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你是不是经常有这样的烦恼：解题时“会而不对，对而不全”，明明是自己会做的题，却得分不多，甚至“颗粒无收”.不必烦恼，本文将借你一双慧眼，带你盘点高中数学中常见的错误，分析各种易错题的类型，找出解题中的错误所在，研究改正错误的方法，从中吸取教训，提高数学素养，让你笑对高考.
数学解题是我们借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中我们的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强.研究发现，数学易错点一般发生在对数学概念的理解不透彻、对数学公式记忆不准确以及审题不严、运算失误、数学思维不严谨等方面.
类型1对数学概念的理解不透彻
数学概念描述了数学对象最重要的本质属性，每一个概念都有一定的外延与内涵，如果对概念本质的认识不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错.
例1函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），试研究函数f（x）的奇偶性.
错解：∵f（x）的定义域为R，又满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数或者偶函数.
错因剖析：错解的根本原因就是对函数奇、偶性的定义理解模糊，定义是这样讲的：如果对于定义域中的每一个自变量x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则函数f（x）是偶函数（或奇函数）.而题中给出的函数可能是一部分自变量满足f（-x）=f（x），另一部分满足f（-x）=-f（x），例如函数f（x）=x2（-1≤x≤1）x（x>1或x<-1），满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），但它既不是奇函数也不是偶函数，所以题中的函数奇偶性不确定，可能是奇函数，也有可能是偶函数，可能既是奇函数又是偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数.
无独有偶，这样的例子还有很多，例如：
①若函数y=f（x）满足f（2x 1）=f（2x），则函数y=f（x）的最小正周期是12.
②若数列{an}满足an=2n-1或an=2n，则数列{an}是等差数列或等比数列.
点评：上述两个命题都是假命题.对于①，取f（x）=1，则函数的最小正周期不为12；②中满足条件的数列{an}有无数种，例如1，3，8，7，…；2，3，5，16…；2，4，8，16，…；1，3，5，7，…等等，数列{an}也可能既不是等差数列，也不是等比数列.
类型2对数学公式理解与记忆不准确
数学公式众多，同学们在应用公式解决数学问题时，由于记忆不准确，将公式记错.或由于理解不准确，忽视公式成立的条件.比如有同学将常用的一些公式记成下面错误的形式：loga（x y）=（logax）·（logay）；a·b=2|a||b|cosθ（多出来的“2”估计是受余弦定理c2=a2 b2-2abcosC中的“2”的影响，两个公式发生混淆了）；使用基本不等式求最值时，忽视其前提“一正、二定、三相等”，这些都极易导致错误.
例2已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求（a b）2cd的取值范围.
错解：由已知条件x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，
则有a b=x y，cd=xy，
所以（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy=xy yx 2≥2 2=4，
即所求的取值范围是[4， ∞）.
错因剖析：上述解法中，xy yx≥2成立的条件是xy，yx都大于0，即x，y同号，实际情况是本例中x，y亦可异号.
正解：由已知条件x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，
则有a b=x y，cd=xy，
当x，y同号时，（a b）2cd=（x y）2xy，
=x2 y2 2xyxy=xy yx 2≥2 2=4.
当x，y异号时，
（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy=xy yx 2
=-[（-xy） （-yx）] 2≤-2 2=0，
（或用x2 y2≥-2xy，（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy≤0xy=0）
所以所求范围为（-∞，0]∪[4， ∞）.
类型3审题不严
审题是解题的第一步，同学们在审题过程中往往出现读题不仔细、忽视隐含条件、混淆字母含义等问题，从而导致错误的发生.
3.1读题不仔细
解题时没有认真的阅读题目，曲解题意致误.
例3数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），其中Sn为数列{an}的前n项和，甲、乙、丙、丁四名同学各写了该数列的前四项：甲：1，3，5，7；乙：1，4，8，7；丙：1，4，4，7；丁：1，3，8，4.请你确定这四人中所有书写正确的学生.
错解：因为数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），
由于Sn=n2an=2n-1，
所以原条件可化为[an-（2n-1）]（an-2n）=0（n∈N），
所以an=2n-1或an=2n，
所以只有乙是正确的.
