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【摘要】本文基于本校施工专业数学校本教材编写过程中对数学建模的思考，宗旨在于将复杂的问题简单化，以一种形象的方法把专业课中的实际问题转化为数学模型，使得我们可以用数学原理解决问题。侧重在调动学生的积极性，训练学生找到问题进而解决问题的的能力，在学习的过程中将“用数学”发挥到极致。
【关键词】建筑施工；数学建模；数学教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0178-02
一、建模在教学中的重要作用
在施工专业数学的教学中，笔者发现其专业学习中和几何图形相关的问题，多可以总结归纳为简单的数学建模问题来解决。优点在于充分发挥数学的量化作用，将实际问题在理论层次上解决的同时，增加学生学习数学的趣味性。为此，我们在这类问题的整个教学过程中，很好地融入了数学建模的简单知识，将此类刻板枯燥甚至外行觉得高深的知识给学生一个可以认知的层次。
所谓数学建模，就是应用数学的特有的语言和方法对一个现实生活存在的实际问题所做的设计，它符合“具体——抽象——具体”的认知规律，包括五个教学的基本环节：首先，创设问题情况，激发求知欲；其次，抽象概括，建立准确的模型，导入所要学习的课题；再次，研究模型，形成数学知识；然后，解决实际应用问题；最后，归纳总结深化目标。
对于中职数学应用题教学来说，数学建模教学的主要目标是培养学生形成数学意識，切实提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。然而现实数学应用题教学的过程中，主要着眼于内部理论结构及其之间的逻辑关系，着重训练学生的逻辑思维能力，而忽略讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题，导致学生并没有形成真正的应用意识。
二、渗透建模思想的实际应用问题
下面就联系中职学生的知识现状，结合多年的教学经验，给出几个应用的实例。例如在施工专业中，牵涉到公路、铁路等建筑施工现场经常会遇到一些异形体的构造物。计算异形体工程量时一般采用的方法为平均面积法和棱台体积公式，但这两种方法均很难保证计算结果的精度。
首先，平均面积法缺乏严格的数学依据，一般只应用在要求计算结果精度不高的情况，如路基土石方工程量计算中；其次，土木工程施工现场所遇到的异形体一般不能满足棱台的条件，棱台是在棱锥的基础上用平行于棱锥底面的平面切割棱锥而得到，即棱台各边的延长线必交于一点，而施工现场异形体的各边延长线往往交于一条线，所以采用棱台体积公式也同样存在弊端。
为了精确计算土木施工现场的异形体工程量，有人提出一种基于微积分的计算方法，实际上这就是一个抽取数学模型解决问题的实例。为了避开复杂的异形体但又使学生理解整个思维过程，我们在讲述时通过推导圆柱体积公式为例。
如下图取定空间坐标系O-xyz，设圆柱侧棱与Z轴重合，圆柱底面位于XOY平面，以A（z）代表过点z且垂直于Z轴的截面面积。A（z）就是一全等于两个底面的圆，取z为积分变量，它的变化区间为[0，h]，圆柱体中相应于[0，h]上任以一小区间[z，z+dz]的一薄片的体积，近似于底面积为A（z），高为dz的扁柱体的体积，即体积元素dv=A（z）dz。以A（z）为积分表达式，在闭区间[0，h]上做定积分，即得到圆柱体的体积。
整个公式的导出实际上就是一个建模的过程，将施工现场所遇到的异形体等同于数学中的不规则图形，再根据微分的思想将其剖为一个个薄片，并且此薄片的面积可计算，然后根据积分的原理将这些面积累加起来，便是一个完整的几何体。整个过程中虽然牵涉高等数学的微积分思想，但是逻辑思路是清晰的，很好地解决一些实际应用中不好操作的问题，给了学生形象生动又不失严谨客观。
