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一道例题，当我们从多个角度观察、思考时，往往就会有一些新的发现，当我们对这些新的发现进一步研究时，我们就会认识到，一些原来很复杂的问题也可以转化得很简单。
下面笔者就来源于九年级《数学》上册的一道探究练习题出发，通过对原例题及解法本质的详细解读，还原例题产生、发展和形成的过程，让读者有一个全面而深刻的认识。
题目是这样的：如图，有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△AˊBˊCˊ，其中∠A=∠A’=90°，且两个三角形不相似。问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△AˊBˊCˊ所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似？如果能，请设计出分割方案；如果不能，请说明理由。”
学生初次接触这种相似分割问题时感觉无从下手，教师也常常就题论题，教学效果不理想。我想作为老师我们应当更多的是帮助学生掌握解决问题的方法，学会有目的地分析此类问题。因此，为了更好的解决这个问题，在解答之前我立足此题结合教材展开了如下的分析：
涉及到相似分割，其实我们接触的最多也最简单的应该是在本章中经常遇见的两幅“子母相似形”。依据学生已有的认知基础---“母子相似形”，寻找它们的共同点是都有一个公共角，初步感悟分割要保证小三角形有一个角与原三角形相等。
类型一、分割出一个三角形与原三角形相似。
练习1：如图（7），已知△ABC（三个内角不等，且∠A>∠C>∠B），你能过三角形的一个顶点画一条直线把△ABC分割成两个三角形，使得其中一个三角形与原三角形相似吗？
把三角形三个角其中一个角作为公共角，再从剩余的两个角选择较大的角进行分割，从较大的角中分割出一个角等于较小的角即可，共有三种分割方法。这种分法其实是母子相似形的一种特殊形式。
类型二、把一个三角形分割成两个相似三角形
练习2：如果过三角形的一个顶点能把一个三角形分割成两个相似的三角形，原三角形应满足什么条件？如何分割？画一画。
这一问题有一定的困难，可以先画出草图，如果△ABD与△ACD相似，△ABD的∠B可能与△ACD哪些角对应相等呢？
引导学生有序的分析，并明晰原因：
由此归纳小结得出：一个三角形能否分割成两个相似的三角形，取决于原三角形的形状。即：若原三角形是直角三角形，沿斜边上的高线分割；若原三角形是等腰三角形，沿底边上的高线分割；其它三角形不能分割成两个相似三角形。
类型三、把两个不相似的三角形分割成两对相似三角形
而刚才的原题就是属于这类问题是把两个不相似的直角三角形分割成两对相似的三角形，在解决这个问题之前，我们还是举一个例子来说明一下。
练习3：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=70°，∠E=50°
方法一：我们可以先从直角开始分，在△ABC中的直角里分割出一个50°，在△DEF中的直角中分割出一个70°这样构成一对相似三角形，那么被分割的两个直角剩下的角度自然等于和50°，70°互余的另一个锐角分别为40°和20°。由度数可知另外一对也是相似三角形。
或者在△ABC中的直角分割出一个40°在△DEF中的直角分割出一个20°这样同理也构成一对相似三角形，那么另外一对也是相似三角形。
方法二：可以从两个直角三角形中较大的一个锐角中分别分割出另一个三角形中较小的那个锐角。像图中在70°中分割出一个40°，在50°中分割出一个20°那么△BCM于△EFN相似了。于此同时，这两个三角形的外角都等于60°，再加上相等的两个直角，所以另外一对三角形也相似。
由于较小的那个锐角无法分割出另一个三角形中较大的角所以，在较小的锐角进行分割是不可行的。
有了这个特例的铺垫，我们对于原题中两个不相似的直角三角形的分割方法就有了从刚才的特殊到一般的方法。从直角分割和从较大的锐角分割两种：
方法一：从直角分割： 所以将左图三角形中的直角分割成 ，将右图三角形中的直角分割成 。发现如图所示，由直角三角形两锐角和为90°的特点只要将一个三角形的直角按照另外一个三角形的两个锐角度数进行分割，就可以得到两对相似三角形。
