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【关键词】经历；倍的认识；生长
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）41-0062-04
目前，“苏教版”教材和“人教版”教材都在二年级上册学习《倍的认识》，我们发现“倍”概念的建立是在学生掌握简单乘除知识之后，它是依据乘除知识中“份”的概念扩展而来，因此，两种版本的教材都是先让学生在“几个几”的基础上初步认识“一个数是另一个数几倍”的含义，并在“实际运用”或“变式结构”中，从更高层面对“倍”的概念进行再认识。当然，两种版本的教材还存在一些区别，苏教版教材侧重于通过“倍”的概念帮助学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽运用乘、除法运算解决实际问题的范围；人教版教材强调“谁和谁比”，关注“倍的知识”在整体知识结构中的产生和发展。在最近一次数学课堂教学观摩研讨活动中，笔者聆听了人教版《倍的认识》一课，整节课教师带领学生不断超越自我，体验探究之乐，从而使“倍”的概念不断深化，一些教学片段让人回味无穷。同时，本人结合苏教版教学的经历认为，如何让学生在经历中真实生长可以进一步探索。
一、经历活动，让数学学习过程真实有效
1.巧设活动，经历过程。
本节课教师设计了两次活动让学生自主探究，在这样“静悄悄”经历活动的过程中，学生的学习是真实发生的。
师：小兔家还有白萝卜，白萝卜也跟胡萝卜作比较，会是几倍关系呢？拿出你们桌面上的练习纸，动笔圈一圈、填一填、找一找，究竟是几倍？
学生在初步交流的基础上，通过圈一圈、填一填等活动进行验证。这些活动让每一位学生又一次经历了“倍”的形成过程，知道了胡萝卜是2根，要把胡萝卜看成1份；白萝卜也要2根2根地摆，可以摆5份；因为白萝卜有5个2根，所以白萝卜根数是胡萝卜的5倍。
师：小兔在思考，种什么才能让白菜和萝卜有倍数关系呢？请同桌的两个同学互相商量，帮小兔出出主意。
菜园里已经种了9棵白菜，2棵萝卜，还有一个坑。如果在这个坑里种萝卜，萝卜就有3棵，白菜的数量是萝卜的3倍。如果在这个坑里种白菜，白菜就有10棵，白菜数量是萝卜的5倍。
2.放低重心，有效活動。
第一次活动是新知学完之后的快速反应，教师设计了学生的独立活动，要求每位学生在练习纸上圈一圈、填一填，找出白萝卜是胡萝卜的几倍，通过这样的活动，以较低的重心让学生经历过程、及时巩固，1分30秒的活动时间甚为合理。第二次活动是解决问题，这道题较为复杂，且为一题多解，整个解答过程教师大约花了14分钟，然而“让学生同桌合作商量种什么”的时间却仅用了30秒左右，其他过程则在师生对话中逐步完成。问题虽然在交流中解决了，但问题的解决过程只涉及教师与几位学生之间的互动，只有部分跟教师交流的学生参与了过程，并不是每个学生都真正经历了过程，这里看似有一个同桌互说的活动，但是学生在题意尚未完全理解的前提下，只是猜想而已，未必能解释原因。笔者认为，教师可以进一步放低重心，重新设计活动，通过核心问题推进教学：请每位同学在练习纸上画一画、想一想、填一填，如果在上面种（ ），那么（ ）是（ ）的（ ）倍；如果在上面种（ ），那么（ ）是（ ）的（ ）倍。把活动化为行动，学生真正经历两种情况的问题解决过程，才能在“做”的过程中积累数学活动经验。
二、经历合作，让数学情感态度真实体现
1.多向合作，完善表达。
学生对于“倍”有一些感性的认识，但是缺乏对数学本质的提炼，所以他们对于诸如“为什么红萝卜是胡萝卜的3倍”这样的说理表达不清，这就需要通过师生合作、生生合作来形成正确表象。
师：为什么可以说红萝卜是胡萝卜的3倍呢？
生：因为它有3个2。
师：它把谁看作1份？
生：它把2根看作1份。
师：谁有2根？
生：胡萝卜。
师：继续说，咱们把话说完整。
生：红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
师：那是因为它有这样的几个几？
生：那是因为它有3个2，所以，红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
