论文部分内容阅读
数学是一门思维学科，涉及到多种的思维方法与思维策略，因思维水平的差异以及思考的切入点不同，会导致运算繁简不一，因此，在数学的解题中，如何对思维策略进行优化选择显得至关重要.“多考一点思，少考一点算”，在近几年各省的高考数学考查中越来越成为一种趋势，尤其体现在试卷中的选择题与填空题.这些“小题”不仅在命题的方式上推陈出新，而且对于学生思维敏捷性、灵活性与深刻性提出了更高的要求，不容小觑.本文结合近两年的高考题及地市质检题，从数学思想应用的角度诠释“多思少算”在“小题”中的作用，以期能对读者有所启示，有所帮助.
一、从特殊与一般思想的角度思考
数学研究的过程体现了由特殊到一般、由一般到特殊思想的应用，尤其是高中数学的的选择题与填空题特别重视这一思想的考查，突出体现特殊化方法的作用.常用的特殊化方法主要有：构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊图形、特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等.
例1 （2012年湖南卷理科第15题）如图1，在平行四边形ABCD中，
AP⊥BD，垂足为P，且
AP=3，则
AP•AC=.
解析 :联想到符合条件的特殊平行四边形——正方形,只需观察便可获解.
如图2，正方形ABCD中，点P恰为对角线AC与BD的交点，所以
AC=2AP，所以
AP•AC=
2AP2=
2|AP|2=18.
例2 （2012年浙江卷理科第17题）设a∈
R，若
x>0时均有
［(a-1)x-1］(x2-ax-1)≥0
，则
a= .
解析 :本题求解的关键在于理解不等式对任意的正数恒成立这一条件，而且所求实数a并非是取值范围问题，由此判断a应为某一定值，故x可取几个特殊正数代入快速判断验证.
当x=1时，不等式等价于a(a-2)≤0，所以0≤a≤2.
当x=2时，不等式等价于(2a-3)2≤0，所以
a=3 2，此时不等式
(x-2)2(2x+1)≥0对于
x>0恒成立，符合题意.故
a=3 2.
例3 （2013年四川卷理科第10题）设函数
f (x)=ex+x-a(a∈
R，e为自然对数的底数）．若曲线
y=sinx上存在(x0,y0)使得f (f (y0))=y0，则a的取值范围是（ ）
(A) ［1,e］ (B) ［e-1-1,1］
(C)
［1,1+e］ 〖DW〗(D) ［e-1-1,e+1］
解析 :本题的难点在于条件f (f (y0))=y0的理解，这实际是函数的“稳定点”问题，大部分学生并无接触，很难抓住其本质来解题，但若能从选项的角度判断，则a只需取0与e+1两值验证即可，这种方法在求解取值范围类型的选择题中非常有效.
曲线y=sinx上存在(x0,y0)使得
f (f (y0))=y0，则
y0∈［0,1］.（1）当a=0时，函数
f (x)=
ex+x，由于
f (x)是定义域上的增函数，所以
f (y0)≥f (0)=1，即
f (f (y0))≥f (1)=
e+1>0,矛盾，不合题意舍去，排除
(B)(D)；（2）当
a=e+1时，函数
f (x)=ex+x-e-1，由于
f (x)是定义域上的增函数，所以
f (y0)≥f (0)，但
f (0)不存在，不合题意舍去，排除
(C).综上所述，应选(A).
二、从数形结合思想的角度思考
数形结合的重点在于研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中最显优越，要重视培养这种思想意识.正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”
例4 （2013年辽宁卷理科第11题）已知函数
f (x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f (x),
g(x)}， H2(x)=min
{f (x),g (x)},(max{p,q}
表示p,q中的较大值，
min{p,q}表示p,q中的较小值).记
H1(x)的最小值为A,H2(x)的最小值为B,则A-B=（）
(A) a2-2a-16(B) a2+2a-16
(C) -16 〖DW〗(D) 16
解析 :本题涉及创新概念，题目背景陌生，而且两个二次函数唯一清楚的是开口方向，直接求解较为困难.运用解决二次函数的一般方法，将函数
f (x),g(x)配方后可观察发现：函数f (x)与g(x)的图象相互过对方的顶点且开口方向恰好相反，通过作图可直观、形象地展示题意，这是本题获解的关键所在.
配方得：f (x)=［x-(a+2)］2-4a-4,g(x)=-［x-(a-2)］2-4a+12.
