论文部分内容阅读
[摘 要] 在引入矩阵的秩的定义的基础上，讨论了矩阵的秩的常用性质，然后结合两道有一定综合性的例题，说明在实际教学过程中如何通过适当的例题让学生加深对矩阵的秩的性质的理解与应用.通过适当的案例讲解有助于加深学生对所学高等代数内容的理解，提升课堂教学效果.
[关 键 词] 高等代数;矩阵的秩;秩的性质;案例教学
[中图分类号] G642 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）22-0008-02
一、引言
矩阵的秩是大学数学专业本科阶段高等代数课程的重要内容之一，对矩阵的秩的学习有助于学生加深对线性相关性和线性方程组的解的结构和性质定理的理解和应用[1-3].考虑到高等代数课程的抽象性，在实际教学过程中教师可以借助案例教学法帮助学生理解和掌握所学具体内容[4，5].对矩阵的秩这一部分内容的教授，首先应该让学生理解矩阵的秩的定义，特别是其与线性相关性的联系，并在此基础上研究矩阵的秩及其应用.在本文接下来的内容中，我们将首先介绍矩阵的行秩、矩阵的列秩、矩阵的行列式秩和矩阵的秩的概念，然后给出矩阵的秩的常用性质，最后通过解决两道有一定综合性的例题，说明在实际教学过程中如何通过适当的例题让学生加深对矩阵的秩的性质的理解与应用.
二、矩阵的秩的定义与性质
在本小节中，我们首先引入矩阵的秩的概念[1].
定义1：设A是m×n矩阵，则矩阵A的m个行向量组成的向量组的秩称为矩阵A的行秩;矩阵A的n个列向量组成的向量组的秩称为矩阵A的列秩.
定义2：设A是m×n矩阵，若A有一个r阶子式不为零，而A的所有r+1阶（如果存在）都等于零，则称r为矩阵A的行列式秩.
对矩阵的行秩、列秩和行列式秩，有如下重要结果[1].
定理：设A是m×n矩阵，则A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等，统称为矩阵的秩，记为rank（A）.
接下来我们介绍矩阵的秩的常用性质[3]，设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵.
性质1：rank（A）≤min{m，n}.
性质2：rank（AB）≤min{rank（A），rank（B）}.
性质3：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n.
性质4：rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）.
性质5：若rank（A）=n，则rank（AB）=rank（B）;
若rank（B）=n，则rank（AB）=rank（A）.
性质6：若A是实矩阵，AT是A的转置矩阵，则
rank（A）=rank（AT）=rank（AAT）=rank（ATA）.
性质7：若A是复矩阵，A是A的复共轭矩阵，A*是
A的转置共轭矩阵，则rank（A）=rank（A）=rank（A*）=rank（AA*）=rank（A*A）.
三、实例教学
在本小节中，我们将应用案例教学法，通过求解一道具体的例题加深学生对前述矩阵的秩的理解.
例1.已知矩阵B是定义在实数域上的特征值非负的对称的6×6矩阵且rank（B）=5，矩阵D=（α1 α2 α3 α4）是6×4矩阵且rank（D）=4.令ξ=α1+α2+α3+α4，若Bξ=0，求证rank（DTBD）=3.
证明：由于矩阵B是定义在实数域上的特征值非负的对称的6×6矩阵且rank（B）=5，从而存在正交矩阵P使得
B=PTλ1 λ2 λ3 λ4 λ5 0P。
引入矩阵= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0，
以及C=P，
则rank（C）=5，且B=CTC.设R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1，则
D1=DR=（α1 α2 α3 α4）1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=（ξ α2 α3 α4）。
根据秩的性质5，我们有
rank（DTBD）=rank（RTDTBDR）=rank（DT1BD1）=
rank（DT1CTCD1）.
欲证rank（DTBD）=3，只需证明rank（DT1CTCD1）=3.
根据秩的性质6，
有rank（DT1CTCD1）=rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）.
故只需证明rank（CD1）=3.直接计算可得 CD1=C（ξ α2 α3 α4）=（0 Cα2 Cα3 Cα4）
注意到rank（B）=5及Bξ=0，可知BX=0的解空间是1维的且Bα2，Bα3，Bα4线性无关.又B=CTC且rank（C）=5，故Cξ=0且Cα2，Cα3，Cα4线性无关，所以rank（CD1）=3证明完毕.
