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函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.
1.函数单调性的概念
1.1、 函数单调性的定义
定义 如果函数 对于区间I内的任意两点 ，当 时有 ，则称此函数在I上单调增加，I称为单调增区间；当 时有 ，则称此函数在I上单调减少，I称为单调减区间.
1.2.1、函数单调性的判定的预备知识
以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.
定理1.2.1（罗尔中值定理） 设函数 满足以下三个条件：
（1）在闭区间 内连续；
（2）在开区间 内可导；
（3）
则至少存在一点 ，使得 .
定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数 满足以下两个条件：
在闭区间 内连续；
（1） 在开区间 内可导
则至少存在一点 ，使得 .
定理1.2.3（根的存在定理）设函数 在闭区间 内连续且 ，
则至少存在一点 ，使得 .
即方程 至少存在一个根 .
1.2.2、 函数单调性的判定
有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。因此需要借助以下定理：
定理1.2.4 设函数 在区间 内可导，若导函数 ，则函数 在区间 内单调递增；若导函数 ，则函数 在区间 内单调递减.
2.函数单调性的应用
2.1、证明不等式
用函数单调性可以证明不等式.
例2.1.1 证：当 时， .
证 构造辅助函数 ，有 ，
当 时有
即 在 内单调增加，从而当 时有
故 也即 .
即证.
例2.1.2 证：当 时， .
证 构造辅助函数
当 时，
即 在 内单调减少.从而当 时，有 .由 的定义知 ，有 ，由对数的性质可得 .
故原证题得证.
这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当 时，有幂的大小关系 .
2.2、求函数的最值
用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.
例2.2.1 求 在闭区间 内的最大值和最小值.
解 当 时，有
即 在闭区间 内单调增加。因而函数 在闭区间 内的最大值为 ，最小值为 .
例2.2.2 求 的最大值和最小值.
解 函数 的定义域为实数域 ，现考虑该函数在实数域 上的最大值和最小值。
因为 ，令 得 。今把实数域 分成 、 和 三个区间考虑.
（1） 当 时， ，此时函数 单调增加.因而
当 时有 ；
（2） 当 时， ，此时函数 单调减少.因而
当 时有 ；
（3）当 时， ，此时函数 单调增加。因而
当 时有 .
即综合（1）（2）（3）可知：对于 ，都有 .
故函数 有最大值 和最小值 .
2.3、判定方程是否有唯一解
利用函数单调性及根的存在定理可以判定方程是否有唯一解.
有的方程目前无法求出具体解，但应用根的存在定理我们可以断定在某个区间内是否存在解。如果又知道函数 单调，即可得出方程 =0在某个区间内有唯一解.
例2.3.1 证：方程 在实数域 上有唯一解.
证 设函数
（1）存在性（根的存在定理）
显然函数 在闭区间 内连续，又
则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 .
即方程 =0至少存在一个解 .
（2） 唯一性（单调性）
因为函数 在闭区间 内连续且 ，即 。下证方程 的解只有 .
假设方程 还有一个解 ，即
由 知函数 在实数域 上单调增加，不妨设 ，则得 与 矛盾.
即方程 只有一个根 .
综合（1）（2）即证.
例2.3.2 设函数 且在 上连续，令
求证：方程 在 内有且只有一实根.
证 （1）存在性
显然函数 在闭区间 内连续，
且有
则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 .即方程 有一个根 ，存在性得证；
（3） 唯一性
因为当 时有 即函数 在 内单调增加.
设方程 有异于 的根 ，即 ，且 .
不妨假设 ，由函数 的单调性可知 ，即 与 不合.
从而得方程 只有一个根 ，唯一性得证.
以下本文将不再证明函数的单调性，而直接说明函数单调性的应用.
2.4、 解方程
利用函数的单调性可以解一些特殊的方程.
例2.4.1 解方程
解 因为 单调增加，且有 。由指数函数的单调性容易知道 ，即 ，当且仅当 等号成立.即原方程等价为 且 ，解得
.故原方程的解为 .
例2.4.2 解方程
解 令 ， 。显然 单调增加， 单调减少，即曲线 和曲线 只有一个交点.因通过观察法可知 ，即原方程的解为 .
2.5、 解不等式
利用函数的单调性可以解一些不等式.
例2.5 解不等式
解 原不等式两边的结构都是 的形式，令 ，显然 在实数域 上单调增加.由于原不等式可化为 ，由 的单调性可知： ，解得 .即此不等式的解为 .
2.6、 求取值范围
利用函数的单调性可以求参数的取值范围.
例2.6 关于 的方程 有实数解，求参数 的取值范围.
解 由方程可得 ，因为 ，所以 .不难知当 时， 单调增加，因而 ；当 时， 单调减少，因而 .综上可知参数 的取值范围为 .
2.7、 求函数值
利用函数的单调性可以求某些函数的函数值.
例2.7 已知： ，且满足 ，
求 .
解 方程可改写为 ，即 都是关于 的方程 的解.
令 ，显然 在 上单调增加，可知方程 =0在 上有唯一解.由于 知 ，则 即 .
从而有 .
3.小结
函数的单调性是很重要的性质，从图形上看它是上升或下降的.如果函数具有了这个性质，在实际中无疑具有重要的意义.比如它还可以用来证明条件不等式、它还可以用在生活中的淋雨模型、人口控制，还可以用它扩充到算子、泛函等.
参考文献
[1]梁弘，翟步祥.高等数学基础[M].北京交通大学出版社，2009，6.
[2]李晶，方丽萍.数学分析教程[M].高等教育出版社，2007，12.
[3]李德才，骆汝九，张文军.分层数学同步练习册[M].北京交通大学出版社，2006，6.
