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三角恒等式的证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），不论采用什么证明方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点，从角、函数名称、运算关系这三个方面寻找差异，从这其中某一方面入手努力去消灭差异，特别是角的差异，盯住消灭差异这个目标对等式进行恒等变换，消灭了差异，往往就证出了等式．
1．无条件三角恒等式的证明遵循化简原则
无条件三角恒等式的证明的基本思路是化简，常用方法有：化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”．
思路一：“化繁为简”
例1 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]．
分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角公式化简到右边.
证明[∵]左式=[32sin40∘2-1cos40∘2]
[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘cos240∘]
[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘cos240∘]
[=4⋅22(32cos40∘+12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘cos40∘)2]
[=16sin100∘sin20∘sin280∘=16sin80∘sin20∘sin280∘=16sin20∘sin80∘]
[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=]右边．
点评 在证明三角恒等式时，若无明确思路，则可先将式子化繁为简，化简三角函数式的常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
思路二：“左右归一”
例2 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]
分析 左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证．
证明左边=[sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]
[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2]，
右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2]，
所以左边[=]右边，故等式成立．
点评 将三角函数式化简时，可能从左化到右，也可能从右化到左，还可能从两边化到中间，关键是要遵循化简的原则，能正确运用三角公式，采用切割化弦、通分、平方降次、1的代换等方法技巧来进行化简．
思路三：“化差为零”
例3 求证：[cosα+1-sinαcosα+1+sinα=1+sinαcosα]．
分析 左式-右式，通过运用同角三角函数公式及[1=sin2α+cos2α]等公式的化简，得左式-右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.
证明左边-右边[=]
[cosα+1-sinα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+1+sinαcosα+1+sinα⋅cosα,]
∵分子[=cos2α+cosα+sinαcosα-cosα-1+]
[sinα-sinαcosα-sinα+sin2α]
[=cos2α+sin2α-1=0]，
∴左边-右边[=][0]．
点评 化差为零的方法可将棘手的证明问题转化为同学们熟知的计算问题．
思路四：“等价化归”
例4 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．
分析先转换命题，将分式整式化：[sin(2α+β)-][2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=][(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论．
证明[sin(2α+β)-2cosα+βsinα]
[=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
[=sin[(α+β)-α]=sinβ]，
两边同除以[sinα]，
得[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．
点评 证明三角恒等式，有时需要对原命题作整体的转化．
2．有条件三角恒等式的证明遵循目标消差原则
有条件三角恒等式的证明的基本思路是盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，包括角的差异、函数名称的差异、运算关系的差异，特别是角的差异，常用方法有代入法、消元法、综合法、分析法等.
例5 已知[5sinβ=sin(2α+β),]
求证：[tan(α+β)tanα][=32]．
分析 从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是[α+β、α，]而已知条件中的两个角可以用[α+β、][α]来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可．
证明[∵5sinβ=sin(2α+β)，]
[∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，]
[∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，]
即[4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，]
[∴ tan(α+β)tanα=32.]
点评 三角条件的证明关键是要比较条件等式与结论等式等式的差异，再用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换来变角变次变名称，使两等式之间的“异”转化为“同”．
例6已知：[sinα=a⋅sinβ,tanα=b⋅tanβ，]
求证：[cos2α=a2-1b2-1].
分析可以采用消元法，注意到结论中没有关于[β]的相关函数，故可由条件消[β].
证明[∵][sinα=a⋅sinβ,] [∴cscβ=asinα]，①
[∵tanα=b⋅tanβ,] [∴cotβ=btanα]， ②
将①②式平方后相减，得
[csc2β-cot2β=a2sin2α-b2tan2α=1]，
即[a2sin2α-b2cos2αsin2α=1]，
[∴][a2-b2cos2α=sin2α=1-cos2α]，
[∴][(b2-1)cos2α=a2-1]，[∴][cos2α=a2-1b2-1]．
点评 证明条件三角恒等式的方法是消元法，即代入法、换元法等；解题的基本途径是利用给定的条件把问题转化一般恒等式的证明．如：本题还可以由给定条件求得[a=sinαsinβ,b=tanαtanβ]，代入结论中的右边，消去[a、b，]即可将原问题转化为无条件三角恒等式的证明问题．
证明三角恒等式的基本思路是：首先观察条件与结论的差异，从消灭差异入手，确定从结论开始变换，还是变换条件得出结论，甚至整体转换命题. 消差时往往先从两边的角入手——变角，将表达式中出现较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．
1．无条件三角恒等式的证明遵循化简原则
无条件三角恒等式的证明的基本思路是化简，常用方法有：化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”．
思路一：“化繁为简”
例1 求证：[3sin240∘-1cos240∘=32sin10∘]．
分析 从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角公式化简到右边.
