审美教育是数学教育的重要内容，审美教育的意义在于一方面激发学生对数学科学的兴趣，另一方面增强他们的创新能力，正如科学史家库恩所说，在创造过程中，“美的考虑的重要性有时可以是决定性的.”大家对引导学生感受美、鉴赏美方面进行过许多研究，但培养学生创造美的能力却很少研究.本文以数学竞赛题为例，谈谈美在启迪人的思维，诱发人的创造力方面所起的作用.
　　1. 简洁深远美的启迪.简单性是美的特征，也是数学所要求的，法国哲学家狄德罗曾说过：“算学中的所谓美的问题是指一个难以解决的问题，所谓美的解答则是指对于困难和复杂问题的简单回答.”爱因斯坦则自称是“到数学简单性中去寻找真理的唯一可靠源泉的人.”作为一种常用的解题策略，追求简洁深远的美常被用于繁杂问题的解题过程中，它能把问题化归为若干简单情况，或启发我们从简单情况开始讨论.
　　例1 m个不相同的正偶数与n个不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论.（第二届数学冬令营试题）
　　分析：先将条件简单化：前m个正偶数的和为m2+m，前n个正奇数的和为n2，依题意m2+m+n2≤1987，这时，题目已趋于明朗，当m2+m+n2≤1987(m,n∈N)时，求3m+4n的最大值.进一步考虑问题的几何意义：
　　设m+122+n2=r2r2≤1987+14…… ①
　　3m+4n=k……②
　　为使k最大，只需②与①相切，此时3×-12+4×0-k5=r即k+32=5r，
　　∵k∈N
　　∴k≤51987+14-32<222
　　∴kmin=221，即(3m+4n)min=221
　　当3m+4n=221时，结合①可得m=27,n=35
　　例２ 设x1,x2,…,xn都是正数，求证：
　　x21x2+x22x3+…+
　　x2n-1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn
　　分析：从对简单情况的证明入手.当n=2时，证明x21x2+x22x1≥x1+x2，通过分析归结为(x1-x2)2≥0，即x21+x22≥2x1x2，联系要证的不等式，作如下变形x21x2+x2≥2x1，x22x1+x1≥2x2.将两不等式相加整理即得.
　　不难看出，上述简单情况的证法，也适合原不等式的证明.
　　证明：∵ x21x2+x2≥2x1，x22x3+x3≥2x2，……，x2nx1+x1≥2xn将上述n个不等式相加，整理得
　　x21x2+x22x3+…+
　　x2n-1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn
　　2. 对称美是数学美的一个基本内容，是最能给人以美感的一种形式.在解决具有对称性的问题时，若能灵活利用其对称性，可大大简化解题过程，达到以简驭繁的目的.
　　例３ 求方程组x+y+z=0 ①
　　x3+y3+z3=-18 ②
　　的整数解
　　解：由①得z=-(x+y) ③
　　③代入②得x3+y3-(x+y)3=-18
　　化简得xy(x+y)=6
　　即xyz=-6
　　观察法知x=1,y=2,z=-3是方程组的一组解，由对称性得方程组的解为
　　x=1,1,2,2,-3,-3
　　y=2,-3,1,-3,1,2
　　z=-3,2,-3,1,2,1
　　例4 长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积.
　　分析:如图，作D关于AC的对称点D′，设AB与CD′交于H，则矩形ABCD绕AC旋转一周，得到的旋转体就是多边形AD′HBC绕AC旋转一周得到的旋转体.又根据多边形AD′HBC的对称性，只需先求出BCFH绕AC旋转一周所得的旋转体（是一个圆台与一个圆锥的组合体）的体积. 如图，易求得AC=3，BE=23,HF=322,设△ABC、△AD′C、△AHC绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积分别为V1、V2、V3，则有V1=V2=13π·AC·BE2=239π，V3=13π·AC·HF2=38π，所求体积V=V1+V2-V3=23372π.
　　3. 和谐统一的美是部分与部分，部分与整体的
　　谐调一致，是真和美高度统一的结果.数学的和谐性
　　能帮助我们解题，追求数学系统的和谐性也能给我们
　　提供解题思路.正如爱因斯坦所说：“从看来同直接可
　　见的真理迥异的各种复杂现象中，认识到它们的统一
　　性，使人产生一种壮丽的感受.”请赏析以下两例，体
　　会一下上述的感觉.
