〔关键词〕 数学教学;判别式; 直线;抛物线;斜率
　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 C
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)01(A)—0055—01
　　
　　暴露错解过程寻求原因
　　【题目】求过点A(0,1)与抛物线y2=4x有一个交点的直线有几条.
　　错解一:设过点A的直线的斜率为k,即方程为y-1=kx,联立y2=4x,y-1=kx,消去y得,k2x2+(2k-4)x+1=0.
　　(1)当k=0时,x=■,而直线x=■与抛物线y2=4x有两个交点,所以k≠0;
　　(2)当k≠0时, 由?驻=0,得k=1,即过点A(0,1)与抛物线y2=4x有一个交点的直线只有一条y=x+1.
　　错解二:在错解一的基础上,如果注意到点斜式不能表示与轴垂直的直线,即方程y-1=kx不能表示过点A(0,1)且与抛物线y2=4x有一个交点的直线x=0,即得过点A(0,1)与抛物线y2=4x有一个交点的直线有两条,分别为y=x+1和x=0.
　　分析:造成以上两种错误解法的主要原因是,错解二虽纠正了错解一中没有考虑到点斜式的存在性是正确的,但它仍然没有搞清联立方程判别式等于0并不是直线与抛物线有一个交点的充分必要条件, 而是充分不必要条件.即:联立y2=4x,y-1=kx,消去y得,k2x2+(2k-4)x+1=0,当?驻=0时,直线与抛物线有一个交点,而反之不一定成立.
　　再现错解背景得出结论
　　事实上,在很多资料中都有这样的例题:求过点A(0,2)且与圆x2+y2=1有一个交点的直线方程.
　　解答如下:设过点A的直线斜率为k,即直线方程为y-2=kx.联立x2+y2=1,y-2=kx,消去y得,(1+k2)x2+4kx+3=0.∵直线与圆有一个交点,∴ ?驻=0,得k=±■,即过点A(0,2)且与圆x2+y2=1有一个交点的直线有两条,分别为y=■x+2和y=-■x+2.
　　首先,本题的解答是正确的,因为圆是封闭图形,与圆有一个交点的直线一定是圆的切线.
　　结论: 直线与曲线相切是联立这个两方程消去y后,得到关于x的一元二次方程中?驻=0的充分必要条件.
　　由此求直线与椭圆有一个交点时,联立这两个方程消去y,得关于x的一元二次方程后,用?驻=0求解也是正确的.
　　但直线与抛物线、双曲线有一个交点,联立这两个方程消去y,得关于x的一元二次方程后,用?驻=0求解一定是错误的.
　　 给出对策化难为易
　　题目若用数形结合法来求解,则使解题过程化隐为显,化难为易.
　　分析:如右图所示,画出抛物线y2=4x的图象,过点(0,2)作与抛物线y2=4x有一个交点的直线,容易得到x=0,y=2这两条直线. 与抛物线y2=4x相切的直线仍然要联立两个方程,由判别式为0,求得y=x+1.容易得过点(0,2)且与抛物线y2=4x有一个交点的直线有三条,分别为:x=0,y=2,y=x+1.
　　例题:已知双曲线x2-y2=4,直线y=k(x-1),求当实数取何值时,直线与双曲线有一个交点.
　　分析: 由x2-y2=4,y=k(x-1),消去y得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.
　　(1)当1-k2=0,即k=±1时,直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线只有一个交点,即当k=±1时,直线与双曲线只有一个交点;
　　(2)当1-k2≠0,即k≠±1 且?驻=0时,16-12k2=0,得k=±■.当k=±■时,直线与双曲线相切.即当k=±■时,直线与双曲线只有一个交点.
　　综上(1),(2),得当k=±1或k=±■时,直线与双曲线只有一个交点.
　　总之,在求解直线与曲线有一个交点时,联立这两个方程消去y得关于x的一元二次方程后,?驻=0只适用于求解直线与曲线相切的情况.