在课堂讲授此例题时，要特别强调题目中的非负特征值条件是必不可少的.当出现负特征值时，矩阵CD1是复矩阵，根据秩的性质7，
rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）
一般不再成立.在此处可以让学生深刻体会处理复矩阵时要注意到
rank（（CD1）*CD1）=rank（CD1）.
为进一步加深学生对矩阵的秩的其他性质以及对线性相关性的理解，在实际教学过程中可进一步讲解如下例题.
例2.设B是一个n×n实对称矩阵，D=（α1 … αm）是一个n×m矩阵，且rank（B）=n-1，rank（D）=m，Bξ=0（ξ≠0）且ξ∈span{α1，…，αm}.求证rank（BDDT）=m-1
证明：因为rank（D）=m，故α1，…，αm线性无关，从而存在唯一的一组不全为零的数c1，…，cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性，可设c1≠0.令
R=c1 0 … 0c2 1 … 0… … … 0cm … … 1，
则rank（R）=m.根据秩的性质5，有rank（BDDT）=rank（BD）=rank（BDR），而
BDR=B（ξ α2 … αm）=（0 Bα2 … Bαm）
故有rank（BDDT）=rank（BDR）≤m-1.另一方面，根据秩的性质5和性质3，有
rank（BDDT）=rank（BD）≥rank（B）+rank（D）-n=m-1
从而可得rank（BDDT）=m-1证明完毕.
四、小结
本文讨论了高等代数的重要教学内容之一的矩阵的秩，我们首先引入了矩阵的秩的定义，然后讨论了矩阵的秩的常用性质，并特别指出了复矩阵的秩的一个重要性质.最后结合两道有一定综合性的例题，说明实际教学过程中如何通过适当的例题让学生加深矩阵的秩的性质的理解与应用.在高等代數的其他内容的教学上，案例教学法也是非常有效的，通过适当的案例讲解，有助于加深学生对所学数学内容的理解，提升课堂教学效果.
参考文献：
[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.
[3]姚慕生，吴泉水，谢启鸿.高等代数学（第三版）[M].上海：复旦大学出版社，2014.
[4]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[5]郑金洲.教学方法应用指导[M].上海：华东师范大学出版社，2006.
◎编辑 赵瑞峰
[关 键 词] 高等代数;矩阵的秩;秩的性质;案例教学
[中图分类号] G642 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）22-0008-02
一、引言
矩阵的秩是大学数学专业本科阶段高等代数课程的重要内容之一，对矩阵的秩的学习有助于学生加深对线性相关性和线性方程组的解的结构和性质定理的理解和应用[1-3].考虑到高等代数课程的抽象性，在实际教学过程中教师可以借助案例教学法帮助学生理解和掌握所学具体内容[4，5].对矩阵的秩这一部分内容的教授，首先应该让学生理解矩阵的秩的定义，特别是其与线性相关性的联系，并在此基础上研究矩阵的秩及其应用.在本文接下来的内容中，我们将首先介绍矩阵的行秩、矩阵的列秩、矩阵的行列式秩和矩阵的秩的概念，然后给出矩阵的秩的常用性质，最后通过解决两道有一定综合性的例题，说明在实际教学过程中如何通过适当的例题让学生加深对矩阵的秩的性质的理解与应用.
二、矩阵的秩的定义与性质
在本小节中，我们首先引入矩阵的秩的概念[1].
定义1：设A是m×n矩阵，则矩阵A的m个行向量组成的向量组的秩称为矩阵A的行秩;矩阵A的n个列向量组成的向量组的秩称为矩阵A的列秩.
定义2：设A是m×n矩阵，若A有一个r阶子式不为零，而A的所有r+1阶（如果存在）都等于零，则称r为矩阵A的行列式秩.
对矩阵的行秩、列秩和行列式秩，有如下重要结果[1].
定理：设A是m×n矩阵，则A的行秩、A的列秩、A的行列式秩三者相等，统称为矩阵的秩，记为rank（A）.
接下来我们介绍矩阵的秩的常用性质[3]，设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵.
性质1：rank（A）≤min{m，n}.
性质2：rank（AB）≤min{rank（A），rank（B）}.
性质3：rank（AB）≥rank（A）+rank（B）-n.
性质4：rank（A+B）≤rank（A）+rank（B）.
性质5：若rank（A）=n，则rank（AB）=rank（B）;
若rank（B）=n，则rank（AB）=rank（A）.
