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【摘要】学习错误源于学习活动本身，它直接反映了动态课堂中学生的学习状况。它们是知识的宝库，教师应该擅于在课前评估错误资源，在课中捕捉错误资源，于课后收集错误资源，把学生的学习错误作为教育机会，将“错误”转化为实时可用的课堂教学资源，进行数学课堂教学。
【关键词】数学课堂；教育契机； 教学反思
新课标指出，数学课堂中的“错误”往往发生在教师的教学和学生的学习过程中。在实施新课程标准的过程中，我们倡导和践行以学生为中心的人本课堂。考虑到学生的知识背景、思维方式、情感体验和表达方式和成人有很大不同，在学习过程中会犯错是必然的。因此，课堂应该是倡导学生大胆出错的地方，出错是学生的权力。我们应该理性看待学生的错误，把握课堂教育的机遇，把它们演变成宝贵的教学资源。那么，如何看待和运用活动中的错误呢？笔者通过以下几方面进行探讨。
一、课前铺垫错误，拨动思维之弦
英国心理学家Ben Bridge说：“人都是容易犯错的。教师不使用错误是不可原谅的。”我们不仅要包容错误，更要发掘和利用学生的错误资源。课前利用各种“错误”资源，让学生在多元变化的课堂中进行思考和讨论。
1.显示错误，防患未然
每个学生是天生的探索者、研究者和发现者。在课堂教学中，如果我们能够有意识地犯一些美丽的错误，主动地呈现出来，引导学生从自己的角度去发现、认识和纠正错误，依靠他们掌握的数学知识，使学生具有强烈的纠错欲望，才能使课堂呈现出真实而精彩的魅力 。学生也对这种情景很感兴趣。
如，學习《认识长度单位》这一课前，出示判断标准：“1m是手臂展开的距离，1cm是拇指指甲的宽度。”之后，在练习填单位时，学生会判断长度单位的误差，如“铅笔约25米”和“教室黑板高度为2厘米”。这样，教师就会主动在标题中显示错误，引导学生在犯错误和辨别错误的过程中进一步理解知识，从而控制可能的错误，防止错误的发生。否则，在萌芽状态消除错误将提高学生分析和解决问题的能力。
2.诱导错误，引发深思
音乐界有一个故事——当著名指挥家小泽成思第一次参加世界比赛时，他竟然连续三次打断他的指挥，因为他认为乐谱上有“错误”。事实上，这是法官设定的蓄意“陷阱”。而据理争辩、大胆否认这个“陷阱”则恰恰证明了小泽作为音乐指挥的超强实力。
教师还应善于适当地设置一些这样的“陷阱”，甚至引导学生在陷入“陷阱”并仍陶醉于“成功”的喜悦时，指出自己的错误，并通过分析，让学生“犯错误”和“掉入陷阱”，最终使他们突然从“错误”中醒悟过来。
比如，《面积与面积单位》这节课前，老师故意设置“陷阱”：让我们玩一个“数方块”的游戏。这个游戏的规则是：当男生数时，女生闭上眼睛；轮到女孩数数，男孩们要闭上眼睛。接下来，男生数了八个正方形，女生数了四个正方形。所有的学生都认为八个正方形的矩形很大，但是令人惊讶的是，老师拿出的两个正方形的面积是一样的。这时，学生们高呼“被骗”。激烈的认知冲突使学生突然意识到“统一网格尺寸”的必要性，面积单位的出现可以被描述为自然结果。
二、课中捕捉错误，泛起探究涟漪
《重建课堂教学过程》一文中对课堂活动有这样的描述：在教学活动中，学生可以提高的综合能力包括学习兴趣、注意力、合作能力、观点和意见、提出的问题和论点，甚至包括犯错的过程，以及生成性资源。因此，教师应具有独特的洞察力，及时发现短暂的错误，并熟练地运用于教学活动中。
1.善待“错误”， 显露思维
教育家卡尔威特关于教育的秘诀之一——就是要用宽容和智慧来对待儿童，包括“错误”。错误作为一种教学资源，给它一个合理利用的情境，以激发学生的学习兴趣和对知识的渴求。
