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一、 概念错误
1.理解概念片面、机械,存在形式主义
例1 初中一年级学生学习了用字母表示数之后,误认为-2a<0,a>a等。这是学习有理数大小比较之后产生的负迁移。
例2 由于对算术根、算术平方根及根式运算法则掌握不确切,理解片面,常出现下面的错误:
+=x-2+3+2x=1;
•===±3。
2.对概念的定义掌握不确切
例3 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD内,过AB的三等分点R、P作PQ∥RS∥AD,再过RS与A1D1作截面A1D1SR,过PQ、B1C1作截面B1C1QP,求这两个截面间所夹的几何体RPQS-A1B1C1D1的体积。(图1)
解:由于矩形PQSR的面积为,
又底面A1B1C1D1的面积为a2,上下底
面的距离B1B=a2,由棱台体积公式得
V=a(+a2+)=a3。
但从另一角度考虑,所求体积是从原正方体的体积减去两个三棱柱的体积,得其体积为a3-2=a3-。
上面两种答案那个对呢?显然第二种算法没有漏洞,问题在于RPQS-不是棱台,而是拟柱体,故第一种解法是错误的。
3.混淆概念
例4 有乒乓球运动员11人,其中男运动员5人,从中选出4 人进行男女混合双打练习,配对的方法有多少种?
解:从5名男运动员中选出2人,有C25种,从6名女运动员中选出2人有C26种,选择出的4人又分两对,有C24种,由乘法原理共有C25C26C24种配对方法。
这是排列与组合的混合题,上述解法把它当成组合问题是错误的,正确答案是C25C24P22。
二、 推理错误
1.偷换论题
论证时可能出现两种偷换论题的错误。一是由于理解题意不准确,另一种是把论题中特殊情形代替了一般理论。
例5 抛物线方程y=x2,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动,问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。
这是一道高考题,不少考生把“圆与抛物线的切线相互垂直”理解为“圆与抛物线有两个交点,过这两个交点的抛物线的切线相互垂直”,这就犯了偷换论题的错误。
例6 试证图2顶点在平等四边形上的三角形的面积,不可能大于这个平等四边形面积的一半。
证:
S△ABC=AB•CH≤DE•CH
=S?荀DEFG。
所以命题成立。
上述证明没有错误,但不完整,因没有讨论三角形位置的所有情况,因而依据不充分。
这类错误在几何证明中经常出现,学生把图形画成特殊情形,从特殊情形的条件出发来证明一般的结论。
2.循环论证
例7 证明勾股定理c2=a2+b2。如图3。
证:a=c•sin A,b=c•cos A?圯a2+b2=
c2(sin2 A+cos2 A)=c2
论证中利用sin2 A+cos2 A=1作为论据,按现行教材体系,这个公式是由勾股定理推出的,故为循环论证。
3.论据不真
例9 已知与是无理数,试证-也是无理数。
证:因为两个无理数之差是无理数,故-是无理数。
显然,论据“两个无理数之差是无理数”是假命题,因此是虚假论证。◆(作者单位:江西省赣州市第一中学)
□责任编辑:包韬略
1.理解概念片面、机械,存在形式主义
例1 初中一年级学生学习了用字母表示数之后,误认为-2a<0,a>a等。这是学习有理数大小比较之后产生的负迁移。
例2 由于对算术根、算术平方根及根式运算法则掌握不确切,理解片面,常出现下面的错误:
+=x-2+3+2x=1;
•===±3。
2.对概念的定义掌握不确切
例3 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD内,过AB的三等分点R、P作PQ∥RS∥AD,再过RS与A1D1作截面A1D1SR,过PQ、B1C1作截面B1C1QP,求这两个截面间所夹的几何体RPQS-A1B1C1D1的体积。(图1)
解:由于矩形PQSR的面积为,
又底面A1B1C1D1的面积为a2,上下底
面的距离B1B=a2,由棱台体积公式得
V=a(+a2+)=a3。
但从另一角度考虑,所求体积是从原正方体的体积减去两个三棱柱的体积,得其体积为a3-2=a3-。
上面两种答案那个对呢?显然第二种算法没有漏洞,问题在于RPQS-不是棱台,而是拟柱体,故第一种解法是错误的。
3.混淆概念
例4 有乒乓球运动员11人,其中男运动员5人,从中选出4 人进行男女混合双打练习,配对的方法有多少种?
解:从5名男运动员中选出2人,有C25种,从6名女运动员中选出2人有C26种,选择出的4人又分两对,有C24种,由乘法原理共有C25C26C24种配对方法。
这是排列与组合的混合题,上述解法把它当成组合问题是错误的,正确答案是C25C24P22。
二、 推理错误
1.偷换论题
论证时可能出现两种偷换论题的错误。一是由于理解题意不准确,另一种是把论题中特殊情形代替了一般理论。
例5 抛物线方程y=x2,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动,问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。
这是一道高考题,不少考生把“圆与抛物线的切线相互垂直”理解为“圆与抛物线有两个交点,过这两个交点的抛物线的切线相互垂直”,这就犯了偷换论题的错误。
例6 试证图2顶点在平等四边形上的三角形的面积,不可能大于这个平等四边形面积的一半。
证:
S△ABC=AB•CH≤DE•CH
=S?荀DEFG。
所以命题成立。
上述证明没有错误,但不完整,因没有讨论三角形位置的所有情况,因而依据不充分。
这类错误在几何证明中经常出现,学生把图形画成特殊情形,从特殊情形的条件出发来证明一般的结论。
2.循环论证
例7 证明勾股定理c2=a2+b2。如图3。
证:a=c•sin A,b=c•cos A?圯a2+b2=
c2(sin2 A+cos2 A)=c2
论证中利用sin2 A+cos2 A=1作为论据,按现行教材体系,这个公式是由勾股定理推出的,故为循环论证。
3.论据不真
例9 已知与是无理数,试证-也是无理数。
证:因为两个无理数之差是无理数,故-是无理数。
显然,论据“两个无理数之差是无理数”是假命题,因此是虚假论证。◆(作者单位:江西省赣州市第一中学)
□责任编辑:包韬略