错因剖析：题目中Sn=n2并不是对定义域内的所有的n都成立，这可以只是个局部性质，也就是说当Sn=n2时，Sn-1未必等于（n-1）2，因此条件（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N）并不等价于[an-（2n-1）]（an-2n）=0（n∈N）. 正解：由已知数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），即满足an=2n或Sn=n2，因此四人中甲、丙、丁都是正确的.
3.2忽视隐含条件
数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点”，这就隐含着“联立直线与圆的方程消元后的二次方程的判别式Δ≥0”，又如“求函数y=sin2x 2sinx 3的值域”隐含着“-1≤sinx≤1”这个有界性条件.审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.
例4已知双曲线x2-y22=1，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
错解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），因为两点皆在双曲线上，
所以有x21-y212=1x22-y222=1，
将两式相减，又P是线段AB的中点，可得kAB=2，
所以所求的直线l的方程为2x-y-1=0.
错因剖析：由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的同学思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.
正解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为（x0，y0），
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.
设经过点P的直线l的方程为y-1=k（x-1），
即y=kx 1-k.
由y=kx 1-k，x2-y22=1，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0（2-k2≠0）.①
∴x0=x1 x22=k（1-k）2-k2.
由题意，得k（1-k）2-k2=1，解得k=2.
当k=2时，方程①成为2x2-4x 3=0.
Δ=16-24=-8<0，方程①没有实数解.
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1，1）是线段AB的中点.
点评：隐含条件还隐藏在某些表达式“自身携带”的范围里.就像方程x2 y2 dx ey f=0表示圆时，必须满足d2 e2-4f>0，方程x2m y2n=1表示椭圆要满足一定的条件：m，n>0，m≠n；忽略了这些“自身携带”的范围，解题就容易发生错误.
3.3混淆字母含义
同学们常将圆锥曲线方程中的“a2（或b2）”与“a（或b）”混为一谈导致错误.
例5若椭圆x2 my2=1（0 错解：椭圆标准方程x21 y21m=1（01，
所以ca=1m-11m=32，则m=14，
所以a=4，所以长轴长为2×4=8.
错因剖析：方程中的1m是半长轴的平方，上述解法中将其看成了长半轴长.
正解：由上面的解题过程可知，a=4=2，所以长轴长为2a=4.
类型4运算失误
运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.而计算出错，已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.
4.1错误运用运算规律
如果在解题中不能正确使用运算法则，就会出现一些笑话.比如计算[（-2）10]12，有同学利用幂的运算性质得到[（-2）10]12=（-2）10×12=（-2）5=-32，开平方的结果怎么会是一个负数呢？原因就是只有当a>0时，才一定有（am）n=amn.
例6计算（1-i1 i）5的结果是.
错解：因为（1-i1 i）5=[（1-i1 i）4]54=[（1-i）4（1 i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1.
错因剖析：实数有性质xmn=（xm）n（x、m、n∈R）.错解在计算过程中，为了利用（1±i）2=±2i简化计算，应用了这个性质.而此性质在复数集中是不成立的，如i5=i，而i5=（i4）54=154=1.这是没有注意条件盲目变形出现的错误.
正解：因为（1-i1 i）5=（1-i1 i）4·1-i1 i=（1-i）4（1 i）4·（1-i）（1 i）（1 i）（1 i）=（-2i）2（2i）2·22i=1i=-i.
4.2运算方法不当致误
运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当将会导致运算繁杂或不可能得解而出错，在同样的题目条件下，不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确度.
例7已知0 思路一：利用三角函数的变形或化简，想通过三角公式对函数解析式作变形，然后再求最值；
思路二：令变量m=sinx，通过换元，转化为关于m的函数，从而利用导数求函数g（m）=1m t1-m，m∈（0，1）的最小值（用t表示），再利用最小值为9，求得t的值.
分析：这两种想法看上去似乎都很合乎逻辑，但通过探究发现，第一种思路，走不下去，没有办法通过变形转化为可求最值的形式；第二种思路运算量相当复杂，并且极值点与参数t有关，还需进一步对参数做讨论，一般是很难顺利解决的.