实际操作上面的例子属于较复杂的建模，现给出一些简单的计算实例。第一例：修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择适合测量的点C，使得可以顺利计算出隧道AB的长度。
这就是一个实际应用建模问题，需要用三角函数解决。首先，将此问题转化为数学模型：在平地上选择点C，测得角C为，AC距离350米，BC距离450米，其次，在图上将此关系清晰表示出来（如图）。接下来的工作就完全是数学问题了，已知条件是，根据余弦定理可以计算线段AB的长度，即隧道的长度。课程讲述过程中，我们做了数据上的处理，将其设置成便于计算的数据，主要目的是给学生一个清晰的思维过程，帮助其掌握这种建立模型的方法。
另一例为：隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示。问题（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
这是一个二次函数应用的建模问题。首先，根据条件画出隧道的简单图形，（如上图）理论上卡车的通过问题转化为横坐标为时卡车的高度是否触碰到抛物线的问题；同样的道理，如果是双车道，就是横坐标为时卡车的高度是否触碰到抛物线的问题。
建立这些数学模型后，所有的教学过程显得既有趣味，又有效地解决了实际问题，使得专业中的相关问题可以精确地量化，充分发挥数学的工具作用。在我们实际的教学中，善于思考总结是很必要的，作为数学老师的引导不但是解题时的清晰思路，更重要的是给学生一个他们愿意思考并且可以思考的问题。提出问题往往比解决问题更具有难度，也最能体现学习的主动性。笔者在中职的数学教学中反复强调将专业学习的实际问题联系数学建模就是基于这个思想：让学生自己去找到问题—提出问题—解决问题—总结经验。
最后以一个趣味思考作为案例的结束，再次体会数学模型的强大作用。
皮克在其曾祖遗物中发现一张羊皮上面记载着：“乘船至北纬度、西经度有一荒岛，长一株松P，从松树面北向左前方行若干步，有一红石A，然后左拐，行同样步数，打桩A；再从松树面北向右前方行若干步，有一白石B，然后右拐行同样步数，打桩B，在两桩中点处埋藏着宝物。因为记载明确，皮克便乘船前行，在岛找到了红石（A）及白石（B），但由于年代久远，树已无处可寻，只能徒牢而返。你能帮皮克找到宝物吗？ 这个问题可以引导学生对直角坐标系以及方位角的相关内容的思考，在这部分内容开始作为思考引入是个很好的例子。可以激发学生的好奇心，鼓励其主动去思考对应的数学模型和数学知识，达到学习的真正目的。
三、基于基础课教学的思考
数学建模犹如一条连接数学应用问题与发展学生数学应用意识的纽带，一是向“源"的方向展开，即明确知识产生、发展的背景；二是向“流”的方向深入，即展示知识的功能及在生活中的应用。如果学生能够将数学实际问题自觉模型化，这就说明学生的数学应用意识很强了。那么解应用题建模的关键，不外乎是扎实的基础知识和正确的思维。
步骤一：捕捉关键词，建立数学模型。应用题一般文字叙述较长，生产、生活常识背景多，专业名词术语多，变量符号多，互相关联的制约因素多，正因为如此，应用问题向数学问题转化的过程中，必须认真阅读，对关键词仔细分析，深入挖掘，摒弃其表面的敘述，抽象其数学的本质，形成数学模型。
步骤二：引进数学符号，建立数学模型。面对一道具体应用问题，在将文字叙述的语言翻译成数学语言之际，相应的量可以用字母来表示，量与量之间的关系可以用符号来表示，这是将实际问题转化为数学模型的基本策略，数学符号在建立数学模型中均起着举足轻重的作用。
步骤三：运用基本公式，建立数学模型。数学教材中，每一章节都有一些基本的公式，如基本图形的面积、体积、长度公式等；也有一些基本的相等关系，如距离=速度×时间，利润=收入一成本、溶质=溶液×浓度等，在解决相关应用题时，这些基本公式在建立数学模型时均起到极其重要的作用。
