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题型：如图1所示，在静止的水面上停有一只小船，船身长为L = 3 m，质量为M=120 kg.一个质量为m = 60 kg的人从船头走向船尾，若不计水的阻力，那么船和人对地的位移各是多少？
解析：当人从船头走到船尾的过程中，人通过脚与船发生了相互作用（也可以认为是人与船发生间歇性碰撞的过程）.选取船和人这个整体作为研究对象，由于水的阻力可以忽略不计，所以系统在水平方向上的动量守恒.
设人从船头走到船尾，船对地移动的距离为s，则人对地移动的距离为L-s.则根据动量守恒定律可得：
Mst
-mL-st
=0.
解得：s=mLM+m
；L-s=ML
M+m.
代入已知数据得：s=
60×3
120+60 m=1 m，L-s
=2 m.
评注：此题虽然很简单，但其所展示的物理模型却很重要.只要大家真正地理解和掌握了此题的解法，就可以达到举一反三、触类旁通的目的，收到事半功倍的效果.若能灵活地应用上述模型解析下面的几道题，你就会得心应手，畅快淋漓，显得比较简洁、快速.
例1 如图2所示，质量为m，长为b的小滑块，由静止开始从质量为M、长为L的平板车的左端向右端运动.当小滑块在平板车上的位移为a时，平板车相对于地的位移为多少？
解析：当小滑块在平板车上向右运动时，选小滑块和平板车这个系统作为研究对象，系统满足动量守恒.根据题意可知，小滑块相对于平板车的位移为a，则由题型的结论可得平板车对地的位移为：s=maM+m.
例2 如图3所示，m1为有半径R = 0.5 m的竖直半圆槽物体，另一物体m2与m1紧靠在一起共同置于光滑水平面上.一质量为m3= 0.5 kg的小球从光滑半圆槽的最高点无初速滑下，若m1 =m2=1 kg，取g=10 m/s2，求m3沿半圆槽下滑到最低点时的速度是多大？
解析：小球m3沿半圆槽下滑到最低点这一过程中，我们可以把半圆槽m1、m2看成一个整体，这样小球m3与m1、m2在水平方向受到的合外力为零，所以在水平方向上动量守恒.而该系统原来是静止的，因此可用“人船模型”求解.
当小球m3下滑到最低点时，m1和m2的速度相同，设为v1，此时m3的速度为v3.选水平向右为速度的正方向，m1、m2和m3为系统，其水平方向动量守恒，同时机械能也守恒，则有
（m1+m2）v1-m3v3=0
m3gR=12
m3v23
+12
（m1+m2）v21.
联立解之得
v3=
2m3（m1+m2）gR
m23+m3（m1+m2）=2.8 m/s.
例3 一质量为M的小船静止于湖水中，船身长为L，船的两端点有质量分别为m1和m2的人，且m1>m2.当两人交换位置后，船身的位移是多少？
解析：乍看本题比题型要复杂得多，物理模型也迥然不同，但实质上它们是大同小异，如出一辙.假想：把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量也为m2，则另一个人的质量为m = m1-m2.显而易见由题型可知，当两个质量为m2的人互换位置后船将原地不动.这样一来，原问题就转化为题型所示的物理模型：当质量为m = m1-m2的人从船的一端走到另一端，求船移动的距离.
设船对地移动的位移为s，则质量为m = m1-m2的人对地移动的位移就是L-s，则由动量守恒定律得：（M + 2m2）
st
-（m1-m2）
L-s
t=0.
解得：s=（m1-m2）LM+m1+m2.
例4 如图4所示，长为L、倾角为θ、质量为M的斜面，在其顶端有一质量为m的小物体由静止开始下滑，若不计一切摩擦，求物块下滑过程中斜面的位移大小（物块形状大小不计）.
解析：以物块和斜面为研究对象，以物块开始下滑为初态，以物块滑到斜面底端为末态，在此过程中，沿竖直方向所受合力不为零，但沿水平方向所受合力为零，即沿水平方向动量守恒，而且系统原来静止，故可用“人船模型”求解.
设末态物块和斜面对地面的水平速度分别为v、v′，以斜面的运动方向为正，如图5所示，则根据动量守恒定律有
0 = Mv′-mv，即
0=Mxt
-mlt，
也就是
0=Mxt
-m
Lcosθ-xt
则 x=mm+MLcosθ.
点评：求解此类问题的关键是要根据两物体间的运动关系，画出几何图形，再根据这些几何关系图确定出两物体在相互作用的过程中平均速率的表达式.
例5 质量为M的气球下系一质量可忽略的足够长的绳子，在绳子上距地面h高处有一质量为m的猴子.开始时气球和猴子均静止在空中.猴子从某时刻开始沿绳子匀加速下滑，要使它恰能滑到地面，那么开始下滑时，它下面的绳子应为多长？
解析：选气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子匀加速下滑着地前的整个过程中，系统在竖直方向上所受的合外力为零.因此在竖直方向上每时每刻动量守恒.这与题型中所示的物理模型完全相同.
设猴子从开始下滑到着地历时为t，其间气球又上升了h′.则猴子着地速度为
2ht（在初速度为零的匀变速直线运动中，即时速度为平均速度的2倍），与此同时气球的速度为
2h′t.则由动量守恒定律得：M
2h′t-m
2ht= 0，解得：h′ =
mMh.
因此所求的绳子长应为：L = h + h′ =
M+m
Mh.
上面类比“人船模型”解决的各题实际上是动量守恒定律的深层理解应用，系统在一个过程中动量守恒，则在此过程中平均动量守恒，这是不难理解的，上面几个实际问题就是用的这个结论.
