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一、再设计的背景
《分数的意义》是人教版小学《数学》五年级下册第四单元《分数的意义和性质》的起始课。它是在学生已经初步认识了分数的基础上进行教学的。之前学生认识了整数、小数，而分数更为抽象，因此有人说：学习分数，才是学生真正学习数学的开始。对于分数，学生学习的最大困难到底在哪里？我们做了一个简单的前测。教师将教材《整理和复习》练习二十第1题稍作修改后让学生回答：把一根2米长的木条锯成同样长的4段，每段是这根木条的[（ ）（ ）]，每段长[（ ）（ ）]米。由于学生还未学习“分数与除法的关系”，仅凭对分数意义的理解作答。结果发现，学生对这两个分数混淆率竟高达84.8%！这类问题的错误率总是居高不下，有很多学生到了六年级再做这样的题时仍会出现错误。
史宁中认为：“就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。”长期以来，我们在教学中过分强调了分数的“无量纲性”，而忽略了“有量纲性”的特点，学生对分数意义的认识也因此走入了“偏重‘率’、无视‘量’”的误区。“实际上，无论是整数，还是分数、小数，都可以带上单位用来表示数量，也可以不带单位用来表示两个数量的关系。也就是说，一切实数，在应用时，都是有量纲、无量纲两种情况并存。”虽然“量”并不是培养数感的唯一途径，但在分数意义的教学中，若采取与整数、小数完全割裂的方法，一味突出‘率’而放弃‘量’，那么势必使学生对分数意义理解残缺，运用起来也会错误百出。
因此，在《分数的意义》教学设计时，我们应该兼顾“率”与“量”的认识，先教学表示具体数量的分数，让学生像认识自然数那样“自然地”认识分数；再教学表示两个量之间关系的分数，让学生拓展对分数意义的认识，突出分数的本质。
二、教学设计及意图
1.教学“分数的产生”
师：课前同学们通过自学、上网查询，了解到分数是怎样产生的？
学生汇报，教师小结：人们在进行测量、分物和计算时，往往不能正好得到整数结果，这时候就需要用一种新的数来表示——分数。（揭示并板书课题：分数）
我们已经学习了整数、小数，也初步认识过分数，你能用恰当的数来表示下面分物的结果吗？
一包饼干24块，平均分给2位同学，每人分得（ ）块，每人分得（ ）包。
让学生说一说这里的“[12]包”表示什么含义。
出示课本45页图中其他几个测量和分物的结果：剩余的一段绳长（假定为半米）、半块月饼、半个苹果……提问：这几个结果都可以用[12]表示吗？为什么？
小结：[12]就表示一半，就像自然数“1”——1个苹果、1棵树、1个人、1米……都可以用数“1”表示。
设计意图：本环节顺应了分物的结果表示“量”，运用类比的方法从整数自然而然过渡到分数，让学生切实体会到“[12]包”是看得见、摸得着的事物的具体量，充分感悟到分数与整数一样，可以用来表示物体的个数，是对自然界中具体量的抽象与概括。
2.教学“分数的意义”
①数形结合，量率统一。
师：通过刚才的学习，我们知道了分数起源于“分”，下面我们就围绕“分什么”“怎么分”“多少份”“是多少”這几个关键问题来研究分数。以[14]为例，试一试，四人小组用不同的方法表示出[14]。
小组内每个学生在练习纸上任选一幅图（1个正方形、1个圆形、1条线段、4根香蕉、8个面包……），动手分一分、圈一圈、画一画，表示出它的[14]。然后填写报告单，小组内交流一下。
（3）关于[14]，你有什么发现？
完成后请学生上台展示、讲解，教师适时追问：图形中空白部分可以用几分之几表示？2个面包为什么不是[18]而是[14]？为什么不是[24]而是[14]？