步骤四：分离与重组，建立数学模型。如果从系统论的观点出发，每一个应用题都是由若干个要素组成的系统。对于系统比较复杂的应用题，可以分解成若干个子系统来加以解决。对于有些应用题来说，从系统中分离出“特殊的信息”或“关键性的信息”，并给予优先考虑重点突破，对于建立数学模型意义深远而重大，这就是人们常说的分离与重组策略。
步骤五：深思巧化，建立数学模型某些应用题给人的第一感觉是无从下手，对于这类的难以解决的问题，可以在深思后进行转化，即化繁为简，化新为旧，化动为静，把一个相对变化的问题转化为一个相对静止的问题，把一个实际问题转化为一个数学问题，不仅是思维能力的提升，而且在解应用题上有广泛的使用和推广价值。
此文中笔者重点是引导学生建立数学模型，没有反复纠结于解题过程，我们认为：数学建模就是要使学生自己将数学世界转化为现实熟悉世界再转化为逻辑与抽象世界，对于现实的这种再构与转化是学生内驱力激发的最有效途径。当然，学生的认知是有坡度的，教师在实施数学建模策略时一定要意识这种坡度的存在，数学建模问题在设计中要与坡度适合，不影响学生的认知再组。
参考文献
[1]韩中庚：数学建模方法及其应用（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2009.
[2]张顺燕：数学的思想方法和应用[M]，北京：北京大学出版社，2003.
[3]刘晓玫：社会发展对数学的需求与数学教育改革[J]，数学教育学报，2000（03）：45-47.
[4]端方林：应用题中的数学建模举隅[J].中学数学教与学，2004（08）：20-21.
[5]何小亚：数学应用题教学的实践与思考[J]，数学通报，2000（04）：15-16.
[6]何小亚：新课程数学探究案例[J]，数学通讯，2005（07）：11.
作者简介：
魏晓红（1968-），女，汉族，学士，惠州市广播电视大学讲师，研究方向为中职数学教学。
曾智敏（1983-），男，汉族，学士，惠州市广播电视大学讲师，研究方向为建筑施工等专业的教学。
【关键词】建筑施工；数学建模；数学教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0178-02
一、建模在教学中的重要作用
在施工专业数学的教学中，笔者发现其专业学习中和几何图形相关的问题，多可以总结归纳为简单的数学建模问题来解决。优点在于充分发挥数学的量化作用，将实际问题在理论层次上解决的同时，增加学生学习数学的趣味性。为此，我们在这类问题的整个教学过程中，很好地融入了数学建模的简单知识，将此类刻板枯燥甚至外行觉得高深的知识给学生一个可以认知的层次。
所谓数学建模，就是应用数学的特有的语言和方法对一个现实生活存在的实际问题所做的设计，它符合“具体——抽象——具体”的认知规律，包括五个教学的基本环节：首先，创设问题情况，激发求知欲；其次，抽象概括，建立准确的模型，导入所要学习的课题；再次，研究模型，形成数学知识；然后，解决实际应用问题；最后，归纳总结深化目标。
对于中职数学应用题教学来说，数学建模教学的主要目标是培养学生形成数学意識，切实提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。然而现实数学应用题教学的过程中，主要着眼于内部理论结构及其之间的逻辑关系，着重训练学生的逻辑思维能力，而忽略讨论和训练如何从实际问题中提炼出数学问题，导致学生并没有形成真正的应用意识。
二、渗透建模思想的实际应用问题