1.函数单调性的概念
1.1、 函数单调性的定义
定义 如果函数 对于区间I内的任意两点 ，当 时有 ，则称此函数在I上单调增加，I称为单调增区间；当 时有 ，则称此函数在I上单调减少，I称为单调减区间.
1.2.1、函数单调性的判定的预备知识
以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.
定理1.2.1（罗尔中值定理） 设函数 满足以下三个条件：
（1）在闭区间 内连续；
（2）在开区间 内可导；
（3）
则至少存在一点 ，使得 .
定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数 满足以下两个条件：
在闭区间 内连续；
（1） 在开区间 内可导
则至少存在一点 ，使得 .
定理1.2.3（根的存在定理）设函数 在闭区间 内连续且 ，
则至少存在一点 ，使得 .
即方程 至少存在一个根 .
1.2.2、 函数单调性的判定
有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。因此需要借助以下定理：
定理1.2.4 设函数 在区间 内可导，若导函数 ，则函数 在区间 内单调递增；若导函数 ，则函数 在区间 内单调递减.
2.函数单调性的应用
2.1、证明不等式
用函数单调性可以证明不等式.
例2.1.1 证：当 时， .
证 构造辅助函数 ，有 ，
当 时有
即 在 内单调增加，从而当 时有
故 也即 .
即证.
例2.1.2 证：当 时， .
证 构造辅助函数
当 时，
即 在 内单调减少.从而当 时，有 .由 的定义知 ，有 ，由对数的性质可得 .
故原证题得证.
这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当 时，有幂的大小关系 .
2.2、求函数的最值
用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.
例2.2.1 求 在闭区间 内的最大值和最小值.
解 当 时，有
即 在闭区间 内单调增加。因而函数 在闭区间 内的最大值为 ，最小值为 .
例2.2.2 求 的最大值和最小值.
解 函数 的定义域为实数域 ，现考虑该函数在实数域 上的最大值和最小值。
因为 ，令 得 。今把实数域 分成 、 和 三个区间考虑.
（1） 当 时， ，此时函数 单调增加.因而
当 时有 ；
（2） 当 时， ，此时函数 单调减少.因而
当 时有 ；
（3）当 时， ，此时函数 单调增加。因而
当 时有 .
即综合（1）（2）（3）可知：对于 ，都有 .
故函数 有最大值 和最小值 .
2.3、判定方程是否有唯一解
利用函数单调性及根的存在定理可以判定方程是否有唯一解.
有的方程目前无法求出具体解，但应用根的存在定理我们可以断定在某个区间内是否存在解。如果又知道函数 单调，即可得出方程 =0在某个区间内有唯一解.
例2.3.1 证：方程 在实数域 上有唯一解.
证 设函数
（1）存在性（根的存在定理）
显然函数 在闭区间 内连续，又
则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 .
即方程 =0至少存在一个解 .
（2） 唯一性（单调性）
因为函数 在闭区间 内连续且 ，即 。下证方程 的解只有 .
假设方程 还有一个解 ，即
由 知函数 在实数域 上单调增加，不妨设 ，则得 与 矛盾.
即方程 只有一个根 .
综合（1）（2）即证.
例2.3.2 设函数 且在 上连续，令
求证：方程 在 内有且只有一实根.
证 （1）存在性
显然函数 在闭区间 内连续，
且有
则由根的存在定理可知至少存在一点 ，使得 .即方程 有一个根 ，存在性得证；
（3） 唯一性
因为当 时有 即函数 在 内单调增加.
设方程 有异于 的根 ，即 ，且 .
不妨假设 ，由函数 的单调性可知 ，即 与 不合.
从而得方程 只有一个根 ，唯一性得证.
以下本文将不再证明函数的单调性，而直接说明函数单调性的应用.
2.4、 解方程
利用函数的单调性可以解一些特殊的方程.
例2.4.1 解方程
解 因为 单调增加，且有 。由指数函数的单调性容易知道 ，即 ，当且仅当 等号成立.即原方程等价为 且 ，解得
.故原方程的解为 .
例2.4.2 解方程
解 令 ， 。显然 单调增加， 单调减少，即曲线 和曲线 只有一个交点.因通过观察法可知 ，即原方程的解为 .
2.5、 解不等式
利用函数的单调性可以解一些不等式.
例2.5 解不等式
解 原不等式两边的结构都是 的形式，令 ，显然 在实数域 上单调增加.由于原不等式可化为 ，由 的单调性可知： ，解得 .即此不等式的解为 .
2.6、 求取值范围
利用函数的单调性可以求参数的取值范围.
例2.6 关于 的方程 有实数解，求参数 的取值范围.
解 由方程可得 ，因为 ，所以 .不难知当 时， 单调增加，因而 ；当 时， 单调减少，因而 .综上可知参数 的取值范围为 .
2.7、 求函数值
利用函数的单调性可以求某些函数的函数值.
例2.7 已知： ，且满足 ，
求 .
解 方程可改写为 ，即 都是关于 的方程 的解.
令 ，显然 在 上单调增加，可知方程 =0在 上有唯一解.由于 知 ，则 即 .
从而有 .
3.小结
函数的单调性是很重要的性质，从图形上看它是上升或下降的.如果函数具有了这个性质，在实际中无疑具有重要的意义.比如它还可以用来证明条件不等式、它还可以用在生活中的淋雨模型、人口控制，还可以用它扩充到算子、泛函等.
参考文献
[1]梁弘，翟步祥.高等数学基础[M].北京交通大学出版社，2009，6.
[2]李晶，方丽萍.数学分析教程[M].高等教育出版社，2007，12.
[3]李德才，骆汝九，张文军.分层数学同步练习册[M].北京交通大学出版社，2006，6.