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【摘 要】轨迹的问题是现实中很重要的问题，对于轨迹的研究来说，最好的工具就是方程，本文通过实例、分析、探讨轨迹方程的基本特征，研究方法、内在联系，从而使人们更好地了解轨迹的方程，以便更深入地认识和掌握轨迹方程的求法。
【关键词】轨迹方程；参数；向量；系数；曲线
求曲线的轨迹方程，实际上就是寻找动点与解析坐标之间的关系。求轨迹问题是我们在学习解析几何常见的题型，它综合考查学生分析问题解决问题的能力。常用的轨迹方程的求解方法有：待定系数法、直译解析法、曲线定义法、几何性质法、向量法、代入法、参数法、交轨法等。
一、轨迹以及轨迹的方程
轨迹：包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性。符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹的方程：轨迹上所有的点都是某个方程的解，这个方程的解都在轨迹上，这个方程叫做轨迹的方程。
二、轨迹方程的常用解法
1.待定系数法。它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。待定系数法的应用很普遍，但是缺点在于要求知道其轨迹是什么图形，所以这种方法一般用在已知条件比较具体且直白的时候。
2.直译解析法。该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
3.曲线定义法。若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义，则可直接利用定义写出其方程。其条件是必须对一般的图形的轨迹方程有一定的记忆，充分理解各种轨迹方程的特点及区别。
4.几何性质法。根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系求出其轨迹方程。
例1：已知圆O：x2+y2=16，及点A（2，0），求过A且与圆O相切的诸圆圆心P的轨迹方程。
解：如图2-2：过A且与圆O相切的圆，只能与圆O相内切，根据两圆相内切的性质：连心线必过其切点，设切点为M，则O、P、M共线，
∴|OM|=|OP|+|PM|。又因为A在圆P上，∴|PM|=|PA|，∴|OP|+|PA|=|OM|=4。
故P的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为|OM|=4的椭圆。
故P的轨迹方程：=1。
这种方法需要有很好的图形理解能力，能够对图形的位置关系进行很好的分析，找出它们的联系，只要我们理解了题意，根据题意找出了图形之间的位置关系就能直观、快捷地得出答案。
5.量法。利用向量具有几何和代数形式的双重属性来探求解析几何轨迹问题也是常见的方法之一。
例2：两根杆分别绕着定点A和B（AB=2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持相互垂直，求两杆交点的轨迹方程。
分析：由于两根杆做的是平面内转动，并且始终保持垂直关系，我们可以根据向量的乘积运算得出，由此得出轨迹方程。
解：建立坐标系如图2-3，设点P的坐标为（x，y），则=（x+a，y），=（x-a，y）
=（x+a）（x-a）+y2=0，即所求的轨迹方程为：x2+ y2= a2（x≠±a）.
如果所求的问题是关于角度等问题，一般用向量来解决比较简单，根据向量的加、减、乘运算以及向量的一些基本性质，由问题中所给的已知条件，判断以及列出方程的向量的等式，带入坐标，以求得方程的解析式。
6.引参消参法
例3：如图2-4，线段AB在x轴上移动且AB=1。点P（0，1）与点A连成直线，点Q（1，2）与点B连成直线，求直线PA和QB的交点R的轨迹方程。
分析：直线PA和QB的交点R的位置随着线段在x轴上移动而变化，这里的值是固定的，而点A的横坐标是变化的。因此，选择点A的横坐标作为参数，就可以得点A，B的坐标（与参数有关），并求出直线PA，QB的方程（也与参数有关）只要求出直线PA，QB交点于R的坐标x，y。它和参数也有关。这样，就得到交点R的轨迹的参数方程。
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.
[2]吴光磊，丁石孙，姜伯驹，田畴.解析几何.北京：人民教育出版社，1978.
【关键词】轨迹方程；参数；向量；系数；曲线
求曲线的轨迹方程，实际上就是寻找动点与解析坐标之间的关系。求轨迹问题是我们在学习解析几何常见的题型，它综合考查学生分析问题解决问题的能力。常用的轨迹方程的求解方法有：待定系数法、直译解析法、曲线定义法、几何性质法、向量法、代入法、参数法、交轨法等。
一、轨迹以及轨迹的方程
轨迹：包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性。符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹的方程：轨迹上所有的点都是某个方程的解，这个方程的解都在轨迹上，这个方程叫做轨迹的方程。
二、轨迹方程的常用解法
1.待定系数法。它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。待定系数法的应用很普遍，但是缺点在于要求知道其轨迹是什么图形，所以这种方法一般用在已知条件比较具体且直白的时候。
2.直译解析法。该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
3.曲线定义法。若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义，则可直接利用定义写出其方程。其条件是必须对一般的图形的轨迹方程有一定的记忆，充分理解各种轨迹方程的特点及区别。
4.几何性质法。根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系求出其轨迹方程。
例1：已知圆O：x2+y2=16，及点A（2，0），求过A且与圆O相切的诸圆圆心P的轨迹方程。
解：如图2-2：过A且与圆O相切的圆，只能与圆O相内切，根据两圆相内切的性质：连心线必过其切点，设切点为M，则O、P、M共线，
∴|OM|=|OP|+|PM|。又因为A在圆P上，∴|PM|=|PA|，∴|OP|+|PA|=|OM|=4。
故P的轨迹是以O、A为焦点，长轴长为|OM|=4的椭圆。
故P的轨迹方程：=1。
这种方法需要有很好的图形理解能力，能够对图形的位置关系进行很好的分析，找出它们的联系，只要我们理解了题意，根据题意找出了图形之间的位置关系就能直观、快捷地得出答案。
5.量法。利用向量具有几何和代数形式的双重属性来探求解析几何轨迹问题也是常见的方法之一。
例2：两根杆分别绕着定点A和B（AB=2a）在平面内转动，并且转动时两杆保持相互垂直，求两杆交点的轨迹方程。
分析：由于两根杆做的是平面内转动，并且始终保持垂直关系，我们可以根据向量的乘积运算得出，由此得出轨迹方程。
解：建立坐标系如图2-3，设点P的坐标为（x，y），则=（x+a，y），=（x-a，y）
=（x+a）（x-a）+y2=0，即所求的轨迹方程为：x2+ y2= a2（x≠±a）.
如果所求的问题是关于角度等问题，一般用向量来解决比较简单，根据向量的加、减、乘运算以及向量的一些基本性质，由问题中所给的已知条件，判断以及列出方程的向量的等式，带入坐标，以求得方程的解析式。
6.引参消参法
例3：如图2-4，线段AB在x轴上移动且AB=1。点P（0，1）与点A连成直线，点Q（1，2）与点B连成直线，求直线PA和QB的交点R的轨迹方程。
分析：直线PA和QB的交点R的位置随着线段在x轴上移动而变化，这里的值是固定的，而点A的横坐标是变化的。因此，选择点A的横坐标作为参数，就可以得点A，B的坐标（与参数有关），并求出直线PA，QB的方程（也与参数有关）只要求出直线PA，QB交点于R的坐标x，y。它和参数也有关。这样，就得到交点R的轨迹的参数方程。
参考文献：
[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.
[2]吴光磊，丁石孙，姜伯驹，田畴.解析几何.北京：人民教育出版社，1978.