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[摘 要]】数学是“思维的体操”，无论课程改革倡导怎样的教学方式和学习方式，数学教师都要关注学生的学习过程，为促进学生的思维发展而教。“鸡兔同笼”作为新增的一个教学内容，教师可以它为载体，引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、分析、抽象、概括的过程中积累数学活动经验，促进学生思维的发展。
[关键词]小学数学；学生思维；鸡兔同笼
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0024-02
“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。以前，鸡兔同笼问题只是作为小学奥数的常见题型。新课改后，不少版本的教材都新增了一个教学内容——“鸡兔同笼”。人教版教材在六年级上册《数学广角》中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、几种典型解法及实际应用，突出“解决问题策略的多样化”。在北师大版教材中，“鸡兔同笼”是作为研究问题的载体，意在让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，体会解决问题的一般策略——列表。教材不仅呈现了“鸡兔同笼”的情境和出处，还给出了三个表格，第一张表格是逐一列表法，第二张表格是跳跃列表法，第三张表格是取中列表法。下面就说说如何借助“鸡兔同笼”这一载体，促进学生思维的发展。
通过课前调查发现，有少数学生在课外就已经接触过“鸡兔同笼”问题，能用假设法解决问题，但大部分学生都没接触过。这样一来，如果让全体学生都用列表法解题，已经学过的学生就会说：“我会用假设法解决问题，多快！何必用列表法。”是呀，为什么一定要用列表法呢？虽然这节课的一个教学目标是让学生学会用“尝试与猜测”解决问题，但是强迫学生用列表法解题，学生只会是为了列表而列表，会失去解题的动力。从大部分学生的学习起点考虑，教学目标“结合解决‘鸡兔同笼’的问题，借助列表法体验尝试与猜测的解题策略”没有错，但面对学习起点不一样的学生，如何预设课堂，才能让每个学生都能主动参与学习，思考问题呢？
分析假设法和列表法，我们不难发现，列表法是先假设鸡或兔的腿数，再一个一个地进行尝试和推算；假设法是先假设全是一种动物，再根据腿数的差距，求出只数。细细想来，假设法也是“先假设——调整——结论”，和列表法是在“做”一样的事，从思维层次上讲：假设法是列表法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升，而列表法在本质上就是假设法，列表过程的每一步都是假设。
于是，我先让会用假设法解决问题的学生思考问题：“能不能把用假设法解题的过程记录在表格里呢？”学生对这个新任务很感兴趣，在表格里尝试记录假设法解题的思考过程，不敢懈怠（如表1）。接着，让学生介绍自己的方法，解释为什么这么快就能找到正确答案。“80-54=26（条），多了26条腿说明兔子多了13只，也就是鸡要增加13只”。学生在介绍方法的过程中就能感悟到：假设法和列表法这两种方法是有联系的，在列表法中也能找到假设法的影子。
这样的处理方式，既可以调动学生学习的积极性，使他们能够主动地参与课堂学习，也点破了列表法和假设法之间的关系，可谓一举两得。
著名的数学教育家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”因此，教师要有效引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、辨析、判断、分析、抽象、概括等具体的数学活动中积累基本的数学活动经验，提升数学思考的能力。
在引导学生借助表格进行猜测与尝试解决“鸡兔同笼”问题时，除了给出教材上介绍的三种方法“逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法”，还可介绍三步列表法（如表2）：先假设鸡有1只，再假设鸡有2只，从中发现规律“每增加一只鸡，减少一只兔，腿数会着减少2条。而76比54多了22条腿，所以要增加11只鸡”。