师：谁也能像她这样说？
生：红萝卜是胡萝卜的3倍。
师：为什么？
生1：因为胡萝卜有2根，红萝卜有这样的3份，也就是3个2，所以红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
生2：胡萝卜是每2根看作1份，红萝卜是它的3份，所以是3个2，也就是红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
在这个片段中，教师能关注学生的表达实际，并进行及时指导。教师让学生自己说想法，说出自己对概念的最初理解。刚开始，学生的回答不太熟练，正好暴露了她的已有认知，什么是已经知道的，什么是说不清楚的，这是一种带着“缺憾”的真实。面对这份“缺憾”，教师“紧抓不放”，通过连续追问去引导、去补全、去完善，于是有了学生从逐渐流畅到自如表达的过渡。
如果到此为止，仅有三位学生得到练习，学生的表达训练还远远不够。于是，教师恰当地利用学生的表达欲望，最后又让同桌互相说一说，及时进行了补位练习，让每一位学生都在同伴合作中不断完善自己的表达。
2.对比向美，学会倾听。
课堂上，教师十分注重学生表达能力的提升，却弱化了学生倾听习惯的养成。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）中强调要能倾听别人的意见，尝试对别人的想法提出建议。学生是有差异的，每一个学生对于“倍”的理解也是不一样的，当第一位学生的表达不完整时，教师何不让其他学生表达想法？让其他学生说一说对于该生的答案有何补充，说一说“红萝卜的根数为什么是胡萝卜的3倍”，在补充中完善表达，在对比中学会倾听，把师生间的互动转化为生生间的向美，把教师的敏锐转移为学生的态度。 三、经历思考，让数学思维方式真实流露
1.设计问题，引发思考。
课标中提出了要运用数学的思维方式进行思考，何为数学思考？就是在面临各种现实问题的情境时，能够从数学的角度去思考，并运用数学的知识和思想方法去解决问题。数学课堂处处都有数学思考，本节课就有多处数学思考。比如，一开始在格子背景中呈现了葛同学、姚明的照片，教师问：“比比他俩的身高，有什么想说的？”又如呈现主题图中的萝卜之后教师提问：“你能用‘倍’来说一说红萝卜和胡萝卜之间的关系吗？”又如发现红萝卜与白萝卜“比不完”时教师提问：“你有什么发现？”再如红萝卜不变，胡萝卜变化时教师追问：“都是跟胡萝卜比较，为什么一会儿是3倍关系，一会儿是2倍关系呢？”教师还设计了很多这样的问题，来引发学生的思考。
2.精心设计，思维流露。
课堂上这么多的问题，引发了师生间的很多“对答”。但是这么高密度的“对答”剥夺了学生独立思考的时机，常常是一个问题抛出后，就立刻请一位学生回答。此时，是不是所有学生都已经清晰这个问题？是不是所有学生都对问题有了思考？教师不妨对这些问题进行整体设计，在提出核心问题后给学生留足思考时间，放慢节奏，让学生的思维过程充分流露，从而让课堂上的数学思考更加接地气。现对以上问题进行重新调整、板块设计如下：
问题一：（在格子背景中呈现了葛同学、姚明的照片）数一数后面的格子，比一比他俩的身高，你能用一句话说说他们身高的关系吗？
问题二：（摆出主题图中的胡萝卜、红萝卜）想一想，这里谁是谁的几倍？请你在练习纸上圈一圈、分一分，表示出你的想法。
问题三：（呈现5行“胡萝卜有2根，红萝卜有（ ）个2根，红萝卜是胡萝卜的（ ）倍”）教师给大家计时30秒，看谁写得又对又快，边写边想，你有什么發现？
问题四：（对比呈现胡萝卜与红萝卜比较的两份资源）都是跟胡萝卜比较，上面是2倍关系，下面却是3倍关系，请大家在图上数一数、圈一圈，再和同桌说说为什么？
调整之后，每次思考的时间都更加充分，每次思维的呈现都更加多样，学生的思维显现，师生、生生之间的互动才会更深入，数学课才会更有数学味。
四、经历回顾，让数学反思意识真实形成
1.课堂小结，提炼重点。
课堂小结既要对一节课的知识结构进行整理归纳，还要引导学生对学习方法进行适当提升，从而让知识与方法融会贯通。本节课，教师在课的结尾处带领学生进行了及时回顾，让学生在回顾的过程中提炼重点。
师：要找到几倍，先要确定什么？找到什么？ 生1：先要找到个数才行。
