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【摘 要】数形结合思想是一种在小学数学教学中常用的数学思想。从自己的数学教学实践出发，利用数形结合，促进形象思维和抽象思维的和谐发展，培养学生的数学思维能力和解决数学问题的能力。
【关键词】数形结合；思维；问题
著名数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数与形本是相依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难。”数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的数学教学问题来讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。
一、数形结合，促进两种思维和谐发展
1. 充分感知，积累表象，发展形象思维
教学新知时，必须加强直观教学，为学生提供足够的感性材料，让学生运用多种感官充分感知，丰富学生的表象储备，提高表象的概括性。在教学过程中，用图片、教具或电教手段组织教学，把抽象知识形象化，让学生充分感知所学材料，有了定量的感性材料，才能在脑中留下鲜明的印象。例如：教学“圆的认识”，教师可以先让学生画出一个圆，剪下来折一折探究圆的特征。探究圆的特征后，为了使学生牢固地掌握圆的特征，教师提问：“同学们回忆一下，我们见过的各种各样的车轮都是什么是形状的？”学生回答后，运用多媒体显示自行车、摩托车、小汽车的图片，思考：“车轮为什么是圆形的？车轴应该装在什么位置上？”学生交流反馈得出：车轴应该装在圆心上，车轴到车轮上的距离是相等的，也就是半径相等，这样滚动起来是均匀的、稳定的。然后再问：“如果将圆形的车轮换成椭圆形，会出现什么情况？”随着多媒体的演示，学生很快得出结论：椭圆形的车轮，在行驶过程中无法保持稳定。如果把车轮换成长方形、正方形、三角形，借助多媒体不断的变换。把长方形、正方形、三角形和椭圆形等图形进行鲜明的、生动的比较，在对比的情境中，学生对圆的特征有了更深刻的表象认识，学生就能深刻理解“圆，一中同长也。”学生观察客观事物越全面越深刻，获得的表象就越正确，形象思维能力的培养越能提高。
2. 语言参与，概括表象，引发抽象思维
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成概念之间，抓住这中间环节，学生多角度地灵活思考，大胆想象，培养初步的逻辑思维能力。学生认识事物的本质特征时，能够用自己的语言去描述，说明他已经是理解了，虽然他的语言是粗糙的、模糊的，不像教科书说的那么规范。然后通过教师的引导能够用规范的语言去描述事物的本质特征。知识的获得和思维的进行都离不开语言的参与。认识圆柱的侧面展开图时，首先让学生摸一摸圆柱体，看一看圆柱的侧面在哪里，想象侧面展开后会是什么图形？学生动手沿着圆柱的高剪开后，发现圆柱的侧面展开图是一个长方形，有的是正方形。然后让学生思考展开后的长方形和圆柱之间有什么联系？学生通过观察、分析、比较得出：长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。然后让学生思考：“什么情况下圆柱的侧面展开图是正方形？”学生会发现当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开图是正方形。如果不沿着圆柱的高剪，斜过来又会是什么图形的呢？学生动手操作后发现是平行四边形。平行四边形的高就是圆柱的高，平行四边形的底就是圆柱的底面周长。通过计算长方形、正方形和平行四边形的面积时，发现圆柱的侧面积=底面周长×高。不管展开后是哪种图形学生通过摸一摸、剪一剪、算一算，亲历圆柱体与其展开图之间的转化，逐步建立了立体图形与平面图形的联系，把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，进一步发展了学生的抽象思维。
二、数形结合，培养学生解决问题的能力
1. 数形结合，降低解题难度，提高学生的解题能力
由于年龄、知识、能力等方面原因，小学生在解决问题的时候，往往会遇到这样或那样的困难和障碍。因此，在教学中，教师应注意采用数形结合的方法，促进学生的形象思维和抽象思维协同运用，这样就能较快地找到解决问题的突破口。特别是到了小学高年级，学生没有很好的掌握数量关系，对题意不理解，碰到解决问题就无从下手。植树问题是小学解决问题中的一个难点，我在实际教学中没有按教材一个例题接着一个例题教下去，而是让学生模拟种树，画出种树的示意图
师：“ ”代表一段路，用“＼”代表一棵树，画“＼”就表示种了一棵树。请在这段路上种上三棵树，想想、做做，你能有几种种法？学生画完图后，同桌交流你是怎么种的？
师根据学生的反馈相应地把三种情况展示黑板：
①＼ ＼ ＼ 两端都种
②＼ ＼ ＼ 或 ＼ ＼ ＼一端栽种
③ ＼ ＼ ＼ 两端都不种
师生共同小结得出：两端都种：棵数=段数 1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。
师：为什么两端都种：棵数=段数 1？为什么两端都不种：棵数=段数-1？然后引导学生去思考“＼”一棵树对应“ ”一段路，两端都种最后“＼”一棵树没有对应的一段路，所以棵数=段数 1；两端都不种，最后一段路没有对应的树，所以棵数=段数-1；只有一端栽种，棵数和段数是一一对应的，所以一端栽种：棵数=段数。
