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摘 要： 教学中，要注重数学教材隐性知识的发掘，把隐性知识和显性知识互相融合，才能建构出多姿多彩的数学课堂。本文建议从五个方面对教材进行合理发掘，准确把握重难点，及时调整教学方向;另提出四点教学建议，以期达到架构多维课堂的目标。
关键词： 隐性知识;显性知识;多维课堂
一、 提出背景
隐性知识即不能被语言、文字、图表或数学公式等直接表述的知识，是一种非语言智力活动的默会知识。在数学学习中，显性知识是教材明确提出的知识，犹如露在水面的冰山一角，师生可以直观看到它的存在。而隐性知识是隐藏于水面之下体型较大但又无法直接观测的知识，它是教材没有明确提出却又隐含其中的知识。它需要通过教师潜移默化的影响，学生亲身体验，才能将其加以领会和内化。但由于隐性知识具有偶然性和隐蔽性，难以捕捉，在教学中很多教师忽略了它在数学学习中的重要作用。笔者以人教版八年级上册数学教材为例，探讨如何挖掘教材隐性知识及如何发挥其在课堂教学中的重要作用，以供同行参考。
二、 教材隐性知識的发掘策略
（一）从教材目录中发掘隐性知识
数学教材目录标题是对整册内容的高度梳理和概括，容纳所需学习的主体知识或知识源。只要把握住主体知识体系，辅助知识的学习自然水到渠成。在新知学习前，引领学生依据教材目录标题编排顺序纵向了解知识结构，梳理知识发展脉络，明确新旧知识模块的内外关联。有助于学生减少新知学习的焦虑感，融合旧知增进新知学习的亲切感，激发新知学习的渴求感，为进一步学习造就良好开端。例如，通过对人教版八年级上册数学教材目录标题的研读，引导学生观察整册书共五章，其结构主体分为两块“几何图形”和“代数运算”。前三章是三角形相关几何知识，以小学已学的三角形基础知识及七年级所学的几何图形初步为起步阶梯，进一步探究三角形有关性质;后两章是整式和分式运算，是以学生熟悉的整式加减和分数运算为背景的代数运算。在分析教材主体的基础上，促进学生从全局把控数学知识的整体性，培养学生创建性思考能力，展延课堂宽度。
（二）从教材章头语中发掘隐性知识
章头语是始于单元知识前的文字说明，概括性强、内容深广、承前启后，涵盖和单元知识相关的实际情境，是教材的重要组成部分。对整个单元起到提纲挈领的作用，具有较强的教学指导作用。例如，教材第十四章《整式的乘法与因式分解》章头语提出是在七年级学习整式的加减的基础上，进一步学习整式乘法，并类比数的运算，以运算定律为基础，学习整式乘法与因式分解。着重阐明了新知学习所必备的旧知前提，以及学习本章所采用的主要数学方法，即类比“数的运算”启发学生联想到“式的运算”。故教师在讲解新内容前，通过合情设计先前组织材料，将章头语所涉及的整式概念及其加减运算、运算定律、运算定律正逆运用等必备知识对学生进行强化巩固，查漏补缺，为新知学习扫除障碍。通过复习回顾，启发学生领会知识之间的横纵关联，为新知学习提供心理平台，让深度教学真正发生。
（三）从教材插图中发掘隐性知识
在教材中出现不同类型的插图，如生产生活类插图、科技类插图、操作类插图、实验类插图、图形类插图等，通过插图直观形象的导入通常更贴合学生实际，更有课堂带入感，更能激发学生的学习动机，让学生逐渐对数学产生兴趣不再只有恐惧。例如，教材第十三章第一节《轴对称》中涉及建筑物设计等插图，教师可从学生认知出发解读插图，进一步探索设计建筑物时常用的几何图形，组织学生查阅资料探讨轴对称建筑物设计的成因及优劣。在学生探索分析的过程中，逐步达到对轴对称图形的深刻理解，激活概念的内涵。进一步把已学几何图形与轴对称互联成几何统一体，促进学生体会数学之美，领悟数学的实用价值。教材插图超越了事实知识的刻板陈述，转变成鲜活生动的现实情境，揭示了教材隐性的育人意义。
（四）从教材习题中发掘隐性知识
