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摘 要：以苹果幼木为例，描述其树干周长随时间变化的Logistic 模型，并运用传统的非线性最小二乘法进行参数估计，在此基础上，构建非线性混合效应模型，并利用R软件进行分析及参数估计。然后，对两种拟合效果进行对比，结果表明，运用非线性混合效应模型得到的参数值精度要高，最终的预测值和实测值也具有良好的一致性，说明非线性混合效应模型可以更加有效的处理生长数据，其建模思想及程序对幼木生长规律的研究具有一定指导意义。
关键词：苹果幼木 Logistic 模型 非线性最小二乘法 非线性混合效应模型
中图分类号：S661 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）010-114-02
苹果树是目前栽培最广的果树之一，在中国也有2000多年的历史。而其果实营养丰富，色、香、味俱全，在抗氧化、抗衰老、抗癌、防治心血管疾病方面也有很好的保健作用，深受广大人民喜爱。苹果幼木的生长数据为分类测量数据，为了研究苹果幼木的生长规律，本文利用其树干周长的生长数据，构造了Logistic 模型，并运用非线性最小二乘法求解，在此基础上，建立了非线性混合效应模型，利用R统计软件中的nlme 程序包进行求解，其建模思想及程序对于幼木的生长数据研究开拓了新思路。
1 非线性混合效应模型
1.1 模型基本结构
。
2 实例分析
为了研究苹果幼木的生长规律，随机选取了6棵苹果幼木，分别在6个时间点测量了其树干周长，得到数据如表1。
我们分别运用非线性回归模型和非线性混合效应模型来分析其生长规律。
首先，对于同一棵树，在不同时间点通过测量得到的树干周长，我们用直线连接，得到如图1图像，容易看到幼木的整体生长趋势是一致的，但是不同的幼木之间却存在着较大差异。
其中：为树干的渐进周长，为达到树干的渐进周长一半时所需时间，为生长幅度，其中：和是非线性的， ij相互独立且均服从正态分布 ij～N（0， 2）。
在R统计软件中，可以通过加载nlme程序包，运用非线性nls方程来求解参数。由于需要设定初始值，在图1中可以看出，树干的平均渐进周长是180，达到树干的渐进周长一半时所需平均时间为700，而从图形中看出，大概要1150天幼木才达到渐进周长的，故的初始值为450，将数据代入，从中可以得到各个参数的值=192.44，=759.18，=377.19，三个参数的标准差分别是17.65，106.16，74.62。不难发现，参数的估计值和我们最初设定的初始值是非常接近的，但是标准差偏大。从图2可以看出，残差的变化区间很大，位于-30到40之间，且残差受不同树的影响非常大。
一个比较简单的方法可以解释树的效应，即对每棵树进行nls函数拟合，产生不同的参数，也就是 nlslist 模型。这种方法将会导致参数的过量化，而使用非线性混合效应模型将在简单的nls模型和过量参数的nlslist 模型之间达到一个平衡，它包含了适当的参数，同时运用随机效应来解释不同树生长的差异。
2.2 运用非线性混合效应模型求解参数
其中：，和和模型（3）的含义相同， 为固定效应，bi为随机效应， ij相互独立且均服从正态分布 ij～N（0， 2）。在这里，每个参数，和都看做是具有随机效应的。
R中的nlme程序包中自带有求解函数，将数据代入，运用nlme函数即可得到各个参数的值=190.75，=749.75，=368.85，和运用最小二乘法算法得到的结果稍有一点差异。各个参数的标准差分别是14.32，25.40，28.14。
误差标准差和残差值则大大降低，说明运用非线性混合效应模型可以大大的降低误差。是随机效应，可以解释不同树生长水平的差异。
与图2相比，运用非线性混合效应模型得到的残差大大降低，基本上位于-5到5之间，图3显示出残差大致分布在0附近，且非常稳定。显然，组内误差是存在的。
图4显示了实际测量值和运用nlme模型得到的预测值，可以看到，两者的差异很小，具有较强的一致性，说明建立的非线性混合效应模型能够很好的处理幼木生长数据，反应个体间差异。
3 结论
本文运用苹果幼木的生长数据，结合其生长规律，建立了Logistic模型，再分别使用非线性最小二乘法和非线性混合效应模型来估计其中参数。结果表明，考虑个体效应的非线性混合效应模型，既能够确定幼木生长的平均水平，也可以反应生长水平受不同幼木影响，最后得到的参数值要精确，误差也大大降低。同时，考虑到样本量偏少，难以充分的分析固定效应和随机效应对群体参数的影响，这也是本文的不足之处。
R是免费统计软件，运用其进行生长数据的处理，求解非线性混合效应模型中的参数，可以得到很好的结果。本研究为分类测量数据，包括果树生长数据的分析提供了广阔的应用前景。
参考文献：
[1] 刘铁铮，付雅丽，秦立者，等.红富士苹果果实中VC含量的研究[J].烟台果树，2005（4）：6-7.
[2] 王皎，李赫宇，刘岱琳，等.苹果的营养成分及保健功效研究进展[J].食品研究与开发，2011，32（1）：164-168.
[3] J.C.Pinheiro，Douglas.M.Bates.Mixed-Effects Models in Sand S-PLUS[M].Springer，New York，2000：511-528.