下面就联系中职学生的知识现状，结合多年的教学经验，给出几个应用的实例。例如在施工专业中，牵涉到公路、铁路等建筑施工现场经常会遇到一些异形体的构造物。计算异形体工程量时一般采用的方法为平均面积法和棱台体积公式，但这两种方法均很难保证计算结果的精度。
首先，平均面积法缺乏严格的数学依据，一般只应用在要求计算结果精度不高的情况，如路基土石方工程量计算中；其次，土木工程施工现场所遇到的异形体一般不能满足棱台的条件，棱台是在棱锥的基础上用平行于棱锥底面的平面切割棱锥而得到，即棱台各边的延长线必交于一点，而施工现场异形体的各边延长线往往交于一条线，所以采用棱台体积公式也同样存在弊端。
为了精确计算土木施工现场的异形体工程量，有人提出一种基于微积分的计算方法，实际上这就是一个抽取数学模型解决问题的实例。为了避开复杂的异形体但又使学生理解整个思维过程，我们在讲述时通过推导圆柱体积公式为例。
如下图取定空间坐标系O-xyz，设圆柱侧棱与Z轴重合，圆柱底面位于XOY平面，以A（z）代表过点z且垂直于Z轴的截面面积。A（z）就是一全等于两个底面的圆，取z为积分变量，它的变化区间为[0，h]，圆柱体中相应于[0，h]上任以一小区间[z，z+dz]的一薄片的体积，近似于底面积为A（z），高为dz的扁柱体的体积，即体积元素dv=A（z）dz。以A（z）为积分表达式，在闭区间[0，h]上做定积分，即得到圆柱体的体积。
整个公式的导出实际上就是一个建模的过程，将施工现场所遇到的异形体等同于数学中的不规则图形，再根据微分的思想将其剖为一个个薄片，并且此薄片的面积可计算，然后根据积分的原理将这些面积累加起来，便是一个完整的几何体。整个过程中虽然牵涉高等数学的微积分思想，但是逻辑思路是清晰的，很好地解决一些实际应用中不好操作的问题，给了学生形象生动又不失严谨客观。
实际操作上面的例子属于较复杂的建模，现给出一些简单的计算实例。第一例：修筑道路需挖掘隧道，在山的两侧是隧道口A和B，在平地上选择适合测量的点C，使得可以顺利计算出隧道AB的长度。
这就是一个实际应用建模问题，需要用三角函数解决。首先，将此问题转化为数学模型：在平地上选择点C，测得角C为，AC距离350米，BC距离450米，其次，在图上将此关系清晰表示出来（如图）。接下来的工作就完全是数学问题了，已知条件是，根据余弦定理可以计算线段AB的长度，即隧道的长度。课程讲述过程中，我们做了数据上的处理，将其设置成便于计算的数据，主要目的是给学生一个清晰的思维过程，帮助其掌握这种建立模型的方法。
另一例为：隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示。问题（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
这是一个二次函数应用的建模问题。首先，根据条件画出隧道的简单图形，（如上图）理论上卡车的通过问题转化为横坐标为时卡车的高度是否触碰到抛物线的问题；同样的道理，如果是双车道，就是横坐标为时卡车的高度是否触碰到抛物线的问题。
建立这些数学模型后，所有的教学过程显得既有趣味，又有效地解决了实际问题，使得专业中的相关问题可以精确地量化，充分发挥数学的工具作用。在我们实际的教学中，善于思考总结是很必要的，作为数学老师的引导不但是解题时的清晰思路，更重要的是给学生一个他们愿意思考并且可以思考的问题。提出问题往往比解决问题更具有难度，也最能体现学习的主动性。笔者在中职的数学教学中反复强调将专业学习的实际问题联系数学建模就是基于这个思想：让学生自己去找到问题—提出问题—解决问题—总结经验。
最后以一个趣味思考作为案例的结束，再次体会数学模型的强大作用。