分析这几种列表方式，发现它们的思维含金量是不一样的。逐一列表法是学生一个一个去尝试，学生有没有根据前一次猜测的腿数对鸡和兔的只数进行调整呢？我采访过几位学生，发现他们不是在调整，只是在一个一个地尝试，进行地毯式的搜索，寻找答案；对于跳跃列表法，学生会根据腿数的多少进行调整，相差大，调整的幅度就大些，相差小，调整的幅度就小些，其思维含金量不言而喻——比逐一列表法要高；而取中列表法是学生对题中数据进行分析，再对答案进行估计：可能鸡兔的只数相差不大，所以从中间开始猜测，再进行调整；最后一种是三步列表法，它要求学生利用“每增加一只鸡，减少一只兔，腿数会着减少2只”这个规律，一步调整到位。
在分析学生可能出现的几种思考方法后，我就可以做到有的放矢，由浅入深地组织学生学习。在组织交流逐一列表法时，我引导学生思考：“你是怎么猜测的？”重点观察鸡的只数、兔的只数及相应的腿数的变化规律。在组织交流跳跃列表法时，让学生通过思考“腿数是多了还是少了”“说明了什么”“怎么调整”“为什么调整幅度这么大” “调整幅度怎么变小了”这几个问题，进一步学习“调整”的策略。在组织交流“取中列表法”的过程中，学生就能感悟到：各种方法不是孤立的，要综合运用，才能更快地解决问题。
一节课只有40分钟，对于学生的一些错误，教师可以“放大”处理：抛出错误，让学生在讨论和争辩中矫正思维，加深理解。在用列表法解决“鸡兔同笼”问题时，如何根据已有猜测进行调整是教学难点，为了帮助学生把这个内容“踩实”，教师就要及时捕捉学生的错误，把其作为教学资源，引导学生在辨析错误的过程中鞏固正确认知。 有位学生给出了如表3所示的方法：在进行第二次猜测“鸡有5只，兔有15只”时，他算出腿有70条，这70条说明腿多了。因此，在进行下一轮猜测时，就应该减少兔的只数，增加鸡的只数，但这位学生还要增加兔的只数，显然，他的调整是不恰当的。
我对这位学生的错误进行了放大处理。“70说明了什么？接着你又假设鸡有4只，兔有16只，为什么这么调整？你是怎么想的？”这样的问题，能让学生深刻认识到：腿多了，说明兔多了，应该要增加鸡的只数，减少兔的只数。
做教师要细心，做数学教师更要细心，要关注到学生解题背后的思考过程“这样的思考过程对不对，这样的思考过程是否简洁”，只有深入分析学生的思考过程，才能纠正学生的错误，才能发展学生的思维。
一节好的数学课应该让学生懂得一个知识点，获得一种思想，积累一类问题的学习经验，形成简单的数学模型，同时要让学生在应用数学模型过程中，思维品质得到发展，思维能力得到拓展。在学生掌握了列表法之后，教师应从问题出发，提炼出“鸡兔同笼”问题的基本模型，再带领学生将这一简单的数学模型应用到各种问题情境中，完成数学模型的建构与应用。
师：“鸡兔同笼”问题是一个经典的数学问题。在日本也有此类问题的研究，日本人称它为“龟鹤问题”。
师（出示龟鹤问题的图片）：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生1：有联系，龟相当于兔，都是四条腿，鹤相当于鸡，都是两条腿。
师：像四条腿和两条腿的，假如不叫它“鸡兔同笼”，也不叫“龟鹤问题”，是否还可以取个其他名字？
生2：人狗问题。
生3：鸭猫问题。
……
师：看来，“鸡兔同笼”可以换成乌龟和仙鹤，人和狗等问题，但归根结底，它们也是“鸡兔同笼”问题。其实“鸡兔同笼”问题只是这一类问题的模型。在生活中也有许多类似于“鸡兔同笼”的问题。
（1）三轮车和自行车共11辆，总共有25个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？
（2）乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？
师：这些问题和“鸡兔同笼”问题有关联吗？
生4：第（1）题里的自行车相当于2条腿的鸡，三轮车相当3条腿的兔。
生5：第（2）题里的1角相当于鸡，而5角就相当于兔，27枚相当于头数，5.1元相当于腿数。
师：看来，在生活中有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题。
在这样一个建构与应用中，学生明白了“鸡兔同笼”问题只是一个简单的“数学模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质是没有变，学生在解决这些问题的过程中逐渐形成“鸡兔同笼”问题的解题思路和策略。
通过教学“鸡兔同笼”这个内容，我深刻地认识到：教师要为学生的思维发展而教！数学教学是数学思维活动的教学，作为一名数学教师，要把握课堂的每一个细节，寻找行为背后的原因，思考结果背后的过程，为提升学生的思维能力而努力。当然，提高学生的思维能力是一个长期的过程，“冰冻三尺，非一日之寒”，如果能带着“发展学生思维”的理念展开教学，相信我们的数学课堂一定会实现更大的效能！