线段图具有半抽象半具体的特点，用线段图画图，学生有凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础结合，又渗透一一对应的思想，把数转化成形，学生分清楚植树问题的三种情况后，再联系生活中的植树问题：如站点问题，灯塔问题，学生学习起来就容易了。
2. 数形结合，拓宽解题思路，发展学生的数学思维
运用数形结合的策略，不仅可以帮助学生理清思路，找到解决问题的方法，更重要的是，由于形象思维与抽象思维的协调运用，找到了解决问题的方法，拓宽了解题思路，促进了学生思维的灵活性和创造性。如：有一块长80分米，宽65分米的布，如果把它裁剪成边长5分米的方巾，那么最多可以裁剪成这样的方巾几块？让学生审题后，在长方形图上画裁剪示意图。学生列出算式（80÷5）×（65÷5）、80×65÷（5×5）两种方法。然后教师再引导如果布的长是78分米，宽是62分米，那么最多可以裁剪成这样的方巾几块？学生受上一题思维的影响列出算式（78÷5）×（62÷5）、78×62÷（5×5），让学生通过计算发现答案不一样，思考为什么？然后让学生再画出裁剪示意图，在画思维过程中，发现这次不是全部都能用完，有边角料了。比较这两种计算方法，哪种方法更全面，更万能，学生认识到第二种方法——用大面积÷小面积的局现性。在这个片段中，数形结合很好地促进学生联系实际思考问题，把数量关系的问题转化为图形的数学教学问题讨论，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，再到找到代表性的方法，学生变得更聪明了。
数形结合的思想，不仅有助于数学各个领域的融会贯通，而且有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻、灵活，是现代数学教学中强调的基本思想之一。因此，教师要在整个小学阶段，将数形结合等数学思想方法贯彻始终。正如拉格朗日所说的那样：“当数与形分道扬鑣的时候，数学的进展就缓慢，应用也有限。但是，一旦它们联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜活力，从而大踏步地走向各自的完美。”
参考文献
[1]陈红霞.以形数助化难为易——试谈数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].湖北教育（教育教学），2010（03）.
[2]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考，2010（17）.
[3]袁艳梅.数形结合思想在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2011（20）.
【关键词】数形结合；思维；问题
著名数学家华罗庚说过这样一句的话来形容数形结合思想：“数与形本是相依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难。”数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的数学教学问题来讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究。
一、数形结合，促进两种思维和谐发展
1. 充分感知，积累表象，发展形象思维
教学新知时，必须加强直观教学，为学生提供足够的感性材料，让学生运用多种感官充分感知，丰富学生的表象储备，提高表象的概括性。在教学过程中，用图片、教具或电教手段组织教学，把抽象知识形象化，让学生充分感知所学材料，有了定量的感性材料，才能在脑中留下鲜明的印象。例如：教学“圆的认识”，教师可以先让学生画出一个圆，剪下来折一折探究圆的特征。探究圆的特征后，为了使学生牢固地掌握圆的特征，教师提问：“同学们回忆一下，我们见过的各种各样的车轮都是什么是形状的？”学生回答后，运用多媒体显示自行车、摩托车、小汽车的图片，思考：“车轮为什么是圆形的？车轴应该装在什么位置上？”学生交流反馈得出：车轴应该装在圆心上，车轴到车轮上的距离是相等的，也就是半径相等，这样滚动起来是均匀的、稳定的。然后再问：“如果将圆形的车轮换成椭圆形，会出现什么情况？”随着多媒体的演示，学生很快得出结论：椭圆形的车轮，在行驶过程中无法保持稳定。如果把车轮换成长方形、正方形、三角形，借助多媒体不断的变换。把长方形、正方形、三角形和椭圆形等图形进行鲜明的、生动的比较，在对比的情境中，学生对圆的特征有了更深刻的表象认识，学生就能深刻理解“圆，一中同长也。”学生观察客观事物越全面越深刻，获得的表象就越正确，形象思维能力的培养越能提高。
2. 语言参与，概括表象，引发抽象思维
儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成概念之间，抓住这中间环节，学生多角度地灵活思考，大胆想象，培养初步的逻辑思维能力。学生认识事物的本质特征时，能够用自己的语言去描述，说明他已经是理解了，虽然他的语言是粗糙的、模糊的，不像教科书说的那么规范。然后通过教师的引导能够用规范的语言去描述事物的本质特征。知识的获得和思维的进行都离不开语言的参与。认识圆柱的侧面展开图时，首先让学生摸一摸圆柱体，看一看圆柱的侧面在哪里，想象侧面展开后会是什么图形？学生动手沿着圆柱的高剪开后，发现圆柱的侧面展开图是一个长方形，有的是正方形。然后让学生思考展开后的长方形和圆柱之间有什么联系？学生通过观察、分析、比较得出：长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。然后让学生思考：“什么情况下圆柱的侧面展开图是正方形？”学生会发现当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开图是正方形。如果不沿着圆柱的高剪，斜过来又会是什么图形的呢？学生动手操作后发现是平行四边形。平行四边形的高就是圆柱的高，平行四边形的底就是圆柱的底面周长。通过计算长方形、正方形和平行四边形的面积时，发现圆柱的侧面积=底面周长×高。不管展开后是哪种图形学生通过摸一摸、剪一剪、算一算，亲历圆柱体与其展开图之间的转化，逐步建立了立体图形与平面图形的联系，把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，进一步发展了学生的抽象思维。
二、数形结合，培养学生解决问题的能力
1. 数形结合，降低解题难度，提高学生的解题能力
由于年龄、知识、能力等方面原因，小学生在解决问题的时候，往往会遇到这样或那样的困难和障碍。因此，在教学中，教师应注意采用数形结合的方法，促进学生的形象思维和抽象思维协同运用，这样就能较快地找到解决问题的突破口。特别是到了小学高年级，学生没有很好的掌握数量关系，对题意不理解，碰到解决问题就无从下手。植树问题是小学解决问题中的一个难点，我在实际教学中没有按教材一个例题接着一个例题教下去，而是让学生模拟种树，画出种树的示意图
师：“ ”代表一段路，用“＼”代表一棵树，画“＼”就表示种了一棵树。请在这段路上种上三棵树，想想、做做，你能有几种种法？学生画完图后，同桌交流你是怎么种的？
师根据学生的反馈相应地把三种情况展示黑板：
①＼ ＼ ＼ 两端都种
②＼ ＼ ＼ 或 ＼ ＼ ＼一端栽种
③ ＼ ＼ ＼ 两端都不种
师生共同小结得出：两端都种：棵数=段数 1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。
师：为什么两端都种：棵数=段数 1？为什么两端都不种：棵数=段数-1？然后引导学生去思考“＼”一棵树对应“ ”一段路，两端都种最后“＼”一棵树没有对应的一段路，所以棵数=段数 1；两端都不种，最后一段路没有对应的树，所以棵数=段数-1；只有一端栽种，棵数和段数是一一对应的，所以一端栽种：棵数=段数。
线段图具有半抽象半具体的特点，用线段图画图，学生有凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础结合，又渗透一一对应的思想，把数转化成形，学生分清楚植树问题的三种情况后，再联系生活中的植树问题：如站点问题，灯塔问题，学生学习起来就容易了。
2. 数形结合，拓宽解题思路，发展学生的数学思维
运用数形结合的策略，不仅可以帮助学生理清思路，找到解决问题的方法，更重要的是，由于形象思维与抽象思维的协调运用，找到了解决问题的方法，拓宽了解题思路，促进了学生思维的灵活性和创造性。如：有一块长80分米，宽65分米的布，如果把它裁剪成边长5分米的方巾，那么最多可以裁剪成这样的方巾几块？让学生审题后，在长方形图上画裁剪示意图。学生列出算式（80÷5）×（65÷5）、80×65÷（5×5）两种方法。然后教师再引导如果布的长是78分米，宽是62分米，那么最多可以裁剪成这样的方巾几块？学生受上一题思维的影响列出算式（78÷5）×（62÷5）、78×62÷（5×5），让学生通过计算发现答案不一样，思考为什么？然后让学生再画出裁剪示意图，在画思维过程中，发现这次不是全部都能用完，有边角料了。比较这两种计算方法，哪种方法更全面，更万能，学生认识到第二种方法——用大面积÷小面积的局现性。在这个片段中，数形结合很好地促进学生联系实际思考问题，把数量关系的问题转化为图形的数学教学问题讨论，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，再到找到代表性的方法，学生变得更聪明了。
数形结合的思想，不仅有助于数学各个领域的融会贯通，而且有助于发挥数学思维的整体性，使之更为深刻、灵活，是现代数学教学中强调的基本思想之一。因此，教师要在整个小学阶段，将数形结合等数学思想方法贯彻始终。正如拉格朗日所说的那样：“当数与形分道扬鑣的时候，数学的进展就缓慢，应用也有限。但是，一旦它们联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜活力，从而大踏步地走向各自的完美。”
参考文献
[1]陈红霞.以形数助化难为易——试谈数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].湖北教育（教育教学），2010（03）.
[2]汪渭芳.“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J].小学教学参考，2010（17）.
[3]袁艳梅.数形结合思想在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2011（20）.