正解：注意到sinx （1-sinx）等于常数1，所以可以考虑令m=sinx，n=1-sinx，则问题转化为：已知m n=1，1m tn的最小值为9，求t的值.这样一来可以考虑利用基本不等式求解：1m tn=（1m tn）×1=（1m tn）（m n）=1 t （nm mtn）≥1 t 2t（当且仅当nm=mtn时取等号），由1 t 2t=9解得t=4. 类型5数学思维不严谨
5.1忽视变形的等价性
利用化归思想，将复杂的陌生的问题转化为简单的熟悉的问题，这是常用的解题手段，但如果进行非等价的转换，就会出现似是而非的假象.
例8已知数列a，b，c成等比数列，数列a，b（b-1）2，c成等差数列，当1 错解：因为数列a，b，c成等比数列，所以b2=ac，
因为数列a，b（b-1）2，c成等差数列，所以b（b-1）=a c，
由b2=acb（b-1）=a c，解得b=ac-（a c）.
因为1 错因剖析：因为当3 其实条件中b2=acb（b-1）=a c，容易联想到基本不等式或一元二次方程根的分布，如果用基本不等式，条件1 正解：因为ac=b2a c=b（b-1），
所以a，c可视为一元二次方程为x2-b（b-1）x b2=0的两个实根.
又因为1 设f（x）=x2-b（b-1）x b2，
则有f（1）>0f（3）<0f（7）>0，解得3 5.2缺乏探究精神，硬套结论或凭臆断解题
例9在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）.如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是.
错解：将三角形三个顶点带入表达式ω=xy，通过比较，当x，y分别取2，6时，ω最大，故答案为（2，6）.
错因剖析：线性规划问题中，当可行域是封闭区域时，截距型最值问题（目标函数形如z=ax by）的最值必定在区域的顶点取，所以解题时只要将区域的顶点带入比较即可.但该题中目标函数为ω=xy，它不是截距型问题，它的最值不一定在顶点取，不加区别，死搬硬套，出现错误也在情理之中.
正解分析：因为ω=xy（x≥0，y≥0），所以ω可视为一个矩形的面积.
正解：过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为P1、P2，点P向右方或者向上方移动时，矩形OP1PP2的面积就变大.由图可看出，只有点P在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使ω=xy最大，点P一定在线段BC上.∵B（4，2），C（2，6），∴线段BC的方程为y=-2x 10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（10-2x）=-2（x-52）2 252，x∈[2，4]，
故当x=52，y=5时，ω取到最大值，∴P（52，5）.
例10已知圆C：（x a）2 （y-a）2=4a，（a∈（0，4]）截直线l：y=x 4所得弦长的最大值为.
错解：因为直线截圆所得弦中最长的就是直径，所以当C∈l时，弦即直径取最大值42.
错因分析：上述解法只凭经验，生搬硬套，没有注意本题中圆的半径并不是定长，2a也在变化.
正解：因为C到l的距离
d=|a a-4|2=2|a-2|，
弦长L=2r2-d2=24a-2（a-2）2
=22-（a-3）2 5≤210，
所以直线被截得的弦长的最大值为210.
5.3对端点的取舍研究不够
求范围是高中数学的高频问题，不少同学正是由于忽视了端点的取舍，从而功亏一篑.
例11已知函数f（x）=ax 1x 2在（-2， ∞）内单调递减，求实数a的取值范围.
错解：f′（x）=2a-1（x 2）2，由函数f（x）在（-2， ∞）内单调递减知f′（x）≤0在（-2， ∞）内恒成立，即2a-1（x 2）2≤0在（-2， ∞）内恒成立，
所以a≤12，
错因剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′（x）是否恒为零.函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子区间上不恒为零.而当a=12时f′（x）=0在（-2， ∞）恒成立，所以不符合题意，舍去.
例12设P、Q是曲线y=x3-3x2 （3-3）x 34的任意两点，则直线PQ的倾斜角α的取值范围是.
错解：k=y1-y2x1-x2
=x31-3x21 （3-3）x1-x32 3x22-（3-3）x2x1-x2
=（x21 x1x2 x22）-3（x1 x2） 3-31
=（x1 x2-32）2 3（x2-1）24-3
≥3（当且仅当x1=x2=1时取等号），
同上，可得直线PQ的倾斜角α的取值范围是[0，π2）∪[2π3，π）.
错解剖析：P、Q是曲线上两点，且求的是直线PQ的倾斜角α的取值范围，故两点不能重合，所以k>3，则倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
点评：众所周知，填空题中的求范围问题，若端点的取舍不正确，5分则全部“报销”，因此大家要养成单独考虑端点的习惯，弄清该点是否符合要求，明确取舍.