（责编 金 鈴）
[关键词]小学数学；学生思维；鸡兔同笼
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）08-0024-02
“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。以前，鸡兔同笼问题只是作为小学奥数的常见题型。新课改后，不少版本的教材都新增了一个教学内容——“鸡兔同笼”。人教版教材在六年级上册《数学广角》中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、几种典型解法及实际应用，突出“解决问题策略的多样化”。在北师大版教材中，“鸡兔同笼”是作为研究问题的载体，意在让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，体会解决问题的一般策略——列表。教材不仅呈现了“鸡兔同笼”的情境和出处，还给出了三个表格，第一张表格是逐一列表法，第二张表格是跳跃列表法，第三张表格是取中列表法。下面就说说如何借助“鸡兔同笼”这一载体，促进学生思维的发展。
一、任务导向，启迪思维
通过课前调查发现，有少数学生在课外就已经接触过“鸡兔同笼”问题，能用假设法解决问题，但大部分学生都没接触过。这样一来，如果让全体学生都用列表法解题，已经学过的学生就会说：“我会用假设法解决问题，多快！何必用列表法。”是呀，为什么一定要用列表法呢？虽然这节课的一个教学目标是让学生学会用“尝试与猜测”解决问题，但是强迫学生用列表法解题，学生只会是为了列表而列表，会失去解题的动力。从大部分学生的学习起点考虑，教学目标“结合解决‘鸡兔同笼’的问题，借助列表法体验尝试与猜测的解题策略”没有错，但面对学习起点不一样的学生，如何预设课堂，才能让每个学生都能主动参与学习，思考问题呢？
分析假设法和列表法，我们不难发现，列表法是先假设鸡或兔的腿数，再一个一个地进行尝试和推算；假设法是先假设全是一种动物，再根据腿数的差距，求出只数。细细想来，假设法也是“先假设——调整——结论”，和列表法是在“做”一样的事，从思维层次上讲：假设法是列表法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升，而列表法在本质上就是假设法，列表过程的每一步都是假设。
于是，我先让会用假设法解决问题的学生思考问题：“能不能把用假设法解题的过程记录在表格里呢？”学生对这个新任务很感兴趣，在表格里尝试记录假设法解题的思考过程，不敢懈怠（如表1）。接着，让学生介绍自己的方法，解释为什么这么快就能找到正确答案。“80-54=26（条），多了26条腿说明兔子多了13只，也就是鸡要增加13只”。学生在介绍方法的过程中就能感悟到：假设法和列表法这两种方法是有联系的，在列表法中也能找到假设法的影子。
这样的处理方式，既可以调动学生学习的积极性，使他们能够主动地参与课堂学习，也点破了列表法和假设法之间的关系，可谓一举两得。
二、聚焦策略，提升思维
著名的数学教育家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”因此，教师要有效引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、辨析、判断、分析、抽象、概括等具体的数学活动中积累基本的数学活动经验，提升数学思考的能力。
在引导学生借助表格进行猜测与尝试解决“鸡兔同笼”问题时，除了给出教材上介绍的三种方法“逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法”，还可介绍三步列表法（如表2）：先假设鸡有1只，再假设鸡有2只，从中发现规律“每增加一只鸡，减少一只兔，腿数会着减少2条。而76比54多了22条腿，所以要增加11只鸡”。
分析这几种列表方式，发现它们的思维含金量是不一样的。逐一列表法是学生一个一个去尝试，学生有没有根据前一次猜测的腿数对鸡和兔的只数进行调整呢？我采访过几位学生，发现他们不是在调整，只是在一个一个地尝试，进行地毯式的搜索，寻找答案；对于跳跃列表法，学生会根据腿数的多少进行调整，相差大，调整的幅度就大些，相差小，调整的幅度就小些，其思维含金量不言而喻——比逐一列表法要高；而取中列表法是学生对题中数据进行分析，再对答案进行估计：可能鸡兔的只数相差不大，所以从中间开始猜测，再进行调整；最后一种是三步列表法，它要求学生利用“每增加一只鸡，减少一只兔，腿数会着减少2只”这个规律，一步调整到位。