当学生在课堂上犯错误或出现问题时，作为教师，首先要尊重、理解和容忍犯错误的学生，秉承以人为本的主观教育理念，不责备或挖苦学生。老师应该从学生的角度来对待这些错误，这样学生才能诚实地说出自己的想法；耐心地倾听他们的表达，不否定学生的思路，允许不完整的答案和重新的思考，并允许不同的观点而加以辩论。这样的课程可以培养学生勇于面对错误、挑战错误的毅力，增强学生克服困难、学好数学的信心。
2.关注“错误” ，引导辨析
课标指出，数学课程的内容应具有现实性、挑战性和意义性。以学生的实际错误为教学内容，让学生通过反复“试错”活动，随之回到主动解决问题的过程中去，最终引导学生进行比较和思考，让他们找出错误的原因，经历内部联系和知识差异的比对，从而形成一个系统，避免今后犯类似的错误。
以四年级的运算律为例，在学习了混合运算顺序和运算律之后，教师在练习阶段在黑板出示以下两个练习①25 75×4 ；②25×75×4经过练习，学生犯了两种错误：A.25 75×4=4×25 75；B.25×75×4=4×25 75×75。他们直觉地认定他们的错误也是很有道理的。如果我们直接告诉他们对错，效果显然非常不令人满意，因为这种错误还会经常反复发生。为此，教师抓住机会巧妙地设置A、B、C三方展开辩论赛，看哪方可以获胜。同时，在辩论的过程中，他们学会表达和说服——把数学语言和思维作为他们强有力的证据，相互反驳，去探究真知。
学生们喜爱尝试，并在渴望尝试的心理作用下有很高的士气。辩论过程中，C方驳斥乘法分配法适用于两个数的和（或差）乘以另一个数的情况，反而从侧面更有力地论证：A.4×25 75=4×25 4×75不同于①②的公式；B.我们也可以直接计算①②的公式B。这证明了甲方和乙方的做法是错误的。C.①这一方只能用一般方法计算。它不满足乘法分配的条件。②公式可由25×75×4=（25×4）×75计算。所以，让学生体验错误哪里会不值得呢？学习始于发现，甚至是错误。如果出了问题，就可以产生课程资源。正是由“错误”的内在愿望驱动的探究活动，能更好地反映课堂的新鲜性和创造性。
三、课后反思错误，盛开智慧之花
从教育心理的角度出发，反思是指在思考、学习和教学的过程中提升自我意识和自我监控的能力。其目的是教师成为反思型教师，学生成为反思型学生。
1.学生反思，完善认知
荷兰学者弗洛伊登塔尔说：“反思是数学的一项重要活动，是数学活动的核心和动力。”学生的错误不只是通过积极的示范和重复的练习来纠正。必须有一个自我否定的过程，这是建立在自我反思的基础上的，而在现实教学中，教师更应该帮助学生树立纠错意识。
每个学生都应该准备一套“错题集锦”，以便课后收集错误的问题，这是培养学生反思习惯的一种方法。教师每月定期从学生的“错题集锦”中选择有代表性的错误问题，并在课堂上进行分析，以便学生能够充分地分析错误思维，并尽可能详细地分析错误产生的原因。这不但可以培养学生的批判性数学思维的意识，而且可以完善学生的认知结构，形成知识网络。
2.教师反思，促进成长
教育专家杜威说：“失败是有意义的，擅于思考的人从失败中学到的东西和成功一样多。”在课堂上一些错误是出乎意料的，有时不能在教室里处理。课后，我们应该安静地反思：为了巩固对新知识的理解，教师可以将收集到的典型错误分类为选择问题、连接问题、问答问题、判断问题等多种类型的问题，并进行比较练习。加强培训，为学生更好地理解新知识铺平道路。同时，通过教学后记笔记，可以获得反馈信息，并在以后的教学过程中不断优化反馈策略。
教师反思的目标是妥善地解决教学失误问题，及时思考教学失误留下的遗憾，是教师专业成长的最佳途径。
四、结束语