性质6：若A是实矩阵，AT是A的转置矩阵，则
rank（A）=rank（AT）=rank（AAT）=rank（ATA）.
性质7：若A是复矩阵，A是A的复共轭矩阵，A*是
A的转置共轭矩阵，则rank（A）=rank（A）=rank（A*）=rank（AA*）=rank（A*A）.
三、实例教学
在本小节中，我们将应用案例教学法，通过求解一道具体的例题加深学生对前述矩阵的秩的理解.
例1.已知矩阵B是定义在实数域上的特征值非负的对称的6×6矩阵且rank（B）=5，矩阵D=（α1 α2 α3 α4）是6×4矩阵且rank（D）=4.令ξ=α1+α2+α3+α4，若Bξ=0，求证rank（DTBD）=3.
证明：由于矩阵B是定义在实数域上的特征值非负的对称的6×6矩阵且rank（B）=5，从而存在正交矩阵P使得
B=PTλ1 λ2 λ3 λ4 λ5 0P。
引入矩阵= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0，
以及C=P，
则rank（C）=5，且B=CTC.设R=1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1，则
D1=DR=（α1 α2 α3 α4）1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 0 0 1=（ξ α2 α3 α4）。
根据秩的性质5，我们有
rank（DTBD）=rank（RTDTBDR）=rank（DT1BD1）=
rank（DT1CTCD1）.
欲证rank（DTBD）=3，只需证明rank（DT1CTCD1）=3.
根据秩的性质6，
有rank（DT1CTCD1）=rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）.
故只需证明rank（CD1）=3.直接计算可得 CD1=C（ξ α2 α3 α4）=（0 Cα2 Cα3 Cα4）
注意到rank（B）=5及Bξ=0，可知BX=0的解空间是1维的且Bα2，Bα3，Bα4线性无关.又B=CTC且rank（C）=5，故Cξ=0且Cα2，Cα3，Cα4线性无关，所以rank（CD1）=3证明完毕.
在课堂讲授此例题时，要特别强调题目中的非负特征值条件是必不可少的.当出现负特征值时，矩阵CD1是复矩阵，根据秩的性质7，
rank（（CD1）TCD1）=rank（CD1）
一般不再成立.在此处可以让学生深刻体会处理复矩阵时要注意到
rank（（CD1）*CD1）=rank（CD1）.
为进一步加深学生对矩阵的秩的其他性质以及对线性相关性的理解，在实际教学过程中可进一步讲解如下例题.
例2.设B是一个n×n实对称矩阵，D=（α1 … αm）是一个n×m矩阵，且rank（B）=n-1，rank（D）=m，Bξ=0（ξ≠0）且ξ∈span{α1，…，αm}.求证rank（BDDT）=m-1
证明：因为rank（D）=m，故α1，…，αm线性无关，从而存在唯一的一组不全为零的数c1，…，cm使得ξ=c1α1+…+cmαm.不失一般性，可设c1≠0.令
R=c1 0 … 0c2 1 … 0… … … 0cm … … 1，
则rank（R）=m.根据秩的性质5，有rank（BDDT）=rank（BD）=rank（BDR），而
BDR=B（ξ α2 … αm）=（0 Bα2 … Bαm）
故有rank（BDDT）=rank（BDR）≤m-1.另一方面，根据秩的性质5和性质3，有
rank（BDDT）=rank（BD）≥rank（B）+rank（D）-n=m-1
从而可得rank（BDDT）=m-1证明完毕.
四、小结
本文讨论了高等代数的重要教学内容之一的矩阵的秩，我们首先引入了矩阵的秩的定义，然后讨论了矩阵的秩的常用性质，并特别指出了复矩阵的秩的一个重要性质.最后结合两道有一定综合性的例题，说明实际教学过程中如何通过适当的例题让学生加深矩阵的秩的性质的理解与应用.在高等代數的其他内容的教学上，案例教学法也是非常有效的，通过适当的案例讲解，有助于加深学生对所学数学内容的理解，提升课堂教学效果.
参考文献：
[1]北京大学数学系前代数小组.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.
[2]丘维声.高等代数[M].北京：科学出版社，2013.
[3]姚慕生，吴泉水，谢启鸿.高等代数学（第三版）[M].上海：复旦大学出版社，2014.
[4]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.
[5]郑金洲.教学方法应用指导[M].上海：华东师范大学出版社，2006.
◎编辑 赵瑞峰