　　例5 边长为a、b、c的三角形，其面积等于14，而外接圆半径为1，若S=a+b+c，t=1a+1b+1c，试判断s与t的大小关系.
　　分析：S的“次数”是12，t的“次数”是-1，两式明显不和谐，我们试把S、t的次数统一起来.
　　∵Δ=abc4R ∴abc=1
　　又S=(a+b+c)abc=abc+bac+cab
　　t=1a+1b+1cabc=bc+ca+ab
　　而ab+bc≥2bac
　　bc+ca≥2cab
　　ca+ab≥2abc
　　所以t≥S
　　若S=t，则有a=b=c=R=1，这是不可能的，故t＞S.
　　例6 证明恒等式
　　1sin2x+1sin4x+…+1sin2nx=ctgx-ctg2nx (1)
　　其中n为任一自然数，x≠λπ2k(k=0,1,2,…,n,λ是任一整数），
　　分析：欲证等式的左端有n项，而右端却有两项，两边不协调，如何使等式变得和谐呢？直觉的作用使我们联想到12+16+112+…+1n(n+1)=1-1n+1的证明方法——拆项相消法.那么欲证式又如何拆项呢？先从简单情况入手，当n=1时，1sin2x=2cos2x-cos2xsin2x=ctgx-ctg2x，类似地我们容易得到1sin22x=ctg2x-ctg22x，…，1sin2nx=ctg2n-1x-ctg2nx，将上述n个等式相加即得.
　　4. 数学美的另一重要内容是奇异性，它和统一性是辩证的对立统一的关系.英国美学家哈奇逊指出：“美在于独特而令人惊奇.”培根也说：“没有一个极美的东西不是调和中有着某些奇异.”比如，解数学题通常是从条件入手，求得结论.但是有时也能改变思维方向，颠倒时空顺序或逻辑顺序，即从结论入手或从条件、结论的反面进行思考，从而使人茅塞顿开，绝处逢生，最终解决问题.类似这种悖于常规的解题思路显然给我们一种奇异的美感，这是一种较高层次的创新美的意识.
　　例7 某卡车只能带L升汽油，用这些汽油可以行驶a公里，现在要行驶d=2315a公里，又应如何？
　　分析:本题注重的是最少耗油量，关键是确定存油站的位置，利用倒推法容易确定各存油站的位置.
　　考虑一般情况，如图，设A为出发点，B为目的地，AB=d，沿途的加油站依次为C1，C2，…，Cn-1，Cn.
　　显然CnB长为a公里，汽车在Cn B之间至少行驶一次，耗油L公升，因此Cn至少应储油L公升.
　　要运送L公升汽油到Cn，汽车在Cn-1Cn之间至少运油两趟，单程三次，耗油L公升，因此Cn-1Cn的长为a3公里，故Cn-1至少应储油2L公升.
　　同理，要运送2L汽油到Cn-1，汽车在Cn-2Cn-1之间至少运油三趟，单程五次，耗油L公升，Cn-2Cn-1的长为a5公里，Cn-2应储油3L公升.
　　一般有Cn-kCn-k+1的长为12k+1a公里，Cn-k应储油(k+1)L公升.
　　解略.
　　例8 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面.
　　这是美国一道有83万人参加的中学生数学竞赛题，原给答案是7个面.佛罗里达州的一名中学生丹尼尔则答是5个面，被评卷委员会否定了.丹尼尔自己做了一个模型，验证自己的结论是正确的，随后又给出证明，然后向考试委员会申诉，有名的数学家看了他的模型，不得不承认他是对的.
　　他的证明是，如图，作SV∥AB，截VS=a，作得以S为顶点，VBC为底的正三棱锥.
　　由此看出，当一个学生有了直觉的能力，就能从讲究细节的论证思维中“跳出来”，发现有希望的论证线路所在.正如布鲁纳指出的，在向学生揭示演绎和证明之前，使他们对材料能有直觉的理解可能是头等重要的.
　　由于美育具有逼真的真观性，鲜明的形象性，高度的愉悦性等特征，在平常的教学过程中，如果能把解题看成是对美的追求，学生自然会兴趣盎然.
　　所以美育不但可以激发学生的学习兴趣，开阔他们的视野，还能启迪思维，培养学生的联想能力，即“美的意识力”和解题的灵活性，不断提高学生的审美素质.因此数学教学应贯穿审美教育.