方法二：从较大的一个锐角进行分割， 在左图较大的锐角中分割出右图较小的锐角∠2，在右图较大的锐角中分割出左图较小的锐角∠1。这样就的得到了△BCD相似于△B’C’D’。与此同时△BCD和△B’C’D’的外角都等于 所以再加上原有的直角，这样也得到△BDA相似于△B’ D’ A’。 从而发现这种在较大锐角中分割出另一个三角形中的较小锐角的分割方法也是可以得到两对相似三角形的。
根据这道题目我们又联想到变式一，如果将原题中的直角三角形改为两锐角三角形中，若∠A=∠A’， 其余条件不变，是否可分割，如果是有一个角相等的钝角三角形呢，显然运用刚才的方法一是不可行的，因为这种分割必须满足
那么再来看方法二：
同样在较大的锐角中分别分割出另一个三角形中较小的锐角，可得一对相似三角形，此时 ，再加上已有的相等的锐角可得另一对相似。刚才的方法在一对锐角相等的情况下仍然适用。
同样的方法也适用于钝角三角形中。
对问题进一步思考，如果此时的锐角或者钝角三角形中没有一对角相等的话还能分割吗？答案是否定的，因为此时如果没了 这个条件的话，第二对三角形相似就只有外角相等这一对角相等了，所以第二对相似就不能够成立了。
至此我们得出结论，两个不相似三角形中只要有一对角相等的就能够分割出两对相似三角形。
同时我们还可以对类型三进行拓展变式、即把两个不相似的三角形分割成三对相似三角形
例：对于任意的两个不相似的三角形△ABC和△AˊBˊCˊ，分别分割成三个小三角形，使得被分割的三个小三角形分别对应相似？
有了刚才探究三的铺垫，很容易就可以发现，在两先个三角形中分别分割出另外一个三角形中的一个角如这里的∠1于∠2。得到一对相似三角形后，此时他们的外角 都相等，这时剩下的△ACD和△A’C’D’中有一个相等的角了，问题就变成了刚才探究三中如何把有一个角相等的两个不相似的三角形分割成两对相似三角形的问题了。接着再用刚才的方法进行分割就可以了。
至此，我们从原题出发，通过分类讨论将三角形的相似分割问题进行了分析和探究，将题目进行了挖掘，变式和拓展。将这类问题共衍生出三大类的划分，同时对第三类的分割又进行了拓展。总结出了这类分割的一般途径和方法。不仅有利于我们寻找解题的思路，同时更为我们编题提供很好的方向。在数学教学中我们应当紧紧抓住教材，以此为基础，改造整编，移植借鉴，繁衍生息，不断引导学生进行反思，联想，总结，将教材的例题，习题发散，层层深入，凝题成链，结题成网，那将是教学最大的收获。
下面笔者就来源于九年级《数学》上册的一道探究练习题出发，通过对原例题及解法本质的详细解读，还原例题产生、发展和形成的过程，让读者有一个全面而深刻的认识。
题目是这样的：如图，有两个分别涂有黄色和蓝色的△ABC和△AˊBˊCˊ，其中∠A=∠A’=90°，且两个三角形不相似。问：能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个黄色三角形与△AˊBˊCˊ所分割成的两个蓝色三角形分别对应相似？如果能，请设计出分割方案；如果不能，请说明理由。”
学生初次接触这种相似分割问题时感觉无从下手，教师也常常就题论题，教学效果不理想。我想作为老师我们应当更多的是帮助学生掌握解决问题的方法，学会有目的地分析此类问题。因此，为了更好的解决这个问题，在解答之前我立足此题结合教材展开了如下的分析：
涉及到相似分割，其实我们接触的最多也最简单的应该是在本章中经常遇见的两幅“子母相似形”。依据学生已有的认知基础---“母子相似形”，寻找它们的共同点是都有一个公共角，初步感悟分割要保证小三角形有一个角与原三角形相等。
类型一、分割出一个三角形与原三角形相似。
练习1：如图（7），已知△ABC（三个内角不等，且∠A>∠C>∠B），你能过三角形的一个顶点画一条直线把△ABC分割成两个三角形，使得其中一个三角形与原三角形相似吗？
把三角形三个角其中一个角作为公共角，再从剩余的两个角选择较大的角进行分割，从较大的角中分割出一个角等于较小的角即可，共有三种分割方法。这种分法其实是母子相似形的一种特殊形式。
类型二、把一个三角形分割成两个相似三角形
练习2：如果过三角形的一个顶点能把一个三角形分割成两个相似的三角形，原三角形应满足什么条件？如何分割？画一画。
这一问题有一定的困难，可以先画出草图，如果△ABD与△ACD相似，△ABD的∠B可能与△ACD哪些角对应相等呢？
引导学生有序的分析，并明晰原因：