作出函数f (x),g(x)的图象如图3所示.
根据题意，函数H1(x)的图象为图3中实线部分,函数
H2(x)的图象为图3中虚线部分.
观察图象得：
A=-4a-4,B=-4a+12，
所以A-B=-16，故应选(C).
例5 （2013年湖南卷理科第6题）已知a,b
是单位向量，
a
•b
=0
.若向量c
满足|c-a-b
|=1，则|c
|的取值范围是（）
(A) ［2-1,2+1］
(B) ［2-1,2+2］
(C) ［1,2+1］〖DW〗(D)
［1,2+2］
解析 :向量具有数与形的双重身份，若能根据条件作出图象，往往起着意想不到的效果.作
OA=a
，OB=b
,以OA,OB为邻边作正方形
OAPB，则
OP=
a+b
.
过点O作
OC=c
，则
c[WTBX]-a[WTBX]-b[WTBX]
=
OC-
OP=
PC，所以
|PC|=1，
即点C在以点P为圆心，半径为1的圆上，如图4所示.
观察图象得：当点C、O、P三点共线时，
|c
|
取最值，最大值为
2+1，
最小值为2-1，所以|c
|的取值范围是［2-1,2+1］，故应选(A).
三、从化归与转化思想的角度思考
数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换，可见数学变换思想的重要性.针对面临的数学问题，或变换问题的条件，或变换问题的结论，或变换问题的内在结构，或变换问题的外部表现形式，实现生疏到熟悉，复杂到简单，抽象到直观、含糊到明朗的转变，有关问题的解决会更趋灵活.
例6 （2013年新课标全国卷Ⅰ理科第16）若函数f (x)=
(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f (x)的最大值是 .
解析 :这一道考查函数性质与导数知识结合的综合问题，作为填空题的压轴题，对于学生解题能力的要求很高，若利用通法求解有相当难度.本题的求解可分为两部分：一是求a、b的值；再是求f (x)的最大值.观察函数式易得
±1是函数f (x)的两个零点，由函数的对称性可将第一部分问题转化为二次方程的根的问题；考虑到函数图象的左右平移并不影响函数之最值，将函数f (x)的图象向右平移两个单位长度，从而将第二部分问题转化为求二次函数的最值问题，问题的解决显得自然、简洁.
由函数的对称性可知方程x2+ax+b=0的两根为
-3与-5，所以
a=8,b=15，所以
f (x)=(1+x)(1-x)(x+3)(x+5)，所以f (x-2)=
(x2-1)(9-x2)=-(x2-1)2+16≤16，
所以f (x)的最大值是16.
例7 （2013年福建省三明市质检卷理科第15题）已知函数
f (x)=a1sin(ωx+φ1)+
a2sin(ωx+φ2)+…+aksin
(ωx+φk)(ai∈
R,i=1,2,3,…,k)
.若
f 2(0)+f 2(π 2ω)≠0
,且函数f (x)的图象关于点(π 2,0)对称，并在
x=π处取得最小值，则正实数ω的值构成的集合是.
解析 :本题的问题本质晦涩难懂，若不能很好地观察理解，会事倍功半.将函数式展开整理后发现：条件
f 2(0)+
f 2(π 2ω)≠0
恰能使函数式化为f (x)=
Asin(ωx+φ)(A≠0)的基本形式，这是解题的关键所在.而题设剩下的条件与三角函数的周期性密切相关，从而可将问题转化为“已知三角函数的周期求参数ω的范围”这一非常浅显易懂、熟悉的类型.
依题意有：
π 2=3 4T+kT
或π 2=1 4T+kT(k∈
Z).由于函数f (x)的周期为
T=2π ω，所以
ω=4k+3或4k+1
，即ω=2k+1(k∈
Z).故正实数ω的值构成的集合是
{ω|ω=2k-1,k∈
N*}.
四、从函数与方程思想的角度思考
函数与方程是密切联系的，它们之间相辅相成、相互转化，尤其是在研究方程、不等式、以及讨论参数的取值范围等问题中发挥着至关重要的作用.
例8（2012年浙江卷理科第9题）设a>0,b>0,则（ ）
(A)若2a+2a=2b+3b，则a>b
(B)若2a+2a=2b+3b，则a
(C)若2a-2a=2b-3b，则a>b
(D)若2a-2a=2b-3b，则a
解析 :根据选项中等式左右两边的特征差异，(A)、(B)选项可构造函数
f (x)=2x+2x
，(C)、(D)选项可构造函数
g(x)=2x-2x，再利用导数借助函数单调性来判断.