设计意图：借助分数“形”的特征，通过实践操作既凸显了1份的实际大小，又实现了分数意义由“量”到“率”的扩展，从而揭示分数的本质，使学生在“求同存异”的过程中理解分数、接受分数：“求同”——[14]的意义在表示“4份中的1份”时相同；“存异”——表示的具体数量不同。
②组织比较，抽象“单位1”。
仔细观察这几幅图，想一想，在表示[14]的过程中，有什么相同的地方？（平均分。）
有什么不同的地方？（有的是将一个物体或计量单位平均分，有的则是将许多物体看作一个整体来平均分。）
引出单位“1”的概念。“1”为什么要加引号？还有什么可以看作单位“1”？（使学生明确：“1”不仅可以表示1个，还可以表示许多；大到整个宇宙，小到一粒砂，都可以看作单位“1”。）
师：分数表示的具体大小与单位“1”有直接关系，单位“1”不同，分数表示的具体数量也不同。4个面包的[14]是几个面包？8个面包的[14]呢？16个面包的[14]呢？……
设计意图：单位“1”的理解是分数意义教学中的难点之一，传统教学中往往是直接告诉学生，不仅可以将一个物体或计量单位看作单位“1”，还可以将许多物体组成的整体看作单位“1”。课程改革后整体呈现1个和多个，有利于学生理解分数的本质。抽象出单位“1”后，学生不仅扩展了对整数的认识、与先前“分数的产生”教学首尾响应，而且对于分数意义的认识也更加深刻了，之前在探究[14]过程中种种不清晰的“发现”和疑惑也得到了解释：单位“1”不同，一个分数对应的具体数量也就不同。
③抽象概括分数的意义。
（1）教师说几个分数的意义，让学生答出分数。例如：把一块饼平均分成4份，表示其中的3份。（[34]）这学期在校时间共有5个月，已经过了2个月。（[25]） （2）教师说分数，让学生说出这个分数的意义。例如：[45]米；在我国的小学生中有[310]的学生戴眼镜；一般人脚的长度是他身高的[17]。
（3）现在你能试着总结出分数的意义吗？
设计意图：让学生结合具体情境，感受数学与生活的密切联系，加深对分数概念内涵与外延的理解，提高学生的归纳概括能力。同时，为学生学习分数与除法的关系作好铺垫，为分数意义的再次扩展（如[45]米既可以表示1米的[45]，又可以表示4米的[15]）打下基础。
3.巩固练习，内化提升
①完成教材“做一做”和练习十一1～5题。
②变式练习。
这节课你有什么收获？
教师对学生本节课的表现作出评价和激励，并请今天第一个发言的同学起立，提问：他占全班人数的几分之几？他占小组人数的几分之几？他占全校人数的几分之几？同样是一个人，为什么一会儿是[145]，一会儿是[14]，一会儿又是[11200]？
设计意图：寓课堂小结于变式练习之中，增强练习的趣味性。使学生进一步体会到单位“1”的变化对分数量值的影响，深化了学生对分数意义“量”“率”并存的认知。
三、点评与反思
《分数的意义》是小学数学重要而经典的教学内容。在提倡培养学生“核心素养”的今天，老内容必须贯彻新理念——回归数学知识的本质，把握数学素养的核心。
1.重视学生已有的知识经验。
数学课程标准强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”布鲁姆也说过：对教学影响最大的是学生已有的知识。事实证明，五年级下学期的学生对于分数的认识并非一张白纸。上课伊始，教师通过让学生展示课前收集的有关分数的资料，用适当的数表示分物的结果，从而建立与分数的“亲切感”，找准分数与整数的联结点与生长点，激起学生新、旧知识的认知冲突，调动了学生探究的积极性。看似教学“分数的产生”，实则为分数的意义铺路搭桥，将“量率并存”的理念有效渗透给学生。
2.重视让学生“经历过程”