[4] 沈曦.重复测量数据非线性混合效应模型的统计诊断[D].东南大学，1999.
[5] 赵晋芳，罗天娥，刘桂芬.分类重复测量数据的非线性混合效应模型[J].现代预防医学，2007（20）：3866-3868.
关键词：苹果幼木 Logistic 模型 非线性最小二乘法 非线性混合效应模型
中图分类号：S661 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）010-114-02
苹果树是目前栽培最广的果树之一，在中国也有2000多年的历史。而其果实营养丰富，色、香、味俱全，在抗氧化、抗衰老、抗癌、防治心血管疾病方面也有很好的保健作用，深受广大人民喜爱。苹果幼木的生长数据为分类测量数据，为了研究苹果幼木的生长规律，本文利用其树干周长的生长数据，构造了Logistic 模型，并运用非线性最小二乘法求解，在此基础上，建立了非线性混合效应模型，利用R统计软件中的nlme 程序包进行求解，其建模思想及程序对于幼木的生长数据研究开拓了新思路。
1 非线性混合效应模型
1.1 模型基本结构
。
2 实例分析
为了研究苹果幼木的生长规律，随机选取了6棵苹果幼木，分别在6个时间点测量了其树干周长，得到数据如表1。
我们分别运用非线性回归模型和非线性混合效应模型来分析其生长规律。
首先，对于同一棵树，在不同时间点通过测量得到的树干周长，我们用直线连接，得到如图1图像，容易看到幼木的整体生长趋势是一致的，但是不同的幼木之间却存在着较大差异。
其中：为树干的渐进周长，为达到树干的渐进周长一半时所需时间，为生长幅度，其中：和是非线性的， ij相互独立且均服从正态分布 ij～N（0， 2）。
在R统计软件中，可以通过加载nlme程序包，运用非线性nls方程来求解参数。由于需要设定初始值，在图1中可以看出，树干的平均渐进周长是180，达到树干的渐进周长一半时所需平均时间为700，而从图形中看出，大概要1150天幼木才达到渐进周长的，故的初始值为450，将数据代入，从中可以得到各个参数的值=192.44，=759.18，=377.19，三个参数的标准差分别是17.65，106.16，74.62。不难发现，参数的估计值和我们最初设定的初始值是非常接近的，但是标准差偏大。从图2可以看出，残差的变化区间很大，位于-30到40之间，且残差受不同树的影响非常大。
一个比较简单的方法可以解释树的效应，即对每棵树进行nls函数拟合，产生不同的参数，也就是 nlslist 模型。这种方法将会导致参数的过量化，而使用非线性混合效应模型将在简单的nls模型和过量参数的nlslist 模型之间达到一个平衡，它包含了适当的参数，同时运用随机效应来解释不同树生长的差异。
2.2 运用非线性混合效应模型求解参数
其中：，和和模型（3）的含义相同， 为固定效应，bi为随机效应， ij相互独立且均服从正态分布 ij～N（0， 2）。在这里，每个参数，和都看做是具有随机效应的。
R中的nlme程序包中自带有求解函数，将数据代入，运用nlme函数即可得到各个参数的值=190.75，=749.75，=368.85，和运用最小二乘法算法得到的结果稍有一点差异。各个参数的标准差分别是14.32，25.40，28.14。
误差标准差和残差值则大大降低，说明运用非线性混合效应模型可以大大的降低误差。是随机效应，可以解释不同树生长水平的差异。
与图2相比，运用非线性混合效应模型得到的残差大大降低，基本上位于-5到5之间，图3显示出残差大致分布在0附近，且非常稳定。显然，组内误差是存在的。
图4显示了实际测量值和运用nlme模型得到的预测值，可以看到，两者的差异很小，具有较强的一致性，说明建立的非线性混合效应模型能够很好的处理幼木生长数据，反应个体间差异。
3 结论
本文运用苹果幼木的生长数据，结合其生长规律，建立了Logistic模型，再分别使用非线性最小二乘法和非线性混合效应模型来估计其中参数。结果表明，考虑个体效应的非线性混合效应模型，既能够确定幼木生长的平均水平，也可以反应生长水平受不同幼木影响，最后得到的参数值要精确，误差也大大降低。同时，考虑到样本量偏少，难以充分的分析固定效应和随机效应对群体参数的影响，这也是本文的不足之处。
R是免费统计软件，运用其进行生长数据的处理，求解非线性混合效应模型中的参数，可以得到很好的结果。本研究为分类测量数据，包括果树生长数据的分析提供了广阔的应用前景。
参考文献：
[1] 刘铁铮，付雅丽，秦立者，等.红富士苹果果实中VC含量的研究[J].烟台果树，2005（4）：6-7.
[2] 王皎，李赫宇，刘岱琳，等.苹果的营养成分及保健功效研究进展[J].食品研究与开发，2011，32（1）：164-168.
[3] J.C.Pinheiro，Douglas.M.Bates.Mixed-Effects Models in Sand S-PLUS[M].Springer，New York，2000：511-528.
[4] 沈曦.重复测量数据非线性混合效应模型的统计诊断[D].东南大学，1999.
[5] 赵晋芳，罗天娥，刘桂芬.分类重复测量数据的非线性混合效应模型[J].现代预防医学，2007（20）：3866-3868.