简单地说，数学错误和学习过程相伴相生。对于错误，我们应该从数学价值的角度重新审视，灵活运用于数学教学，挖掘数学错误的内在“闪点”，巧妙地利用旁逸斜出的错误，为课堂的生动铺平道路。
【关键词】数学课堂；教育契机； 教学反思
新课标指出，数学课堂中的“错误”往往发生在教师的教学和学生的学习过程中。在实施新课程标准的过程中，我们倡导和践行以学生为中心的人本课堂。考虑到学生的知识背景、思维方式、情感体验和表达方式和成人有很大不同，在学习过程中会犯错是必然的。因此，课堂应该是倡导学生大胆出错的地方，出错是学生的权力。我们应该理性看待学生的错误，把握课堂教育的机遇，把它们演变成宝贵的教学资源。那么，如何看待和运用活动中的错误呢？笔者通过以下几方面进行探讨。
一、课前铺垫错误，拨动思维之弦
英国心理学家Ben Bridge说：“人都是容易犯错的。教师不使用错误是不可原谅的。”我们不仅要包容错误，更要发掘和利用学生的错误资源。课前利用各种“错误”资源，让学生在多元变化的课堂中进行思考和讨论。
1.显示错误，防患未然
每个学生是天生的探索者、研究者和发现者。在课堂教学中，如果我们能够有意识地犯一些美丽的错误，主动地呈现出来，引导学生从自己的角度去发现、认识和纠正错误，依靠他们掌握的数学知识，使学生具有强烈的纠错欲望，才能使课堂呈现出真实而精彩的魅力 。学生也对这种情景很感兴趣。
如，學习《认识长度单位》这一课前，出示判断标准：“1m是手臂展开的距离，1cm是拇指指甲的宽度。”之后，在练习填单位时，学生会判断长度单位的误差，如“铅笔约25米”和“教室黑板高度为2厘米”。这样，教师就会主动在标题中显示错误，引导学生在犯错误和辨别错误的过程中进一步理解知识，从而控制可能的错误，防止错误的发生。否则，在萌芽状态消除错误将提高学生分析和解决问题的能力。
2.诱导错误，引发深思
音乐界有一个故事——当著名指挥家小泽成思第一次参加世界比赛时，他竟然连续三次打断他的指挥，因为他认为乐谱上有“错误”。事实上，这是法官设定的蓄意“陷阱”。而据理争辩、大胆否认这个“陷阱”则恰恰证明了小泽作为音乐指挥的超强实力。
教师还应善于适当地设置一些这样的“陷阱”，甚至引导学生在陷入“陷阱”并仍陶醉于“成功”的喜悦时，指出自己的错误，并通过分析，让学生“犯错误”和“掉入陷阱”，最终使他们突然从“错误”中醒悟过来。
比如，《面积与面积单位》这节课前，老师故意设置“陷阱”：让我们玩一个“数方块”的游戏。这个游戏的规则是：当男生数时，女生闭上眼睛；轮到女孩数数，男孩们要闭上眼睛。接下来，男生数了八个正方形，女生数了四个正方形。所有的学生都认为八个正方形的矩形很大，但是令人惊讶的是，老师拿出的两个正方形的面积是一样的。这时，学生们高呼“被骗”。激烈的认知冲突使学生突然意识到“统一网格尺寸”的必要性，面积单位的出现可以被描述为自然结果。
二、课中捕捉错误，泛起探究涟漪
《重建课堂教学过程》一文中对课堂活动有这样的描述：在教学活动中，学生可以提高的综合能力包括学习兴趣、注意力、合作能力、观点和意见、提出的问题和论点，甚至包括犯错的过程，以及生成性资源。因此，教师应具有独特的洞察力，及时发现短暂的错误，并熟练地运用于教学活动中。
1.善待“错误”， 显露思维
教育家卡尔威特关于教育的秘诀之一——就是要用宽容和智慧来对待儿童，包括“错误”。错误作为一种教学资源，给它一个合理利用的情境，以激发学生的学习兴趣和对知识的渴求。