新课标指出，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；要让学生“经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程”。数学概念的形成过程实际上是掌握一类事物的共同本质属性的过程。因此，在分数概念的教学中应注意为学生提供足够的实际例证，让学生在具体情境中感知和理解每个分数所表示的具体含义；在充分感知的基础上，对本质属性进行抽象概括，从而形成概念。本课中，教师设计了让学生自主选择学习材料，用不同的方法表示这一教学环节。“分什么”“怎样分”“多少份”“是多少”等关键问题的思考提示直指分数概念的核心，关乎“量”，切乎“率”。在大量、具体的充分感知的基础上，教師引导学生及时进行比较、抽象，“求同存异”，使分数的概念一步步逐渐清晰起来。
3.重视教材的深度开发
教材在呈现“分数的产生”时，特别突出了分数的“有量纲性”：[12]个苹果、[12]块月饼、[12]包饼干……这些带有单位名称的分数，就是要帮助学生完善分数“量”的概念，为“有量纲性”的先入为主作好了铺垫。教师从“量”的角度寻找分数概念教学的突破口，将学生的认知起点与教材编写意图有效整合，从“量”逐步过渡到“率”，促进教学过程与学生的认知过程深度融合。
教材在呈现“分数的意义”时，让学生举例说明[14]的含义，除了让学生经历由具体到抽象的思维过程外，还蕴含了多重目的：扩展对单位“1”的认识；感知分数的大小是由事物原本大小决定的；渗透分数的等值性，为学习“约分”等知识作准备……因此，教师在进行教学设计时，要注重问题的开放性，让学生自主尝试、自主发现。如《活动报告单》中让学生观察、比较，交流“关于[14]，你有什么发现”就是引导学生对操作的结果进行深入思考，大胆表达对分数概念的理解。有的小组发现分的图形不同，每一份的形状、大小也不相同；有的小组发现无论是一个物体或计量单位，还是多个物体，都可以看成一个整体；有的小组发现面包图中[28]与[14]大小相等……从而激励了学生开展个性化学习，真正实现“不同的人在数学上获得不同的发展”。
（作者单位：黄石市湖滨路小学）
责任编辑 陈建军
《分数的意义》是人教版小学《数学》五年级下册第四单元《分数的意义和性质》的起始课。它是在学生已经初步认识了分数的基础上进行教学的。之前学生认识了整数、小数，而分数更为抽象，因此有人说：学习分数，才是学生真正学习数学的开始。对于分数，学生学习的最大困难到底在哪里？我们做了一个简单的前测。教师将教材《整理和复习》练习二十第1题稍作修改后让学生回答：把一根2米长的木条锯成同样长的4段，每段是这根木条的[（ ）（ ）]，每段长[（ ）（ ）]米。由于学生还未学习“分数与除法的关系”，仅凭对分数意义的理解作答。结果发现，学生对这两个分数混淆率竟高达84.8%！这类问题的错误率总是居高不下，有很多学生到了六年级再做这样的题时仍会出现错误。
史宁中认为：“就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。因此，最重要的分数应该是真分数，它代表一个事物或一个整体的一部分，其本质在于它的无量纲性。”长期以来，我们在教学中过分强调了分数的“无量纲性”，而忽略了“有量纲性”的特点，学生对分数意义的认识也因此走入了“偏重‘率’、无视‘量’”的误区。“实际上，无论是整数，还是分数、小数，都可以带上单位用来表示数量，也可以不带单位用来表示两个数量的关系。也就是说，一切实数，在应用时，都是有量纲、无量纲两种情况并存。”虽然“量”并不是培养数感的唯一途径，但在分数意义的教学中，若采取与整数、小数完全割裂的方法，一味突出‘率’而放弃‘量’，那么势必使学生对分数意义理解残缺，运用起来也会错误百出。
因此，在《分数的意义》教学设计时，我们应该兼顾“率”与“量”的认识，先教学表示具体数量的分数，让学生像认识自然数那样“自然地”认识分数；再教学表示两个量之间关系的分数，让学生拓展对分数意义的认识，突出分数的本质。
二、教学设计及意图
1.教学“分数的产生”