所谓“吃一堑长一智”，只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”，养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少，你也将没有烦恼.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）
数学解题是我们借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中我们的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强.研究发现，数学易错点一般发生在对数学概念的理解不透彻、对数学公式记忆不准确以及审题不严、运算失误、数学思维不严谨等方面.
类型1对数学概念的理解不透彻
数学概念描述了数学对象最重要的本质属性，每一个概念都有一定的外延与内涵，如果对概念本质的认识不透彻，对其外延与内涵的掌握不准确，都会在解题中反映出来，导致解题出错.
例1函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），试研究函数f（x）的奇偶性.
错解：∵f（x）的定义域为R，又满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数或者偶函数.
错因剖析：错解的根本原因就是对函数奇、偶性的定义理解模糊，定义是这样讲的：如果对于定义域中的每一个自变量x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则函数f（x）是偶函数（或奇函数）.而题中给出的函数可能是一部分自变量满足f（-x）=f（x），另一部分满足f（-x）=-f（x），例如函数f（x）=x2（-1≤x≤1）x（x>1或x<-1），满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），但它既不是奇函数也不是偶函数，所以题中的函数奇偶性不确定，可能是奇函数，也有可能是偶函数，可能既是奇函数又是偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数.
无独有偶，这样的例子还有很多，例如：
①若函数y=f（x）满足f（2x 1）=f（2x），则函数y=f（x）的最小正周期是12.
②若数列{an}满足an=2n-1或an=2n，则数列{an}是等差数列或等比数列.
点评：上述两个命题都是假命题.对于①，取f（x）=1，则函数的最小正周期不为12；②中满足条件的数列{an}有无数种，例如1，3，8，7，…；2，3，5，16…；2，4，8，16，…；1，3，5，7，…等等，数列{an}也可能既不是等差数列，也不是等比数列.
类型2对数学公式理解与记忆不准确
数学公式众多，同学们在应用公式解决数学问题时，由于记忆不准确，将公式记错.或由于理解不准确，忽视公式成立的条件.比如有同学将常用的一些公式记成下面错误的形式：loga（x y）=（logax）·（logay）；a·b=2|a||b|cosθ（多出来的“2”估计是受余弦定理c2=a2 b2-2abcosC中的“2”的影响，两个公式发生混淆了）；使用基本不等式求最值时，忽视其前提“一正、二定、三相等”，这些都极易导致错误.
例2已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求（a b）2cd的取值范围.
错解：由已知条件x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，
则有a b=x y，cd=xy，
所以（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy=xy yx 2≥2 2=4，
即所求的取值范围是[4， ∞）.
错因剖析：上述解法中，xy yx≥2成立的条件是xy，yx都大于0，即x，y同号，实际情况是本例中x，y亦可异号.
正解：由已知条件x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，
则有a b=x y，cd=xy，
当x，y同号时，（a b）2cd=（x y）2xy，
=x2 y2 2xyxy=xy yx 2≥2 2=4.
当x，y异号时，
（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy=xy yx 2
=-[（-xy） （-yx）] 2≤-2 2=0，
（或用x2 y2≥-2xy，（a b）2cd=（x y）2xy=x2 y2 2xyxy≤0xy=0）
所以所求范围为（-∞，0]∪[4， ∞）.
类型3审题不严
审题是解题的第一步，同学们在审题过程中往往出现读题不仔细、忽视隐含条件、混淆字母含义等问题，从而导致错误的发生.
3.1读题不仔细
解题时没有认真的阅读题目，曲解题意致误.
例3数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），其中Sn为数列{an}的前n项和，甲、乙、丙、丁四名同学各写了该数列的前四项：甲：1，3，5，7；乙：1，4，8，7；丙：1，4，4，7；丁：1，3，8，4.请你确定这四人中所有书写正确的学生.
错解：因为数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），
由于Sn=n2an=2n-1，
所以原条件可化为[an-（2n-1）]（an-2n）=0（n∈N），
所以an=2n-1或an=2n，
所以只有乙是正确的.