在分析学生可能出现的几种思考方法后，我就可以做到有的放矢，由浅入深地组织学生学习。在组织交流逐一列表法时，我引导学生思考：“你是怎么猜测的？”重点观察鸡的只数、兔的只数及相应的腿数的变化规律。在组织交流跳跃列表法时，让学生通过思考“腿数是多了还是少了”“说明了什么”“怎么调整”“为什么调整幅度这么大” “调整幅度怎么变小了”这几个问题，进一步学习“调整”的策略。在组织交流“取中列表法”的过程中，学生就能感悟到：各种方法不是孤立的，要综合运用，才能更快地解决问题。
三、辨析错误，矫正思维
一节课只有40分钟，对于学生的一些错误，教师可以“放大”处理：抛出错误，让学生在讨论和争辩中矫正思维，加深理解。在用列表法解决“鸡兔同笼”问题时，如何根据已有猜测进行调整是教学难点，为了帮助学生把这个内容“踩实”，教师就要及时捕捉学生的错误，把其作为教学资源，引导学生在辨析错误的过程中鞏固正确认知。 有位学生给出了如表3所示的方法：在进行第二次猜测“鸡有5只，兔有15只”时，他算出腿有70条，这70条说明腿多了。因此，在进行下一轮猜测时，就应该减少兔的只数，增加鸡的只数，但这位学生还要增加兔的只数，显然，他的调整是不恰当的。
我对这位学生的错误进行了放大处理。“70说明了什么？接着你又假设鸡有4只，兔有16只，为什么这么调整？你是怎么想的？”这样的问题，能让学生深刻认识到：腿多了，说明兔多了，应该要增加鸡的只数，减少兔的只数。
做教师要细心，做数学教师更要细心，要关注到学生解题背后的思考过程“这样的思考过程对不对，这样的思考过程是否简洁”，只有深入分析学生的思考过程，才能纠正学生的错误，才能发展学生的思维。
四、建构模型，拓展思维
一节好的数学课应该让学生懂得一个知识点，获得一种思想，积累一类问题的学习经验，形成简单的数学模型，同时要让学生在应用数学模型过程中，思维品质得到发展，思维能力得到拓展。在学生掌握了列表法之后，教师应从问题出发，提炼出“鸡兔同笼”问题的基本模型，再带领学生将这一简单的数学模型应用到各种问题情境中，完成数学模型的建构与应用。
师：“鸡兔同笼”问题是一个经典的数学问题。在日本也有此类问题的研究，日本人称它为“龟鹤问题”。
师（出示龟鹤问题的图片）：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生1：有联系，龟相当于兔，都是四条腿，鹤相当于鸡，都是两条腿。
师：像四条腿和两条腿的，假如不叫它“鸡兔同笼”，也不叫“龟鹤问题”，是否还可以取个其他名字？
生2：人狗问题。
生3：鸭猫问题。
……
师：看来，“鸡兔同笼”可以换成乌龟和仙鹤，人和狗等问题，但归根结底，它们也是“鸡兔同笼”问题。其实“鸡兔同笼”问题只是这一类问题的模型。在生活中也有许多类似于“鸡兔同笼”的问题。
（1）三轮车和自行车共11辆，总共有25个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？
（2）乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？
师：这些问题和“鸡兔同笼”问题有关联吗？
生4：第（1）题里的自行车相当于2条腿的鸡，三轮车相当3条腿的兔。
生5：第（2）题里的1角相当于鸡，而5角就相当于兔，27枚相当于头数，5.1元相当于腿数。
师：看来，在生活中有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题。
在这样一个建构与应用中，学生明白了“鸡兔同笼”问题只是一个简单的“数学模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质是没有变，学生在解决这些问题的过程中逐渐形成“鸡兔同笼”问题的解题思路和策略。
通过教学“鸡兔同笼”这个内容，我深刻地认识到：教师要为学生的思维发展而教！数学教学是数学思维活动的教学，作为一名数学教师，要把握课堂的每一个细节，寻找行为背后的原因，思考结果背后的过程，为提升学生的思维能力而努力。当然，提高学生的思维能力是一个长期的过程，“冰冻三尺，非一日之寒”，如果能带着“发展学生思维”的理念展开教学，相信我们的数学课堂一定会实现更大的效能！
（责编 金 鈴）