当学生在课堂上犯错误或出现问题时，作为教师，首先要尊重、理解和容忍犯错误的学生，秉承以人为本的主观教育理念，不责备或挖苦学生。老师应该从学生的角度来对待这些错误，这样学生才能诚实地说出自己的想法；耐心地倾听他们的表达，不否定学生的思路，允许不完整的答案和重新的思考，并允许不同的观点而加以辩论。这样的课程可以培养学生勇于面对错误、挑战错误的毅力，增强学生克服困难、学好数学的信心。
2.关注“错误” ，引导辨析
课标指出，数学课程的内容应具有现实性、挑战性和意义性。以学生的实际错误为教学内容，让学生通过反复“试错”活动，随之回到主动解决问题的过程中去，最终引导学生进行比较和思考，让他们找出错误的原因，经历内部联系和知识差异的比对，从而形成一个系统，避免今后犯类似的错误。
以四年级的运算律为例，在学习了混合运算顺序和运算律之后，教师在练习阶段在黑板出示以下两个练习①25 75×4 ；②25×75×4经过练习，学生犯了两种错误：A.25 75×4=4×25 75；B.25×75×4=4×25 75×75。他们直觉地认定他们的错误也是很有道理的。如果我们直接告诉他们对错，效果显然非常不令人满意，因为这种错误还会经常反复发生。为此，教师抓住机会巧妙地设置A、B、C三方展开辩论赛，看哪方可以获胜。同时，在辩论的过程中，他们学会表达和说服——把数学语言和思维作为他们强有力的证据，相互反驳，去探究真知。
学生们喜爱尝试，并在渴望尝试的心理作用下有很高的士气。辩论过程中，C方驳斥乘法分配法适用于两个数的和（或差）乘以另一个数的情况，反而从侧面更有力地论证：A.4×25 75=4×25 4×75不同于①②的公式；B.我们也可以直接计算①②的公式B。这证明了甲方和乙方的做法是错误的。C.①这一方只能用一般方法计算。它不满足乘法分配的条件。②公式可由25×75×4=（25×4）×75计算。所以，让学生体验错误哪里会不值得呢？学习始于发现，甚至是错误。如果出了问题，就可以产生课程资源。正是由“错误”的内在愿望驱动的探究活动，能更好地反映课堂的新鲜性和创造性。
三、课后反思错误，盛开智慧之花
从教育心理的角度出发，反思是指在思考、学习和教学的过程中提升自我意识和自我监控的能力。其目的是教师成为反思型教师，学生成为反思型学生。
1.学生反思，完善认知
荷兰学者弗洛伊登塔尔说：“反思是数学的一项重要活动，是数学活动的核心和动力。”学生的错误不只是通过积极的示范和重复的练习来纠正。必须有一个自我否定的过程，这是建立在自我反思的基础上的，而在现实教学中，教师更应该帮助学生树立纠错意识。
每个学生都应该准备一套“错题集锦”，以便课后收集错误的问题，这是培养学生反思习惯的一种方法。教师每月定期从学生的“错题集锦”中选择有代表性的错误问题，并在课堂上进行分析，以便学生能够充分地分析错误思维，并尽可能详细地分析错误产生的原因。这不但可以培养学生的批判性数学思维的意识，而且可以完善学生的认知结构，形成知识网络。
2.教师反思，促进成长
教育专家杜威说：“失败是有意义的，擅于思考的人从失败中学到的东西和成功一样多。”在课堂上一些错误是出乎意料的，有时不能在教室里处理。课后，我们应该安静地反思：为了巩固对新知识的理解，教师可以将收集到的典型错误分类为选择问题、连接问题、问答问题、判断问题等多种类型的问题，并进行比较练习。加强培训，为学生更好地理解新知识铺平道路。同时，通过教学后记笔记，可以获得反馈信息，并在以后的教学过程中不断优化反馈策略。
教师反思的目标是妥善地解决教学失误问题，及时思考教学失误留下的遗憾，是教师专业成长的最佳途径。
四、结束语
简单地说，数学错误和学习过程相伴相生。对于错误，我们应该从数学价值的角度重新审视，灵活运用于数学教学，挖掘数学错误的内在“闪点”，巧妙地利用旁逸斜出的错误，为课堂的生动铺平道路。