAA＼&3.60＼&4.17＼&4.73＼&5.12＼&AA＼&3.65＼&4.22＼&4.78＼&5.17＼&A＼&3.72＼&4.32＼&4.93＼&5.32＼&BBB＼&4.10＼&4.67＼&5.25＼&5.63＼&BB＼&5.55＼&6.02＼&6.78＼&7.27＼&B＼&6.05＼&7.02＼&8.03＼&8.52＼&CCC＼&15.05＼&15.02＼&14.03＼&13.52＼&]
表2 不同信用等级的远期贴现率（%）
下面以200万元信用等级为BBB级（即表3）的五年期贷款为例计算其在险价值，其中年利率为10%。
[年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&转移概率（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&]
表3 信用等级为BBB级一年期转移概率矩阵
根据公式[Vj=R+i=1n-1R（1+ri+si）i+R+F（1+rn+sn）n]可以得到一年后贷款处于不同等级时的远期价值并绘制成表4如下（其中假设借款企业若在年终违约，则根据其在偿付上的优先权银行可按一定的收益率收回一部分投资，违约回收率为50.98%）：
[年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&違约率＼&转移概率[Pi]（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&贷款远期价值[Vi]＼&209.55＼&209.20＼&208.16＼&205.99＼&195.19＼&187.51＼&159.45＼&101.96＼&]
表4 BBB级贷款处于不同信用等级的远期价值（万元）
若假定贷款的价值服从正态分布。则一年后该笔贷款价值的
均值为[E（V）=PiVi=]205.0992
方差为[R2=Pi[Vi-E（V）]=31.768598]
标准差为R=5.6364
根据公式[Mi=Vi-FF]求出处于不同信用等级的收益率[Mi]，如表5。 [年末信用等级＼&AAA＼&AA＼&A＼&BBB＼&BB＼&B＼&CCC＼&违约率＼&转移概率[Pi]（%）＼&0.02＼&0.33＼&5.95＼&86.93＼&5.30＼&1.17＼&0.12＼&0.18＼&收益率[Mi]（%）＼&4.775＼&4.6000＼&4.080＼&2.995＼&-2.405＼&-6.245＼&-20.275＼&-49.020＼&]
表5 BBB级贷款处于不同信用等级的远期价值及其收益率（万元）
根据表5，求出一年后该笔贷款的收益率均值为[μ=PiMi=]0.02549351， 方差[σ2=Pi（Mi-μ）2=]0.0007944773，标准差[σ]=0.0281864，当置信度取为99%时，[VaR=2.33σV]=13.13万元；当置信度取为95%时，[VaR=1.65σV]=9.30万元。
②若基于贷款价值服从实际分布的假设。从表四中得到贷款价值不高于195.19万元的概率为6.77%（5.30%+1.17%+0.12%+0.18%），即第6.77个百分位数的贷款价值为195.19万元，同理可得出第1.47个百分位数的贷款价值为187.51万元，由线性插值法得到第一个百分位数的贷款价值为186.83万元，第5个百分位数的贷款价值为192.63万元，于是99%置信度下的VaR值为VaR=205.10-186.83=18.27万元，于是95%置信度下的VaR值为VaR=205.10-192.63=12.47万元。
显然，基于不同分布的假设前提计算出来的VaR值差别较大。基于正态分布的VaR值比基于实际分布的VaR值明显偏小，对于产生上述差异的原因作以下分析：
一方面，方差-协方差方法是基于线性性和风险因子的正态性的假设。事实上，实践表明很多资产收益的分布并不遵循正态分布的假设，而是表现出了所谓的“厚尾现象”，也就是实际观察值偏离均值的情况要比正态分布更多一些，这意味着超出预期损失的频率比正态分布预测的更高，这也是让管理者担心的问题。但是，根据中心极限定理即使单个资产的收益不遵循正态分布，但各种风险因子分散得很好的资产组合的收益仍会表现出正态分布的特征，在正态分布不能很好的描述资产组合收益的情况时，建议采用t分布，t分布考虑了厚尾情形（如图1），其它推导类似于正态分布假设的结果。一般地，由t分布推导出的VaR值要比正态分布推导出的VaR值大。
图1 标准正态分布和自由度为4的t分布图
另一方面，VaR方法最初是用来度量市场风险的，通常认为市场风险的概率分布是服从正态分布的，这种假设在许多情况下反映了其基本特征。然而，对于银行来说，信用风险的概率分布是不对称的。因为对手方信用质量的改善会给投资者带来的收益的“上升”是有限的，而降级或违约则会给收益带来实质性甚至是巨大的“下降”。这样就导致了信用风险概率分布的“厚尾现象”。
参考文献：
[1]（美）安东尼.桑德斯.信用风险度量：风险估值的新方法与其他范式[M].劉宇飞译.北京：机械工业出版社，2001.
[2] 马超群，李红权.VaR方法及其在金融风险管理中的应用[J].系统工程，2000，18（2）：56-59.
[3]Morgan.J.P.Risk Metrics Technical Document[M]，Fourth Edith，New York，1996.
[4]王春峰、万海晖、张维.金融市场风险测量模型——VaR[J].系统工程学报，2000，15（1）：67-75.