教材习题是对教材内容的深化，对教材例题的拓广，对教材知识的延伸，对解题方法的巩固。教师通过挖掘习题类型、总结解题方法、剖析解题思想，进而深入理解教材重难点、把握编者设计意图及命题方向，从而使教学更有目标性和针对性。例如，在教材第十四章第一节课后习题第13题：2m=a，32n=b，m，n为正整数，求23m 10n。该例题中只显示正用法则，并未给出综合性正逆运用法则的题型。所以，教师可由教材课后习题开发正用、反用、活用运算法则的题型，进一步提供给学生一些其他的且具有价值的学习材料以训练学生综合应用能力，并注意总结规律性的方法技能。因此，在教学中就不能只满足于教材例题的题型，需要参照课后习题扩充不同学习材料以帮助学生应对更大挑战。
（五）从教材节后小字中发掘隐性知识
节后小字部分会提供给学生不同的数学视野，主要包括：数学史、信息技术与数学、数学方法、数学建模、数学实验、数学活动等类型。通过这部分内容，拓宽学生的知识广度，延展学生的理解深度，提高学生的数学文化素养，引领学生感受数学与其他文化的完美交汇。例如，教材第十三章第三节《等腰三角形》节后小字“实验与探究”三角形中边与角之间的不等关系。通过本次探究证明活动，教师可以由“等角对等边”的结论延伸到“大角对大边，小角对小边”，并对该结论做出严格证明，促进学生在学习知识的过程中对相关规则的合理性理解，进而有效应用。
三、 多维课堂的架构策略
（一）隐性知识可视化，架构直观课堂
教材中的显性知识学生通过自主阅读教材即可明确，但对于隐性知识的发现和学习就相对比较困难，需要教师合理发掘教材、以高观点视角研读教材，将隐性知识显性化，让学生更直观地领悟显性背后所蕴含的真正数学思维、数学思想。例如，在教材第十四章第三节《因式分解》例3分解因式：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2。例题强调运用平方差公式时需注意变形的整体性，并未阐明数字的变形是否可以拓展到实数化。教师可通过此例题引入在实数范围内分解因式的隐性知识，进而可将其拓展为（3）x2-7;（4）2x2-3。引导学生运用平方差公式把各式写成平方差的形式，并将例题中未呈现的知识可视化、直观化，避免学生曲解教材的核心观念，让学生逐步领悟例题所蕴藏的整体思想，感受知识的整体性。 （二）隐性知识结构化，架构系统课堂
隐性知识由于其自身具有内隐性和默会性，学生在体悟内化到自我认知结构中时可能会产生知识结构不系统或条理性缺乏的情况，因此在教学中可把握隐性知识和显性知识合理融合，构建显隐性知识互联的系统性知识网络。例如，在完成第十三章《轴对称》单元教学后，教师可以通过关于轴对称显性知识的回顾，渗透数学思想，促使学生归纳总结本单元研究问题的主要方法是借助图形的变化研究图形的性质，该方法也是研究几何图形时常用的方法。引导学生横向挖掘已学过的平移、翻折、旋转变换都属于图形的变化，其实质是图形的全等，以此把隐性知识纳入原有知识结构，优化知识系统，完善知识网络。
（三）隐性知识活动化，架构生动课堂
数学显性知识的学习需要学生经历一个由“听懂”到“学会”再到“会学”的连续过程，即“学中做”。而隐性知识的学习过程就需要“做中学”，在参与课堂数学活动的操作中自然而然地体悟隐性知识，并将其内化为自身对数学知识的理解，发展数学的迁移能力。例如，教材第十三章章后数学活动3等腰三角形中相等的线段，教师引导学生经历折叠、观察等腰三角形等操作过程探索发现等腰三角形中相等的线段，由底边中点到两腰距离相等扩展到底边中点到两腰中点相等。进而类比发现等腰三角形中相等线段，学生观察角度不同所得结果自不相同，数学课堂自会迸发出思维各异的光芒。只有提供学生在实操活动中发现知识的机会，数学课堂才能生动多彩。
（四）隐性知识人文化，架构温度课堂