生2：标准。
生3：再去找另一个数里有这样的几份。
师：我们就可以说谁是谁的几倍。
2.有向反思，方法提升。
课堂小结是一节课中必不可少的一部分，是在较短时间内对这节课学习内容作一个简短的系统性、概括性、延伸性的总结。在以上的课堂小结中，笔者认为教师课堂小结缺乏设计，没有让学生沉下来回顾反思。结合本节课的教学，可以对课堂小结进行如下调整：
（1）结合板书，梳理知识。完整地看一看板书，说一说这节课学到了什么新的认识。先独立看看，再同桌交流，最后全班交流。教师结合PPT或板书回顾所学知识。
（2）课堂回顾，提炼方法。回想一下整节课，我们经历了怎样的学习过程。先独立思考，再全班交流。教师及时进行方法提炼。
（3）首尾呼应，建构概念。结合ppt进行追问：姚明叔叔的身高到底是葛同学的几倍？为什么？
板书是一节课的“课眼”，这节课的板书图文并茂，清晰美观，课堂小结时指向板书，让学生完整地看一看板书，可以整体了解这节课学习的重点知识，先独立看、再同桌说、最后全班交流，逐步递进，教师在此基础上结合PPT或板书重现知识，从而帮助学生梳理重点、加深理解。课堂小结一方面可以对知识进行梳理，另一方面可以对方法进行提炼，本节课有画一画、填一填、想一想、说一说等多种学习方法；也有数形结合的思想、从具体到抽象的过程；所以教师可以指向活动，让学生回想一下整节课经历的学习过程，帮助学生形成方法结构、过程结构，从而为后续的知识做好铺垫。课始，教师创设了“姚明叔叔有两个葛同学那么高，姚明叔叔的身高是葛同学身高的几倍”这样一个问题情境，带着这个问题进入了课堂，也可以在这个问题的解决过程走出课堂，所以教师可以指向疑问，在举一反三中建构知识，在有始有终下形成概念。
数学课堂，学生始终在中央。教师要把数学课堂还给学生，从个别学生向全班学生转移，让学生在真实有效的学习过程中经历活动，在真实体验的情感交流中经历合作，在真实流露的思维呈现中经历思考，在真实形成的教学反思中经历回顾。从点到面，让学生在经历中真实生长。
（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘实验小学）
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）41-0062-04
目前，“苏教版”教材和“人教版”教材都在二年级上册学习《倍的认识》，我们发现“倍”概念的建立是在学生掌握简单乘除知识之后，它是依据乘除知识中“份”的概念扩展而来，因此，两种版本的教材都是先让学生在“几个几”的基础上初步认识“一个数是另一个数几倍”的含义，并在“实际运用”或“变式结构”中，从更高层面对“倍”的概念进行再认识。当然，两种版本的教材还存在一些区别，苏教版教材侧重于通过“倍”的概念帮助学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽运用乘、除法运算解决实际问题的范围；人教版教材强调“谁和谁比”，关注“倍的知识”在整体知识结构中的产生和发展。在最近一次数学课堂教学观摩研讨活动中，笔者聆听了人教版《倍的认识》一课，整节课教师带领学生不断超越自我，体验探究之乐，从而使“倍”的概念不断深化，一些教学片段让人回味无穷。同时，本人结合苏教版教学的经历认为，如何让学生在经历中真实生长可以进一步探索。
一、经历活动，让数学学习过程真实有效
1.巧设活动，经历过程。
本节课教师设计了两次活动让学生自主探究，在这样“静悄悄”经历活动的过程中，学生的学习是真实发生的。
师：小兔家还有白萝卜，白萝卜也跟胡萝卜作比较，会是几倍关系呢？拿出你们桌面上的练习纸，动笔圈一圈、填一填、找一找，究竟是几倍？
学生在初步交流的基础上，通过圈一圈、填一填等活动进行验证。这些活动让每一位学生又一次经历了“倍”的形成过程，知道了胡萝卜是2根，要把胡萝卜看成1份；白萝卜也要2根2根地摆，可以摆5份；因为白萝卜有5个2根，所以白萝卜根数是胡萝卜的5倍。
师：小兔在思考，种什么才能让白菜和萝卜有倍数关系呢？请同桌的两个同学互相商量，帮小兔出出主意。
