摘要：本文给出了整数标准分解式的数论函数β（n，p）和它的均值∑p≤nβ（n，p）的定义，推出均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式公式。
　　关键词：数论函数；均值；渐近公式
　　一、 引言与主要结论
　　在[1]的第68个问题中，p为一个素数，给一数列k=ep（n），k为p在n的标准分解式中的指数。本文给出n的标准分解式中的数论函数β（n，p）的定义，推出并证明了均值∑p≤nβ（n，p）的渐近公式。本文中[x]表示不超过x的最大整数，a（m，p）表示m在p进制表示中数字之和。用π（x）表示不超过x所有素数的个数，并且
　　π（x）=xlnx a2xln2x … akxlnkx O（xlnk 1x）；
　　定义1设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，如果n=a1p a2p2 … asps其中
　　1≤ai≤p-1，i=1，2，…，s，称a（n，p）为n在p进制中数字之和函数，即a（n，p）=∑si=1ai。
　　定义2设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，n=pk11pk22…pktt（pi为素数），称β（n，p）为p在n的标准分解式中的指数函数，它的值为p在n的标准分解式中的指数；B（n，P）=∑p≤nβ（n，p）为函数β（n，p）的均值。
　　定理设p（p≥2）为任意素数，n为给定一个正整数，则
　　∑p≤nβ（n，p）=nlnn lnlnn c c1lnn c2ln2n c3ln3n … cklnkn O（1lnk 1n）
　　其中k是任意的正整数，ci（i=1，2，…）是一些可计算的常数。
　　二、 相关引理及定理的证明
　　引理1设n为任意正整数，p为素数，α（n，p）表示p在n！标准分解式中的指数，则
　　α（n，p）≡∑
　　SymboleB@ i=1npi=1p-1（n-a（n，p）），（1）
　　引理2在n的标准分解式中质因数p（p≥2）的指数
　　β（n，p）≡∑
　　SymboleB@ i=1npi-n-1pi=1p-1（1 a（n-1，p）-a（n，p）），（2）
　　引理3設n为任意正整数，p为素数，则a（n，p）≤p-1lnplnn。（3）
　　下面进行定理的证明
　　证明：因为∑p≤nβ（n，p）=∑p≤nβ（n，p） ∑n　　等式右边第一部分由引理2可知
　　∑p≤nβ（n，p）
　　=∑p≤n1p-1（1 a（n-1，p）-a（n，p））
　　=∫n321xdπ（x） A O（1n） ∑p≤na（n-1，p）-a（n，p）p-1。（4）
　　又因为
　　∫n321xdπ（x）=lnlnn B a31lnn a32ln2n … a3klnkn O（1lnk 1n）
　　由引理3得
　　∑p≤na（n，p）p-1≤∑p≤nlnnlnp=lnn∑p≤n1lnp≤lnn∑p≤n1≤nlnn，
　　于是，∑p≤nβ（n，p）=nlnn lnlnn a a31lnn a32ln2n … a3klnkn O（1lnk 1n）
　　所以，∑p≤nβ（n，p）=nlnn lnlnn c c1lnn c2ln2n c3ln3n … cklnkn O（1lnk 1n）。
　　证毕。
　　参考文献：
　　[1]F.Smarandache.only problem，not solutions.Xiquan Publ.House.Chicage，1993，54—55.
　　作者简介：
　　车雨红，陕西省渭南市，渭南师范学院数理学院。