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探索性问题以“条件的不完备性、结论的不确定性、规律的不明显性、方法的灵活多样性、思维的开放发生性”，展示了广阔的知识和能力空间，以上的特点，也就是探索性问题求解的难度所在，而极端化思想方法是根据“特殊性存在于普遍性之中”的思想基础，按“问题的一般普通化过程，存在特殊情形”的规律，探求适合一般条件的规律或结果的一种解题方法，是直观思维的结果。极端化的途径一般有变量的定值极端化和图形的定位极端化两种，通过对特殊值或特殊位置的细致观察、全面分析、合理归纳、准确猜测、系统论证，使极端情形显示出直观、简捷的作用，在错综复杂的关系中找到求解方法，使问题解决。
现举两例如下：
例1：设x+2z=3y，试判断代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由。
分析：本题中的条件x+2z=3y是一个三元一次方程，有无数个解，由此可以试探：如果代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是定值，则不论是哪一组适合方程x+2z=3y的x、y、z值代入，其值保持不变，即为定值，反之，若有一例值不同，则说明其值不确定。这样，可以最简单的几组值尝试：
若x=y=z=0，代入，得x2-9y2+4z2+4xz=0；
若x=y=z==1，代人，得x2-9y2+4z2+4xz=0：
若x=－１，y=1，z=2，代人，得x2-9y2+4z2+4xz=0；
若以上三组的x、y、z值具有随意性，由此，通过观测，猜测在x=2z=3y的条件下，代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是定值0，这样，也就探求得在具体求解中，通过条件变换，将x2-9y2+4z2+4xz中的相应项消去，得值为零。
解：直接由3y=x+2z代人
原式=x2-（3y）2+4z2+4xz=x2-（x+2z）2+4z2+4xz
=x2-x2-4xz+4xz+4z2+4xz=0
极端化思想方法，要通过观察、探索、尝试，从一般过渡到特殊，随后由特殊验证普遍性，这样，才能通过特殊情形的极端化，探求出问题解决的结果。
例2：如图一，已知半径为2的⊙A的圆心在半径为5的O上移去吧，⊙O的任一弦PQ切⊙A于B，连结PA、QA，试猜想PA QA的值+并证明猜想结果。
分析：本题的表面现象是动圆⊙A与动弦PQ相切，问题中交织着二个变化情景，但通过观察发现，PA、QA的大小与⊙A所处位置无关，只与PQ位置有关，由此可以尝试在PQ的极端位置，PA⊙QA的值，不妨设点B与点Q重合。
（１）若PQ切⊙A的切点B与两圆交点之一重合
（如图二），则PA=BA=2，
且PA⊥PQ连结AQ，
则AQ是⊙O直径，QA=10，
所以PAQA=10×2=20
此极端位置在符合题设大前提的条件下，猜测出欲求结果，但还不能验证一股情形下，无规律，由此，尝试另一特殊位置。
(2)若PQ切⊙A的切点B在过圆心A、O的直径AC上（如图三），则PQ⊥AB，即PQ⊥AC，所以PA=QA,连PC，在Rt△PAC中，∠CPA=Rt∠，
PAQA=PA2=ABAC=2×10=20
此特殊位置，不但验证了第一特殊情形的结果，从中还发现△PAC∽△BAQ具有一般性，为此，类推至一般情形验证。
解：当PQ切OA于任一点B时作⊙O直径AC，
分别连结PA、AB
则△PAC∽△BAQ
所以PAQA=BACA=20
以上两例，运用极端化思想，在符合题设条件下，以特殊值或特殊位置的情形，通过探测、尝试，猜想出问题结果，随后验证到一般情形。在此，应预防的是将题设条件的特殊化，而出现负面极端化。
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现举两例如下：
例1：设x+2z=3y，试判断代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由。
分析：本题中的条件x+2z=3y是一个三元一次方程，有无数个解，由此可以试探：如果代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是定值，则不论是哪一组适合方程x+2z=3y的x、y、z值代入，其值保持不变，即为定值，反之，若有一例值不同，则说明其值不确定。这样，可以最简单的几组值尝试：
若x=y=z=0，代入，得x2-9y2+4z2+4xz=0；
若x=y=z==1，代人，得x2-9y2+4z2+4xz=0：
若x=－１，y=1，z=2，代人，得x2-9y2+4z2+4xz=0；
若以上三组的x、y、z值具有随意性，由此，通过观测，猜测在x=2z=3y的条件下，代数式x2-9y2+4z2+4xz的值是定值0，这样，也就探求得在具体求解中，通过条件变换，将x2-9y2+4z2+4xz中的相应项消去，得值为零。
解：直接由3y=x+2z代人
原式=x2-（3y）2+4z2+4xz=x2-（x+2z）2+4z2+4xz
=x2-x2-4xz+4xz+4z2+4xz=0
极端化思想方法，要通过观察、探索、尝试，从一般过渡到特殊，随后由特殊验证普遍性，这样，才能通过特殊情形的极端化，探求出问题解决的结果。
例2：如图一，已知半径为2的⊙A的圆心在半径为5的O上移去吧，⊙O的任一弦PQ切⊙A于B，连结PA、QA，试猜想PA QA的值+并证明猜想结果。
分析：本题的表面现象是动圆⊙A与动弦PQ相切，问题中交织着二个变化情景，但通过观察发现，PA、QA的大小与⊙A所处位置无关，只与PQ位置有关，由此可以尝试在PQ的极端位置，PA⊙QA的值，不妨设点B与点Q重合。
（１）若PQ切⊙A的切点B与两圆交点之一重合
（如图二），则PA=BA=2，
且PA⊥PQ连结AQ，
则AQ是⊙O直径，QA=10，
所以PAQA=10×2=20
此极端位置在符合题设大前提的条件下，猜测出欲求结果，但还不能验证一股情形下，无规律，由此，尝试另一特殊位置。
(2)若PQ切⊙A的切点B在过圆心A、O的直径AC上（如图三），则PQ⊥AB，即PQ⊥AC，所以PA=QA,连PC，在Rt△PAC中，∠CPA=Rt∠，
PAQA=PA2=ABAC=2×10=20
此特殊位置，不但验证了第一特殊情形的结果，从中还发现△PAC∽△BAQ具有一般性，为此，类推至一般情形验证。
解：当PQ切OA于任一点B时作⊙O直径AC，
分别连结PA、AB
则△PAC∽△BAQ
所以PAQA=BACA=20
以上两例，运用极端化思想，在符合题设条件下，以特殊值或特殊位置的情形，通过探测、尝试，猜想出问题结果，随后验证到一般情形。在此，应预防的是将题设条件的特殊化，而出现负面极端化。
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