新课程理念强调数学的育人价值，教材正文由于篇幅有限，无法进行全面进行数学知识的编排，故育人价值常常蕴藏于隐性知识之中。因此，需要教师充分挖掘，进一步揭示教材的深层含义。例如，教材第十四章第二节《乘法公式》后的小字阅读与思考栏目，介绍了古代数学中的“杨辉三角”问题，揭示了完全平方式背后的一位人物及其数学贡献，让学生感受历史人物发现问题解决问题的求知精神，激发学生的求知欲。同时，教师把所学知识由（a b）2拓展到（a b）n，通过揭开（a b）n的面纱，从数学史的角度把握數学本质。进而拓宽了学生的知识面，满足了学生的好奇心，提升了学生学习的兴趣，体现了数学的人文底蕴，传递了更宽广，更有温度的数学知识，有助于为学生形成全面的数学观。
四、 思考与建议
教材中的隐性知识和显性知识如影随形，两者的学习也是同步进行。因此，数学教学不仅是传递显性知识的过程，更是不断挖掘教材中的隐性知识，引导学生透过现象看透知识本质思想的过程。要实现这一过程教学就需要注重以下两个方面：一方面，合理设置情境诱导学生提出问题，只有提出问题才能探究问题，才能变被动接受为主动探究与意义建构，逐步掌握显性知识。另一方面，在问题探究的过程中，激活学生对概念内涵的深度理解，逐步把显、隐性知识互相融会贯通，将知识节点联结成网，进而熟练运用两者进行解决问题。同时，教师需认真研读教材的背后深意，多角度发掘教材隐性知识，开发利用好凝聚编者无限心血的教材资源，不断反思、调整自己的教学，真正实现多维的数学课堂。
参考文献：
[1]杜才峰.深入挖掘教材 构建精彩课堂 对教材隐性知识挖掘的一些思考[J].课堂内外，2014（5）：72-74.
[2]顾连忠.物理隐性知识之功能及其教学策略研究[J].教育实践与研究，2010（2）：55-56.
[3]孙庆括.我国高中数学教科书插图的分类、功能与运用策略[J].资源纵览，2018（7）：45-47.
[4]康兰香.重视挖掘历史教材中的隐性知识[J].新课程，2007（3）：42-43.
[5]何启旺.数学课中隐性知识学习的五个“体验点”[J].教育实践与研究，2018（7）：53-56.
作者简介：
周可，云南省昆明市，云南师范大学数学学院。
关键词： 隐性知识;显性知识;多维课堂
一、 提出背景
隐性知识即不能被语言、文字、图表或数学公式等直接表述的知识，是一种非语言智力活动的默会知识。在数学学习中，显性知识是教材明确提出的知识，犹如露在水面的冰山一角，师生可以直观看到它的存在。而隐性知识是隐藏于水面之下体型较大但又无法直接观测的知识，它是教材没有明确提出却又隐含其中的知识。它需要通过教师潜移默化的影响，学生亲身体验，才能将其加以领会和内化。但由于隐性知识具有偶然性和隐蔽性，难以捕捉，在教学中很多教师忽略了它在数学学习中的重要作用。笔者以人教版八年级上册数学教材为例，探讨如何挖掘教材隐性知识及如何发挥其在课堂教学中的重要作用，以供同行参考。
二、 教材隐性知識的发掘策略
（一）从教材目录中发掘隐性知识
数学教材目录标题是对整册内容的高度梳理和概括，容纳所需学习的主体知识或知识源。只要把握住主体知识体系，辅助知识的学习自然水到渠成。在新知学习前，引领学生依据教材目录标题编排顺序纵向了解知识结构，梳理知识发展脉络，明确新旧知识模块的内外关联。有助于学生减少新知学习的焦虑感，融合旧知增进新知学习的亲切感，激发新知学习的渴求感，为进一步学习造就良好开端。例如，通过对人教版八年级上册数学教材目录标题的研读，引导学生观察整册书共五章，其结构主体分为两块“几何图形”和“代数运算”。前三章是三角形相关几何知识，以小学已学的三角形基础知识及七年级所学的几何图形初步为起步阶梯，进一步探究三角形有关性质;后两章是整式和分式运算，是以学生熟悉的整式加减和分数运算为背景的代数运算。在分析教材主体的基础上，促进学生从全局把控数学知识的整体性，培养学生创建性思考能力，展延课堂宽度。