解析：当人从船头走到船尾的过程中，人通过脚与船发生了相互作用（也可以认为是人与船发生间歇性碰撞的过程）.选取船和人这个整体作为研究对象，由于水的阻力可以忽略不计，所以系统在水平方向上的动量守恒.
设人从船头走到船尾，船对地移动的距离为s，则人对地移动的距离为L-s.则根据动量守恒定律可得：
Mst
-mL-st
=0.
解得：s=mLM+m
；L-s=ML
M+m.
代入已知数据得：s=
60×3
120+60 m=1 m，L-s
=2 m.
评注：此题虽然很简单，但其所展示的物理模型却很重要.只要大家真正地理解和掌握了此题的解法，就可以达到举一反三、触类旁通的目的，收到事半功倍的效果.若能灵活地应用上述模型解析下面的几道题，你就会得心应手，畅快淋漓，显得比较简洁、快速.
例1 如图2所示，质量为m，长为b的小滑块，由静止开始从质量为M、长为L的平板车的左端向右端运动.当小滑块在平板车上的位移为a时，平板车相对于地的位移为多少？
解析：当小滑块在平板车上向右运动时，选小滑块和平板车这个系统作为研究对象，系统满足动量守恒.根据题意可知，小滑块相对于平板车的位移为a，则由题型的结论可得平板车对地的位移为：s=maM+m.
例2 如图3所示，m1为有半径R = 0.5 m的竖直半圆槽物体，另一物体m2与m1紧靠在一起共同置于光滑水平面上.一质量为m3= 0.5 kg的小球从光滑半圆槽的最高点无初速滑下，若m1 =m2=1 kg，取g=10 m/s2，求m3沿半圆槽下滑到最低点时的速度是多大？
解析：小球m3沿半圆槽下滑到最低点这一过程中，我们可以把半圆槽m1、m2看成一个整体，这样小球m3与m1、m2在水平方向受到的合外力为零，所以在水平方向上动量守恒.而该系统原来是静止的，因此可用“人船模型”求解.
当小球m3下滑到最低点时，m1和m2的速度相同，设为v1，此时m3的速度为v3.选水平向右为速度的正方向，m1、m2和m3为系统，其水平方向动量守恒，同时机械能也守恒，则有
（m1+m2）v1-m3v3=0
m3gR=12
m3v23
+12
（m1+m2）v21.
联立解之得
v3=
2m3（m1+m2）gR
m23+m3（m1+m2）=2.8 m/s.
例3 一质量为M的小船静止于湖水中，船身长为L，船的两端点有质量分别为m1和m2的人，且m1>m2.当两人交换位置后，船身的位移是多少？
解析：乍看本题比题型要复杂得多，物理模型也迥然不同，但实质上它们是大同小异，如出一辙.假想：把质量大的人换成两个人，其中一个人的质量也为m2，则另一个人的质量为m = m1-m2.显而易见由题型可知，当两个质量为m2的人互换位置后船将原地不动.这样一来，原问题就转化为题型所示的物理模型：当质量为m = m1-m2的人从船的一端走到另一端，求船移动的距离.
设船对地移动的位移为s，则质量为m = m1-m2的人对地移动的位移就是L-s，则由动量守恒定律得：（M + 2m2）
st
-（m1-m2）
L-s
t=0.
解得：s=（m1-m2）LM+m1+m2.
例4 如图4所示，长为L、倾角为θ、质量为M的斜面，在其顶端有一质量为m的小物体由静止开始下滑，若不计一切摩擦，求物块下滑过程中斜面的位移大小（物块形状大小不计）.
解析：以物块和斜面为研究对象，以物块开始下滑为初态，以物块滑到斜面底端为末态，在此过程中，沿竖直方向所受合力不为零，但沿水平方向所受合力为零，即沿水平方向动量守恒，而且系统原来静止，故可用“人船模型”求解.
设末态物块和斜面对地面的水平速度分别为v、v′，以斜面的运动方向为正，如图5所示，则根据动量守恒定律有
0 = Mv′-mv，即
0=Mxt
-mlt，
也就是
0=Mxt
-m
Lcosθ-xt
则 x=mm+MLcosθ.
点评：求解此类问题的关键是要根据两物体间的运动关系，画出几何图形，再根据这些几何关系图确定出两物体在相互作用的过程中平均速率的表达式.
例5 质量为M的气球下系一质量可忽略的足够长的绳子，在绳子上距地面h高处有一质量为m的猴子.开始时气球和猴子均静止在空中.猴子从某时刻开始沿绳子匀加速下滑，要使它恰能滑到地面，那么开始下滑时，它下面的绳子应为多长？
解析：选气球和猴子为一个系统，在猴子沿绳子匀加速下滑着地前的整个过程中，系统在竖直方向上所受的合外力为零.因此在竖直方向上每时每刻动量守恒.这与题型中所示的物理模型完全相同.
设猴子从开始下滑到着地历时为t，其间气球又上升了h′.则猴子着地速度为
2ht（在初速度为零的匀变速直线运动中，即时速度为平均速度的2倍），与此同时气球的速度为
2h′t.则由动量守恒定律得：M
2h′t-m
2ht= 0，解得：h′ =
mMh.
因此所求的绳子长应为：L = h + h′ =
M+m
Mh.
上面类比“人船模型”解决的各题实际上是动量守恒定律的深层理解应用，系统在一个过程中动量守恒，则在此过程中平均动量守恒，这是不难理解的，上面几个实际问题就是用的这个结论.