菜园里已经种了9棵白菜，2棵萝卜，还有一个坑。如果在这个坑里种萝卜，萝卜就有3棵，白菜的数量是萝卜的3倍。如果在这个坑里种白菜，白菜就有10棵，白菜数量是萝卜的5倍。
2.放低重心，有效活動。
第一次活动是新知学完之后的快速反应，教师设计了学生的独立活动，要求每位学生在练习纸上圈一圈、填一填，找出白萝卜是胡萝卜的几倍，通过这样的活动，以较低的重心让学生经历过程、及时巩固，1分30秒的活动时间甚为合理。第二次活动是解决问题，这道题较为复杂，且为一题多解，整个解答过程教师大约花了14分钟，然而“让学生同桌合作商量种什么”的时间却仅用了30秒左右，其他过程则在师生对话中逐步完成。问题虽然在交流中解决了，但问题的解决过程只涉及教师与几位学生之间的互动，只有部分跟教师交流的学生参与了过程，并不是每个学生都真正经历了过程，这里看似有一个同桌互说的活动，但是学生在题意尚未完全理解的前提下，只是猜想而已，未必能解释原因。笔者认为，教师可以进一步放低重心，重新设计活动，通过核心问题推进教学：请每位同学在练习纸上画一画、想一想、填一填，如果在上面种（ ），那么（ ）是（ ）的（ ）倍；如果在上面种（ ），那么（ ）是（ ）的（ ）倍。把活动化为行动，学生真正经历两种情况的问题解决过程，才能在“做”的过程中积累数学活动经验。
二、经历合作，让数学情感态度真实体现
1.多向合作，完善表达。
学生对于“倍”有一些感性的认识，但是缺乏对数学本质的提炼，所以他们对于诸如“为什么红萝卜是胡萝卜的3倍”这样的说理表达不清，这就需要通过师生合作、生生合作来形成正确表象。
师：为什么可以说红萝卜是胡萝卜的3倍呢？
生：因为它有3个2。
师：它把谁看作1份？
生：它把2根看作1份。
师：谁有2根？
生：胡萝卜。
师：继续说，咱们把话说完整。
生：红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
师：那是因为它有这样的几个几？
生：那是因为它有3个2，所以，红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
师：谁也能像她这样说？
生：红萝卜是胡萝卜的3倍。
师：为什么？
生1：因为胡萝卜有2根，红萝卜有这样的3份，也就是3个2，所以红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
生2：胡萝卜是每2根看作1份，红萝卜是它的3份，所以是3个2，也就是红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。
在这个片段中，教师能关注学生的表达实际，并进行及时指导。教师让学生自己说想法，说出自己对概念的最初理解。刚开始，学生的回答不太熟练，正好暴露了她的已有认知，什么是已经知道的，什么是说不清楚的，这是一种带着“缺憾”的真实。面对这份“缺憾”，教师“紧抓不放”，通过连续追问去引导、去补全、去完善，于是有了学生从逐渐流畅到自如表达的过渡。
如果到此为止，仅有三位学生得到练习，学生的表达训练还远远不够。于是，教师恰当地利用学生的表达欲望，最后又让同桌互相说一说，及时进行了补位练习，让每一位学生都在同伴合作中不断完善自己的表达。
2.对比向美，学会倾听。
课堂上，教师十分注重学生表达能力的提升，却弱化了学生倾听习惯的养成。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）中强调要能倾听别人的意见，尝试对别人的想法提出建议。学生是有差异的，每一个学生对于“倍”的理解也是不一样的，当第一位学生的表达不完整时，教师何不让其他学生表达想法？让其他学生说一说对于该生的答案有何补充，说一说“红萝卜的根数为什么是胡萝卜的3倍”，在补充中完善表达，在对比中学会倾听，把师生间的互动转化为生生间的向美，把教师的敏锐转移为学生的态度。 三、经历思考，让数学思维方式真实流露
1.设计问题，引发思考。