（二）从教材章头语中发掘隐性知识
章头语是始于单元知识前的文字说明，概括性强、内容深广、承前启后，涵盖和单元知识相关的实际情境，是教材的重要组成部分。对整个单元起到提纲挈领的作用，具有较强的教学指导作用。例如，教材第十四章《整式的乘法与因式分解》章头语提出是在七年级学习整式的加减的基础上，进一步学习整式乘法，并类比数的运算，以运算定律为基础，学习整式乘法与因式分解。着重阐明了新知学习所必备的旧知前提，以及学习本章所采用的主要数学方法，即类比“数的运算”启发学生联想到“式的运算”。故教师在讲解新内容前，通过合情设计先前组织材料，将章头语所涉及的整式概念及其加减运算、运算定律、运算定律正逆运用等必备知识对学生进行强化巩固，查漏补缺，为新知学习扫除障碍。通过复习回顾，启发学生领会知识之间的横纵关联，为新知学习提供心理平台，让深度教学真正发生。
（三）从教材插图中发掘隐性知识
在教材中出现不同类型的插图，如生产生活类插图、科技类插图、操作类插图、实验类插图、图形类插图等，通过插图直观形象的导入通常更贴合学生实际，更有课堂带入感，更能激发学生的学习动机，让学生逐渐对数学产生兴趣不再只有恐惧。例如，教材第十三章第一节《轴对称》中涉及建筑物设计等插图，教师可从学生认知出发解读插图，进一步探索设计建筑物时常用的几何图形，组织学生查阅资料探讨轴对称建筑物设计的成因及优劣。在学生探索分析的过程中，逐步达到对轴对称图形的深刻理解，激活概念的内涵。进一步把已学几何图形与轴对称互联成几何统一体，促进学生体会数学之美，领悟数学的实用价值。教材插图超越了事实知识的刻板陈述，转变成鲜活生动的现实情境，揭示了教材隐性的育人意义。
（四）从教材习题中发掘隐性知识
教材习题是对教材内容的深化，对教材例题的拓广，对教材知识的延伸，对解题方法的巩固。教师通过挖掘习题类型、总结解题方法、剖析解题思想，进而深入理解教材重难点、把握编者设计意图及命题方向，从而使教学更有目标性和针对性。例如，在教材第十四章第一节课后习题第13题：2m=a，32n=b，m，n为正整数，求23m 10n。该例题中只显示正用法则，并未给出综合性正逆运用法则的题型。所以，教师可由教材课后习题开发正用、反用、活用运算法则的题型，进一步提供给学生一些其他的且具有价值的学习材料以训练学生综合应用能力，并注意总结规律性的方法技能。因此，在教学中就不能只满足于教材例题的题型，需要参照课后习题扩充不同学习材料以帮助学生应对更大挑战。
（五）从教材节后小字中发掘隐性知识
节后小字部分会提供给学生不同的数学视野，主要包括：数学史、信息技术与数学、数学方法、数学建模、数学实验、数学活动等类型。通过这部分内容，拓宽学生的知识广度，延展学生的理解深度，提高学生的数学文化素养，引领学生感受数学与其他文化的完美交汇。例如，教材第十三章第三节《等腰三角形》节后小字“实验与探究”三角形中边与角之间的不等关系。通过本次探究证明活动，教师可以由“等角对等边”的结论延伸到“大角对大边，小角对小边”，并对该结论做出严格证明，促进学生在学习知识的过程中对相关规则的合理性理解，进而有效应用。
三、 多维课堂的架构策略
（一）隐性知识可视化，架构直观课堂
教材中的显性知识学生通过自主阅读教材即可明确，但对于隐性知识的发现和学习就相对比较困难，需要教师合理发掘教材、以高观点视角研读教材，将隐性知识显性化，让学生更直观地领悟显性背后所蕴含的真正数学思维、数学思想。例如，在教材第十四章第三节《因式分解》例3分解因式：（1）4x2-9;（2）（x p）2-（x q）2。例题强调运用平方差公式时需注意变形的整体性，并未阐明数字的变形是否可以拓展到实数化。教师可通过此例题引入在实数范围内分解因式的隐性知识，进而可将其拓展为（3）x2-7;（4）2x2-3。引导学生运用平方差公式把各式写成平方差的形式，并将例题中未呈现的知识可视化、直观化，避免学生曲解教材的核心观念，让学生逐步领悟例题所蕴藏的整体思想，感受知识的整体性。 （二）隐性知识结构化，架构系统课堂