错因剖析：题目中Sn=n2并不是对定义域内的所有的n都成立，这可以只是个局部性质，也就是说当Sn=n2时，Sn-1未必等于（n-1）2，因此条件（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N）并不等价于[an-（2n-1）]（an-2n）=0（n∈N）. 正解：由已知数列{an}满足（Sn-n2）（an-2n）=0（n∈N），即满足an=2n或Sn=n2，因此四人中甲、丙、丁都是正确的.
3.2忽视隐含条件
数学题目中有很多隐含条件，例如已知“直线与圆有公共点”，这就隐含着“联立直线与圆的方程消元后的二次方程的判别式Δ≥0”，又如“求函数y=sin2x 2sinx 3的值域”隐含着“-1≤sinx≤1”这个有界性条件.审题过程应尽可能找出这些隐含条件后再解题.
例4已知双曲线x2-y22=1，过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
错解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），因为两点皆在双曲线上，
所以有x21-y212=1x22-y222=1，
将两式相减，又P是线段AB的中点，可得kAB=2，
所以所求的直线l的方程为2x-y-1=0.
错因剖析：由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的同学思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.
正解：设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为（x0，y0），
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.
设经过点P的直线l的方程为y-1=k（x-1），
即y=kx 1-k.
由y=kx 1-k，x2-y22=1，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2-2=0（2-k2≠0）.①
∴x0=x1 x22=k（1-k）2-k2.
由题意，得k（1-k）2-k2=1，解得k=2.
当k=2时，方程①成为2x2-4x 3=0.
Δ=16-24=-8<0，方程①没有实数解.
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1，1）是线段AB的中点.
点评：隐含条件还隐藏在某些表达式“自身携带”的范围里.就像方程x2 y2 dx ey f=0表示圆时，必须满足d2 e2-4f>0，方程x2m y2n=1表示椭圆要满足一定的条件：m，n>0，m≠n；忽略了这些“自身携带”的范围，解题就容易发生错误.
3.3混淆字母含义
同学们常将圆锥曲线方程中的“a2（或b2）”与“a（或b）”混为一谈导致错误.
例5若椭圆x2 my2=1（0
所以ca=1m-11m=32，则m=14，
所以a=4，所以长轴长为2×4=8.
错因剖析：方程中的1m是半长轴的平方，上述解法中将其看成了长半轴长.
正解：由上面的解题过程可知，a=4=2，所以长轴长为2a=4.
类型4运算失误
运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.而计算出错，已经成为影响数学成绩的最重要因素之一.
4.1错误运用运算规律
如果在解题中不能正确使用运算法则，就会出现一些笑话.比如计算[（-2）10]12，有同学利用幂的运算性质得到[（-2）10]12=（-2）10×12=（-2）5=-32，开平方的结果怎么会是一个负数呢？原因就是只有当a>0时，才一定有（am）n=amn.
例6计算（1-i1 i）5的结果是.
错解：因为（1-i1 i）5=[（1-i1 i）4]54=[（1-i）4（1 i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1.
错因剖析：实数有性质xmn=（xm）n（x、m、n∈R）.错解在计算过程中，为了利用（1±i）2=±2i简化计算，应用了这个性质.而此性质在复数集中是不成立的，如i5=i，而i5=（i4）54=154=1.这是没有注意条件盲目变形出现的错误.
正解：因为（1-i1 i）5=（1-i1 i）4·1-i1 i=（1-i）4（1 i）4·（1-i）（1 i）（1 i）（1 i）=（-2i）2（2i）2·22i=1i=-i.
4.2运算方法不当致误
运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当将会导致运算繁杂或不可能得解而出错，在同样的题目条件下，不同公式的选择及不同运算程序都将极大影响运算的速度和准确度.
例7已知0
思路二：令变量m=sinx，通过换元，转化为关于m的函数，从而利用导数求函数g（m）=1m t1-m，m∈（0，1）的最小值（用t表示），再利用最小值为9，求得t的值.
分析：这两种想法看上去似乎都很合乎逻辑，但通过探究发现，第一种思路，走不下去，没有办法通过变形转化为可求最值的形式；第二种思路运算量相当复杂，并且极值点与参数t有关，还需进一步对参数做讨论，一般是很难顺利解决的.