由此归纳小结得出：一个三角形能否分割成两个相似的三角形，取决于原三角形的形状。即：若原三角形是直角三角形，沿斜边上的高线分割；若原三角形是等腰三角形，沿底边上的高线分割；其它三角形不能分割成两个相似三角形。
类型三、把两个不相似的三角形分割成两对相似三角形
而刚才的原题就是属于这类问题是把两个不相似的直角三角形分割成两对相似的三角形，在解决这个问题之前，我们还是举一个例子来说明一下。
练习3：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=70°，∠E=50°
方法一：我们可以先从直角开始分，在△ABC中的直角里分割出一个50°，在△DEF中的直角中分割出一个70°这样构成一对相似三角形，那么被分割的两个直角剩下的角度自然等于和50°，70°互余的另一个锐角分别为40°和20°。由度数可知另外一对也是相似三角形。
或者在△ABC中的直角分割出一个40°在△DEF中的直角分割出一个20°这样同理也构成一对相似三角形，那么另外一对也是相似三角形。
方法二：可以从两个直角三角形中较大的一个锐角中分别分割出另一个三角形中较小的那个锐角。像图中在70°中分割出一个40°，在50°中分割出一个20°那么△BCM于△EFN相似了。于此同时，这两个三角形的外角都等于60°，再加上相等的两个直角，所以另外一对三角形也相似。
由于较小的那个锐角无法分割出另一个三角形中较大的角所以，在较小的锐角进行分割是不可行的。
有了这个特例的铺垫，我们对于原题中两个不相似的直角三角形的分割方法就有了从刚才的特殊到一般的方法。从直角分割和从较大的锐角分割两种：
方法一：从直角分割： 所以将左图三角形中的直角分割成 ，将右图三角形中的直角分割成 。发现如图所示，由直角三角形两锐角和为90°的特点只要将一个三角形的直角按照另外一个三角形的两个锐角度数进行分割，就可以得到两对相似三角形。
方法二：从较大的一个锐角进行分割， 在左图较大的锐角中分割出右图较小的锐角∠2，在右图较大的锐角中分割出左图较小的锐角∠1。这样就的得到了△BCD相似于△B’C’D’。与此同时△BCD和△B’C’D’的外角都等于 所以再加上原有的直角，这样也得到△BDA相似于△B’ D’ A’。 从而发现这种在较大锐角中分割出另一个三角形中的较小锐角的分割方法也是可以得到两对相似三角形的。
根据这道题目我们又联想到变式一，如果将原题中的直角三角形改为两锐角三角形中，若∠A=∠A’， 其余条件不变，是否可分割，如果是有一个角相等的钝角三角形呢，显然运用刚才的方法一是不可行的，因为这种分割必须满足
那么再来看方法二：
同样在较大的锐角中分别分割出另一个三角形中较小的锐角，可得一对相似三角形，此时 ，再加上已有的相等的锐角可得另一对相似。刚才的方法在一对锐角相等的情况下仍然适用。
同样的方法也适用于钝角三角形中。
对问题进一步思考，如果此时的锐角或者钝角三角形中没有一对角相等的话还能分割吗？答案是否定的，因为此时如果没了 这个条件的话，第二对三角形相似就只有外角相等这一对角相等了，所以第二对相似就不能够成立了。
至此我们得出结论，两个不相似三角形中只要有一对角相等的就能够分割出两对相似三角形。
同时我们还可以对类型三进行拓展变式、即把两个不相似的三角形分割成三对相似三角形
例：对于任意的两个不相似的三角形△ABC和△AˊBˊCˊ，分别分割成三个小三角形，使得被分割的三个小三角形分别对应相似？
有了刚才探究三的铺垫，很容易就可以发现，在两先个三角形中分别分割出另外一个三角形中的一个角如这里的∠1于∠2。得到一对相似三角形后，此时他们的外角 都相等，这时剩下的△ACD和△A’C’D’中有一个相等的角了，问题就变成了刚才探究三中如何把有一个角相等的两个不相似的三角形分割成两对相似三角形的问题了。接着再用刚才的方法进行分割就可以了。
至此，我们从原题出发，通过分类讨论将三角形的相似分割问题进行了分析和探究，将题目进行了挖掘，变式和拓展。将这类问题共衍生出三大类的划分，同时对第三类的分割又进行了拓展。总结出了这类分割的一般途径和方法。不仅有利于我们寻找解题的思路，同时更为我们编题提供很好的方向。在数学教学中我们应当紧紧抓住教材，以此为基础，改造整编，移植借鉴，繁衍生息，不断引导学生进行反思，联想，总结，将教材的例题，习题发散，层层深入，凝题成链，结题成网，那将是教学最大的收获。