隐性知识由于其自身具有内隐性和默会性，学生在体悟内化到自我认知结构中时可能会产生知识结构不系统或条理性缺乏的情况，因此在教学中可把握隐性知识和显性知识合理融合，构建显隐性知识互联的系统性知识网络。例如，在完成第十三章《轴对称》单元教学后，教师可以通过关于轴对称显性知识的回顾，渗透数学思想，促使学生归纳总结本单元研究问题的主要方法是借助图形的变化研究图形的性质，该方法也是研究几何图形时常用的方法。引导学生横向挖掘已学过的平移、翻折、旋转变换都属于图形的变化，其实质是图形的全等，以此把隐性知识纳入原有知识结构，优化知识系统，完善知识网络。
（三）隐性知识活动化，架构生动课堂
数学显性知识的学习需要学生经历一个由“听懂”到“学会”再到“会学”的连续过程，即“学中做”。而隐性知识的学习过程就需要“做中学”，在参与课堂数学活动的操作中自然而然地体悟隐性知识，并将其内化为自身对数学知识的理解，发展数学的迁移能力。例如，教材第十三章章后数学活动3等腰三角形中相等的线段，教师引导学生经历折叠、观察等腰三角形等操作过程探索发现等腰三角形中相等的线段，由底边中点到两腰距离相等扩展到底边中点到两腰中点相等。进而类比发现等腰三角形中相等线段，学生观察角度不同所得结果自不相同，数学课堂自会迸发出思维各异的光芒。只有提供学生在实操活动中发现知识的机会，数学课堂才能生动多彩。
（四）隐性知识人文化，架构温度课堂
新课程理念强调数学的育人价值，教材正文由于篇幅有限，无法进行全面进行数学知识的编排，故育人价值常常蕴藏于隐性知识之中。因此，需要教师充分挖掘，进一步揭示教材的深层含义。例如，教材第十四章第二节《乘法公式》后的小字阅读与思考栏目，介绍了古代数学中的“杨辉三角”问题，揭示了完全平方式背后的一位人物及其数学贡献，让学生感受历史人物发现问题解决问题的求知精神，激发学生的求知欲。同时，教师把所学知识由（a b）2拓展到（a b）n，通过揭开（a b）n的面纱，从数学史的角度把握數学本质。进而拓宽了学生的知识面，满足了学生的好奇心，提升了学生学习的兴趣，体现了数学的人文底蕴，传递了更宽广，更有温度的数学知识，有助于为学生形成全面的数学观。
四、 思考与建议
教材中的隐性知识和显性知识如影随形，两者的学习也是同步进行。因此，数学教学不仅是传递显性知识的过程，更是不断挖掘教材中的隐性知识，引导学生透过现象看透知识本质思想的过程。要实现这一过程教学就需要注重以下两个方面：一方面，合理设置情境诱导学生提出问题，只有提出问题才能探究问题，才能变被动接受为主动探究与意义建构，逐步掌握显性知识。另一方面，在问题探究的过程中，激活学生对概念内涵的深度理解，逐步把显、隐性知识互相融会贯通，将知识节点联结成网，进而熟练运用两者进行解决问题。同时，教师需认真研读教材的背后深意，多角度发掘教材隐性知识，开发利用好凝聚编者无限心血的教材资源，不断反思、调整自己的教学，真正实现多维的数学课堂。
参考文献：
[1]杜才峰.深入挖掘教材 构建精彩课堂 对教材隐性知识挖掘的一些思考[J].课堂内外，2014（5）：72-74.
[2]顾连忠.物理隐性知识之功能及其教学策略研究[J].教育实践与研究，2010（2）：55-56.
[3]孙庆括.我国高中数学教科书插图的分类、功能与运用策略[J].资源纵览，2018（7）：45-47.
[4]康兰香.重视挖掘历史教材中的隐性知识[J].新课程，2007（3）：42-43.
[5]何启旺.数学课中隐性知识学习的五个“体验点”[J].教育实践与研究，2018（7）：53-56.
作者简介：
周可，云南省昆明市，云南师范大学数学学院。