课标中提出了要运用数学的思维方式进行思考，何为数学思考？就是在面临各种现实问题的情境时，能够从数学的角度去思考，并运用数学的知识和思想方法去解决问题。数学课堂处处都有数学思考，本节课就有多处数学思考。比如，一开始在格子背景中呈现了葛同学、姚明的照片，教师问：“比比他俩的身高，有什么想说的？”又如呈现主题图中的萝卜之后教师提问：“你能用‘倍’来说一说红萝卜和胡萝卜之间的关系吗？”又如发现红萝卜与白萝卜“比不完”时教师提问：“你有什么发现？”再如红萝卜不变，胡萝卜变化时教师追问：“都是跟胡萝卜比较，为什么一会儿是3倍关系，一会儿是2倍关系呢？”教师还设计了很多这样的问题，来引发学生的思考。
2.精心设计，思维流露。
课堂上这么多的问题，引发了师生间的很多“对答”。但是这么高密度的“对答”剥夺了学生独立思考的时机，常常是一个问题抛出后，就立刻请一位学生回答。此时，是不是所有学生都已经清晰这个问题？是不是所有学生都对问题有了思考？教师不妨对这些问题进行整体设计，在提出核心问题后给学生留足思考时间，放慢节奏，让学生的思维过程充分流露，从而让课堂上的数学思考更加接地气。现对以上问题进行重新调整、板块设计如下：
问题一：（在格子背景中呈现了葛同学、姚明的照片）数一数后面的格子，比一比他俩的身高，你能用一句话说说他们身高的关系吗？
问题二：（摆出主题图中的胡萝卜、红萝卜）想一想，这里谁是谁的几倍？请你在练习纸上圈一圈、分一分，表示出你的想法。
问题三：（呈现5行“胡萝卜有2根，红萝卜有（ ）个2根，红萝卜是胡萝卜的（ ）倍”）教师给大家计时30秒，看谁写得又对又快，边写边想，你有什么發现？
问题四：（对比呈现胡萝卜与红萝卜比较的两份资源）都是跟胡萝卜比较，上面是2倍关系，下面却是3倍关系，请大家在图上数一数、圈一圈，再和同桌说说为什么？
调整之后，每次思考的时间都更加充分，每次思维的呈现都更加多样，学生的思维显现，师生、生生之间的互动才会更深入，数学课才会更有数学味。
四、经历回顾，让数学反思意识真实形成
1.课堂小结，提炼重点。
课堂小结既要对一节课的知识结构进行整理归纳，还要引导学生对学习方法进行适当提升，从而让知识与方法融会贯通。本节课，教师在课的结尾处带领学生进行了及时回顾，让学生在回顾的过程中提炼重点。
师：要找到几倍，先要确定什么？找到什么？ 生1：先要找到个数才行。
生2：标准。
生3：再去找另一个数里有这样的几份。
师：我们就可以说谁是谁的几倍。
2.有向反思，方法提升。
课堂小结是一节课中必不可少的一部分，是在较短时间内对这节课学习内容作一个简短的系统性、概括性、延伸性的总结。在以上的课堂小结中，笔者认为教师课堂小结缺乏设计，没有让学生沉下来回顾反思。结合本节课的教学，可以对课堂小结进行如下调整：
（1）结合板书，梳理知识。完整地看一看板书，说一说这节课学到了什么新的认识。先独立看看，再同桌交流，最后全班交流。教师结合PPT或板书回顾所学知识。
（2）课堂回顾，提炼方法。回想一下整节课，我们经历了怎样的学习过程。先独立思考，再全班交流。教师及时进行方法提炼。
（3）首尾呼应，建构概念。结合ppt进行追问：姚明叔叔的身高到底是葛同学的几倍？为什么？
板书是一节课的“课眼”，这节课的板书图文并茂，清晰美观，课堂小结时指向板书，让学生完整地看一看板书，可以整体了解这节课学习的重点知识，先独立看、再同桌说、最后全班交流，逐步递进，教师在此基础上结合PPT或板书重现知识，从而帮助学生梳理重点、加深理解。课堂小结一方面可以对知识进行梳理，另一方面可以对方法进行提炼，本节课有画一画、填一填、想一想、说一说等多种学习方法；也有数形结合的思想、从具体到抽象的过程；所以教师可以指向活动，让学生回想一下整节课经历的学习过程，帮助学生形成方法结构、过程结构，从而为后续的知识做好铺垫。课始，教师创设了“姚明叔叔有两个葛同学那么高，姚明叔叔的身高是葛同学身高的几倍”这样一个问题情境，带着这个问题进入了课堂，也可以在这个问题的解决过程走出课堂，所以教师可以指向疑问，在举一反三中建构知识，在有始有终下形成概念。
数学课堂，学生始终在中央。教师要把数学课堂还给学生，从个别学生向全班学生转移，让学生在真实有效的学习过程中经历活动，在真实体验的情感交流中经历合作，在真实流露的思维呈现中经历思考，在真实形成的教学反思中经历回顾。从点到面，让学生在经历中真实生长。
（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘实验小学）