师：课前同学们通过自学、上网查询，了解到分数是怎样产生的？
学生汇报，教师小结：人们在进行测量、分物和计算时，往往不能正好得到整数结果，这时候就需要用一种新的数来表示——分数。（揭示并板书课题：分数）
我们已经学习了整数、小数，也初步认识过分数，你能用恰当的数来表示下面分物的结果吗？
一包饼干24块，平均分给2位同学，每人分得（ ）块，每人分得（ ）包。
让学生说一说这里的“[12]包”表示什么含义。
出示课本45页图中其他几个测量和分物的结果：剩余的一段绳长（假定为半米）、半块月饼、半个苹果……提问：这几个结果都可以用[12]表示吗？为什么？
小结：[12]就表示一半，就像自然数“1”——1个苹果、1棵树、1个人、1米……都可以用数“1”表示。
设计意图：本环节顺应了分物的结果表示“量”，运用类比的方法从整数自然而然过渡到分数，让学生切实体会到“[12]包”是看得见、摸得着的事物的具体量，充分感悟到分数与整数一样，可以用来表示物体的个数，是对自然界中具体量的抽象与概括。
2.教学“分数的意义”
①数形结合，量率统一。
师：通过刚才的学习，我们知道了分数起源于“分”，下面我们就围绕“分什么”“怎么分”“多少份”“是多少”這几个关键问题来研究分数。以[14]为例，试一试，四人小组用不同的方法表示出[14]。
小组内每个学生在练习纸上任选一幅图（1个正方形、1个圆形、1条线段、4根香蕉、8个面包……），动手分一分、圈一圈、画一画，表示出它的[14]。然后填写报告单，小组内交流一下。
（3）关于[14]，你有什么发现？
完成后请学生上台展示、讲解，教师适时追问：图形中空白部分可以用几分之几表示？2个面包为什么不是[18]而是[14]？为什么不是[24]而是[14]？
设计意图：借助分数“形”的特征，通过实践操作既凸显了1份的实际大小，又实现了分数意义由“量”到“率”的扩展，从而揭示分数的本质，使学生在“求同存异”的过程中理解分数、接受分数：“求同”——[14]的意义在表示“4份中的1份”时相同；“存异”——表示的具体数量不同。
②组织比较，抽象“单位1”。
仔细观察这几幅图，想一想，在表示[14]的过程中，有什么相同的地方？（平均分。）
有什么不同的地方？（有的是将一个物体或计量单位平均分，有的则是将许多物体看作一个整体来平均分。）
引出单位“1”的概念。“1”为什么要加引号？还有什么可以看作单位“1”？（使学生明确：“1”不仅可以表示1个，还可以表示许多；大到整个宇宙，小到一粒砂，都可以看作单位“1”。）
师：分数表示的具体大小与单位“1”有直接关系，单位“1”不同，分数表示的具体数量也不同。4个面包的[14]是几个面包？8个面包的[14]呢？16个面包的[14]呢？……
设计意图：单位“1”的理解是分数意义教学中的难点之一，传统教学中往往是直接告诉学生，不仅可以将一个物体或计量单位看作单位“1”，还可以将许多物体组成的整体看作单位“1”。课程改革后整体呈现1个和多个，有利于学生理解分数的本质。抽象出单位“1”后，学生不仅扩展了对整数的认识、与先前“分数的产生”教学首尾响应，而且对于分数意义的认识也更加深刻了，之前在探究[14]过程中种种不清晰的“发现”和疑惑也得到了解释：单位“1”不同，一个分数对应的具体数量也就不同。
③抽象概括分数的意义。
（1）教师说几个分数的意义，让学生答出分数。例如：把一块饼平均分成4份，表示其中的3份。（[34]）这学期在校时间共有5个月，已经过了2个月。（[25]） （2）教师说分数，让学生说出这个分数的意义。例如：[45]米；在我国的小学生中有[310]的学生戴眼镜；一般人脚的长度是他身高的[17]。
（3）现在你能试着总结出分数的意义吗？