正解：注意到sinx （1-sinx）等于常数1，所以可以考虑令m=sinx，n=1-sinx，则问题转化为：已知m n=1，1m tn的最小值为9，求t的值.这样一来可以考虑利用基本不等式求解：1m tn=（1m tn）×1=（1m tn）（m n）=1 t （nm mtn）≥1 t 2t（当且仅当nm=mtn时取等号），由1 t 2t=9解得t=4. 类型5数学思维不严谨
5.1忽视变形的等价性
利用化归思想，将复杂的陌生的问题转化为简单的熟悉的问题，这是常用的解题手段，但如果进行非等价的转换，就会出现似是而非的假象.
例8已知数列a，b，c成等比数列，数列a，b（b-1）2，c成等差数列，当1
因为数列a，b（b-1）2，c成等差数列，所以b（b-1）=a c，
由b2=acb（b-1）=a c，解得b=ac-（a c）.
因为1
所以a，c可视为一元二次方程为x2-b（b-1）x b2=0的两个实根.
又因为1
则有f（1）>0f（3）<0f（7）>0，解得3
例9在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）.如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy取到最大值时，点P的坐标是.
错解：将三角形三个顶点带入表达式ω=xy，通过比较，当x，y分别取2，6时，ω最大，故答案为（2，6）.
错因剖析：线性规划问题中，当可行域是封闭区域时，截距型最值问题（目标函数形如z=ax by）的最值必定在区域的顶点取，所以解题时只要将区域的顶点带入比较即可.但该题中目标函数为ω=xy，它不是截距型问题，它的最值不一定在顶点取，不加区别，死搬硬套，出现错误也在情理之中.
正解分析：因为ω=xy（x≥0，y≥0），所以ω可视为一个矩形的面积.
正解：过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为P1、P2，点P向右方或者向上方移动时，矩形OP1PP2的面积就变大.由图可看出，只有点P在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使ω=xy最大，点P一定在线段BC上.∵B（4，2），C（2，6），∴线段BC的方程为y=-2x 10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（10-2x）=-2（x-52）2 252，x∈[2，4]，
故当x=52，y=5时，ω取到最大值，∴P（52，5）.
例10已知圆C：（x a）2 （y-a）2=4a，（a∈（0，4]）截直线l：y=x 4所得弦长的最大值为.
错解：因为直线截圆所得弦中最长的就是直径，所以当C∈l时，弦即直径取最大值42.
错因分析：上述解法只凭经验，生搬硬套，没有注意本题中圆的半径并不是定长，2a也在变化.
正解：因为C到l的距离
d=|a a-4|2=2|a-2|，
弦长L=2r2-d2=24a-2（a-2）2
=22-（a-3）2 5≤210，
所以直线被截得的弦长的最大值为210.
5.3对端点的取舍研究不够
求范围是高中数学的高频问题，不少同学正是由于忽视了端点的取舍，从而功亏一篑.
例11已知函数f（x）=ax 1x 2在（-2， ∞）内单调递减，求实数a的取值范围.
错解：f′（x）=2a-1（x 2）2，由函数f（x）在（-2， ∞）内单调递减知f′（x）≤0在（-2， ∞）内恒成立，即2a-1（x 2）2≤0在（-2， ∞）内恒成立，
所以a≤12，
错因剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′（x）是否恒为零.函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子区间上不恒为零.而当a=12时f′（x）=0在（-2， ∞）恒成立，所以不符合题意，舍去.
例12设P、Q是曲线y=x3-3x2 （3-3）x 34的任意两点，则直线PQ的倾斜角α的取值范围是.
错解：k=y1-y2x1-x2
=x31-3x21 （3-3）x1-x32 3x22-（3-3）x2x1-x2
=（x21 x1x2 x22）-3（x1 x2） 3-31
=（x1 x2-32）2 3（x2-1）24-3
≥3（当且仅当x1=x2=1时取等号），
同上，可得直线PQ的倾斜角α的取值范围是[0，π2）∪[2π3，π）.
错解剖析：P、Q是曲线上两点，且求的是直线PQ的倾斜角α的取值范围，故两点不能重合，所以k>3，则倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
点评：众所周知，填空题中的求范围问题，若端点的取舍不正确，5分则全部“报销”，因此大家要养成单独考虑端点的习惯，弄清该点是否符合要求，明确取舍.
所谓“吃一堑长一智”，只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”，养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少，你也将没有烦恼.
（作者：夏志勇，海安县曲塘中学）