证明[∵]左式=[32sin40∘2-1cos40∘2]
[=3cos40∘2-sin40∘2sin240∘cos240∘]
[=3cos40∘+sin40∘3cos40∘-sin40∘sin240∘cos240∘]
[=4⋅22(32cos40∘+12sin40∘)(32cos40∘-12sin40∘)(2sin40∘cos40∘)2]
[=16sin100∘sin20∘sin280∘=16sin80∘sin20∘sin280∘=16sin20∘sin80∘]
[=32sin10∘cos10∘cos10∘=32sin10∘=]右边．
点评 在证明三角恒等式时，若无明确思路，则可先将式子化繁为简，化简三角函数式的常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
思路二：“左右归一”
例2 求证：[tanθ(1+sinθ)+sinθtanθ(1+sinθ)-sinθ=tanθ+sinθtanθsinθ.]
分析 左右两式通过“切割化弦”及应用倍角公式，都可得到一个共同的值[cotθ2]，因而得证．
证明左边=[sinθcosθ(1+sinθ)+sinθsinθcosθ(1+sinθ)-sinθ=1+cosθ+sinθ1+sinθ-cosθ]
[=2sinθ2cosθ2+2cos2θ22sinθ2cosθ2+2sin2θ2=cosθ2sinθ2=cotθ2]，
右边[=sinθcosθ+sinθsinθcosθ⋅sinθ=1+cosθsinθ=2cos2θ22sinθ2cosθ2=cotθ2]，
所以左边[=]右边，故等式成立．
点评 将三角函数式化简时，可能从左化到右，也可能从右化到左，还可能从两边化到中间，关键是要遵循化简的原则，能正确运用三角公式，采用切割化弦、通分、平方降次、1的代换等方法技巧来进行化简．
思路三：“化差为零”
例3 求证：[cosα+1-sinαcosα+1+sinα=1+sinαcosα]．
分析 左式-右式，通过运用同角三角函数公式及[1=sin2α+cos2α]等公式的化简，得左式-右式[=0]，从而得左式[=]右式，即得证.
证明左边-右边[=]
[cosα+1-sinα⋅cosα-1+sinα⋅cosα+1+sinαcosα+1+sinα⋅cosα,]
∵分子[=cos2α+cosα+sinαcosα-cosα-1+]
[sinα-sinαcosα-sinα+sin2α]
[=cos2α+sin2α-1=0]，
∴左边-右边[=][0]．
点评 化差为零的方法可将棘手的证明问题转化为同学们熟知的计算问题．
思路四：“等价化归”
例4 求证：[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．
分析先转换命题，将分式整式化：[sin(2α+β)-][2cosα+βsinα=sinβ]，再利用角的关系：[2α+β=][(α+β)+α,α+β-α=β]可证得结论．
证明[sin(2α+β)-2cosα+βsinα]
[=sin[(α+β)+α]-2cosα+βsinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα]
[=sin[(α+β)-α]=sinβ]，
两边同除以[sinα]，
得[sin(2α+β)sinα-2cosα+β=sinβsinα]．
点评 证明三角恒等式，有时需要对原命题作整体的转化．
2．有条件三角恒等式的证明遵循目标消差原则
有条件三角恒等式的证明的基本思路是盯住目标，消灭条件等式与结论等式之间的差异，包括角的差异、函数名称的差异、运算关系的差异，特别是角的差异，常用方法有代入法、消元法、综合法、分析法等.
例5 已知[5sinβ=sin(2α+β),]
求证：[tan(α+β)tanα][=32]．
分析 从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是[α+β、α，]而已知条件中的两个角可以用[α+β、][α]来表示，然后再运用两角和差的正余弦公式即可．
证明[∵5sinβ=sin(2α+β)，]
[∴5sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，]
[∴5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα]
[=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，]
即[4sin(α+β)cosα=6cos(α+β)sinα，]
[∴ tan(α+β)tanα=32.]
点评 三角条件的证明关键是要比较条件等式与结论等式等式的差异，再用分析法或综合法寻找正确的证明途径，通过三角恒等变换来变角变次变名称，使两等式之间的“异”转化为“同”．
例6已知：[sinα=a⋅sinβ,tanα=b⋅tanβ，]
求证：[cos2α=a2-1b2-1].
分析可以采用消元法，注意到结论中没有关于[β]的相关函数，故可由条件消[β].
证明[∵][sinα=a⋅sinβ,] [∴cscβ=asinα]，①
[∵tanα=b⋅tanβ,] [∴cotβ=btanα]， ②
将①②式平方后相减，得
[csc2β-cot2β=a2sin2α-b2tan2α=1]，
即[a2sin2α-b2cos2αsin2α=1]，
[∴][a2-b2cos2α=sin2α=1-cos2α]，
[∴][(b2-1)cos2α=a2-1]，[∴][cos2α=a2-1b2-1]．
点评 证明条件三角恒等式的方法是消元法，即代入法、换元法等；解题的基本途径是利用给定的条件把问题转化一般恒等式的证明．如：本题还可以由给定条件求得[a=sinαsinβ,b=tanαtanβ]，代入结论中的右边，消去[a、b，]即可将原问题转化为无条件三角恒等式的证明问题．
证明三角恒等式的基本思路是：首先观察条件与结论的差异，从消灭差异入手，确定从结论开始变换，还是变换条件得出结论，甚至整体转换命题. 消差时往往先从两边的角入手——变角，将表达式中出现较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略．