设计意图：让学生结合具体情境，感受数学与生活的密切联系，加深对分数概念内涵与外延的理解，提高学生的归纳概括能力。同时，为学生学习分数与除法的关系作好铺垫，为分数意义的再次扩展（如[45]米既可以表示1米的[45]，又可以表示4米的[15]）打下基础。
3.巩固练习，内化提升
①完成教材“做一做”和练习十一1～5题。
②变式练习。
这节课你有什么收获？
教师对学生本节课的表现作出评价和激励，并请今天第一个发言的同学起立，提问：他占全班人数的几分之几？他占小组人数的几分之几？他占全校人数的几分之几？同样是一个人，为什么一会儿是[145]，一会儿是[14]，一会儿又是[11200]？
设计意图：寓课堂小结于变式练习之中，增强练习的趣味性。使学生进一步体会到单位“1”的变化对分数量值的影响，深化了学生对分数意义“量”“率”并存的认知。
三、点评与反思
《分数的意义》是小学数学重要而经典的教学内容。在提倡培养学生“核心素养”的今天，老内容必须贯彻新理念——回归数学知识的本质，把握数学素养的核心。
1.重视学生已有的知识经验。
数学课程标准强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。”布鲁姆也说过：对教学影响最大的是学生已有的知识。事实证明，五年级下学期的学生对于分数的认识并非一张白纸。上课伊始，教师通过让学生展示课前收集的有关分数的资料，用适当的数表示分物的结果，从而建立与分数的“亲切感”，找准分数与整数的联结点与生长点，激起学生新、旧知识的认知冲突，调动了学生探究的积极性。看似教学“分数的产生”，实则为分数的意义铺路搭桥，将“量率并存”的理念有效渗透给学生。
2.重视让学生“经历过程”
新课标指出，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；要让学生“经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程”。数学概念的形成过程实际上是掌握一类事物的共同本质属性的过程。因此，在分数概念的教学中应注意为学生提供足够的实际例证，让学生在具体情境中感知和理解每个分数所表示的具体含义；在充分感知的基础上，对本质属性进行抽象概括，从而形成概念。本课中，教师设计了让学生自主选择学习材料，用不同的方法表示这一教学环节。“分什么”“怎样分”“多少份”“是多少”等关键问题的思考提示直指分数概念的核心，关乎“量”，切乎“率”。在大量、具体的充分感知的基础上，教師引导学生及时进行比较、抽象，“求同存异”，使分数的概念一步步逐渐清晰起来。
3.重视教材的深度开发
教材在呈现“分数的产生”时，特别突出了分数的“有量纲性”：[12]个苹果、[12]块月饼、[12]包饼干……这些带有单位名称的分数，就是要帮助学生完善分数“量”的概念，为“有量纲性”的先入为主作好了铺垫。教师从“量”的角度寻找分数概念教学的突破口，将学生的认知起点与教材编写意图有效整合，从“量”逐步过渡到“率”，促进教学过程与学生的认知过程深度融合。
教材在呈现“分数的意义”时，让学生举例说明[14]的含义，除了让学生经历由具体到抽象的思维过程外，还蕴含了多重目的：扩展对单位“1”的认识；感知分数的大小是由事物原本大小决定的；渗透分数的等值性，为学习“约分”等知识作准备……因此，教师在进行教学设计时，要注重问题的开放性，让学生自主尝试、自主发现。如《活动报告单》中让学生观察、比较，交流“关于[14]，你有什么发现”就是引导学生对操作的结果进行深入思考，大胆表达对分数概念的理解。有的小组发现分的图形不同，每一份的形状、大小也不相同；有的小组发现无论是一个物体或计量单位，还是多个物体，都可以看成一个整体；有的小组发现面包图中[28]与[14]大小相等……从而激励了学生开展个性化学习，真正实现“不同的人在数学上获得不同的发展”。
（作者单位：黄石市湖滨路小学）
责任编辑 陈建军