皮克在其曾祖遗物中发现一张羊皮上面记载着：“乘船至北纬度、西经度有一荒岛，长一株松P，从松树面北向左前方行若干步，有一红石A，然后左拐，行同样步数，打桩A；再从松树面北向右前方行若干步，有一白石B，然后右拐行同样步数，打桩B，在两桩中点处埋藏着宝物。因为记载明确，皮克便乘船前行，在岛找到了红石（A）及白石（B），但由于年代久远，树已无处可寻，只能徒牢而返。你能帮皮克找到宝物吗？ 这个问题可以引导学生对直角坐标系以及方位角的相关内容的思考，在这部分内容开始作为思考引入是个很好的例子。可以激发学生的好奇心，鼓励其主动去思考对应的数学模型和数学知识，达到学习的真正目的。
三、基于基础课教学的思考
数学建模犹如一条连接数学应用问题与发展学生数学应用意识的纽带，一是向“源"的方向展开，即明确知识产生、发展的背景；二是向“流”的方向深入，即展示知识的功能及在生活中的应用。如果学生能够将数学实际问题自觉模型化，这就说明学生的数学应用意识很强了。那么解应用题建模的关键，不外乎是扎实的基础知识和正确的思维。
步骤一：捕捉关键词，建立数学模型。应用题一般文字叙述较长，生产、生活常识背景多，专业名词术语多，变量符号多，互相关联的制约因素多，正因为如此，应用问题向数学问题转化的过程中，必须认真阅读，对关键词仔细分析，深入挖掘，摒弃其表面的敘述，抽象其数学的本质，形成数学模型。
步骤二：引进数学符号，建立数学模型。面对一道具体应用问题，在将文字叙述的语言翻译成数学语言之际，相应的量可以用字母来表示，量与量之间的关系可以用符号来表示，这是将实际问题转化为数学模型的基本策略，数学符号在建立数学模型中均起着举足轻重的作用。
步骤三：运用基本公式，建立数学模型。数学教材中，每一章节都有一些基本的公式，如基本图形的面积、体积、长度公式等；也有一些基本的相等关系，如距离=速度×时间，利润=收入一成本、溶质=溶液×浓度等，在解决相关应用题时，这些基本公式在建立数学模型时均起到极其重要的作用。
步骤四：分离与重组，建立数学模型。如果从系统论的观点出发，每一个应用题都是由若干个要素组成的系统。对于系统比较复杂的应用题，可以分解成若干个子系统来加以解决。对于有些应用题来说，从系统中分离出“特殊的信息”或“关键性的信息”，并给予优先考虑重点突破，对于建立数学模型意义深远而重大，这就是人们常说的分离与重组策略。
步骤五：深思巧化，建立数学模型某些应用题给人的第一感觉是无从下手，对于这类的难以解决的问题，可以在深思后进行转化，即化繁为简，化新为旧，化动为静，把一个相对变化的问题转化为一个相对静止的问题，把一个实际问题转化为一个数学问题，不仅是思维能力的提升，而且在解应用题上有广泛的使用和推广价值。
此文中笔者重点是引导学生建立数学模型，没有反复纠结于解题过程，我们认为：数学建模就是要使学生自己将数学世界转化为现实熟悉世界再转化为逻辑与抽象世界，对于现实的这种再构与转化是学生内驱力激发的最有效途径。当然，学生的认知是有坡度的，教师在实施数学建模策略时一定要意识这种坡度的存在，数学建模问题在设计中要与坡度适合，不影响学生的认知再组。
参考文献
[1]韩中庚：数学建模方法及其应用（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2009.
[2]张顺燕：数学的思想方法和应用[M]，北京：北京大学出版社，2003.
[3]刘晓玫：社会发展对数学的需求与数学教育改革[J]，数学教育学报，2000（03）：45-47.
[4]端方林：应用题中的数学建模举隅[J].中学数学教与学，2004（08）：20-21.
[5]何小亚：数学应用题教学的实践与思考[J]，数学通报，2000（04）：15-16.
[6]何小亚：新课程数学探究案例[J]，数学通讯，2005（07）：11.
作者简介：
魏晓红（1968-），女，汉族，学士，惠州市广播电视大学讲师，研究方向为中职数学教学。
曾智敏（1983-），男，汉族，学士，惠州市广播电视大学讲师，研究方向为建筑施工等专业的教学。