观察选项，构造f (x)=2x+2x(x>0)求导得：
f ′(x)=2x•ln2+2>0，所以函数
f (x)在
(0,+∞)上单调递增.若
f (a)=f (b)+b，则
f (a)-f (b)=b>0，即
f (a)>f (b)，所以a>b，故选(A).
例9 （2013年江苏卷第11题）已知f (x)是定义在
R上的奇函数.当
x>0时，
f (x)=x2-4x，则不等式f (x)>x的解集用区间表示为．
解析 :本题常规思路是求出x<0时f (x)的解析式，再结合分类讨论的思想方法来求解不等式组，麻烦.注意到奇函数的图
像关于原点对称这一性质，便可较为轻松地作出函数f (x)的图象，利用“不等式
f (x)>x表示函数y=f (x)的图象在直线y=x的上方”这一问题本质使问题解决更直观.
如图5所示，直线y=x与函数f (x)的图象交于P(5,5),
Q(-5,-5)两点，观察图象即可得所求解集为(-5,0)∪(5,+∞).
从以上的分析不难发现：数学概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，使“多思少算”成为了可能.伽利略曾说过:“一切推理都必须从观察与实验中得来.”在求解数学问题的过程中，必须根据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，大胆联想, 深挖条件,透过表面现象看清问题本质，找出解题的规律, 确定解题思路，减少繁琐的计算，使问题的解决事半功倍.因此，我们在平时应该着重培养学生的观察能力与思维能力，只有这样，“多思少算”才不会是一句空话.这不仅有助于学生对数学本质的理解,而且能大幅提高学生继续学习应具备的数学素养和潜能.
一、从特殊与一般思想的角度思考
数学研究的过程体现了由特殊到一般、由一般到特殊思想的应用，尤其是高中数学的的选择题与填空题特别重视这一思想的考查，突出体现特殊化方法的作用.常用的特殊化方法主要有：构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊图形、特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等.
例1 （2012年湖南卷理科第15题）如图1，在平行四边形ABCD中，
AP⊥BD，垂足为P，且
AP=3，则
AP•AC=.
解析 :联想到符合条件的特殊平行四边形——正方形,只需观察便可获解.
如图2，正方形ABCD中，点P恰为对角线AC与BD的交点，所以
AC=2AP，所以
AP•AC=
2AP2=
2|AP|2=18.
例2 （2012年浙江卷理科第17题）设a∈
R，若
x>0时均有
［(a-1)x-1］(x2-ax-1)≥0
，则
a= .
解析 :本题求解的关键在于理解不等式对任意的正数恒成立这一条件，而且所求实数a并非是取值范围问题，由此判断a应为某一定值，故x可取几个特殊正数代入快速判断验证.
当x=1时，不等式等价于a(a-2)≤0，所以0≤a≤2.
当x=2时，不等式等价于(2a-3)2≤0，所以
a=3 2，此时不等式
(x-2)2(2x+1)≥0对于
x>0恒成立，符合题意.故
a=3 2.
例3 （2013年四川卷理科第10题）设函数
f (x)=ex+x-a(a∈
R，e为自然对数的底数）．若曲线
y=sinx上存在(x0,y0)使得f (f (y0))=y0，则a的取值范围是（ ）
(A) ［1,e］ (B) ［e-1-1,1］
(C)
［1,1+e］ 〖DW〗(D) ［e-1-1,e+1］
解析 :本题的难点在于条件f (f (y0))=y0的理解，这实际是函数的“稳定点”问题，大部分学生并无接触，很难抓住其本质来解题，但若能从选项的角度判断，则a只需取0与e+1两值验证即可，这种方法在求解取值范围类型的选择题中非常有效.
曲线y=sinx上存在(x0,y0)使得
f (f (y0))=y0，则
y0∈［0,1］.（1）当a=0时，函数
f (x)=
ex+x，由于
f (x)是定义域上的增函数，所以
f (y0)≥f (0)=1，即
f (f (y0))≥f (1)=
e+1>0,矛盾，不合题意舍去，排除
(B)(D)；（2）当
a=e+1时，函数
f (x)=ex+x-e-1，由于
f (x)是定义域上的增函数，所以
f (y0)≥f (0)，但
f (0)不存在，不合题意舍去，排除
(C).综上所述，应选(A).
二、从数形结合思想的角度思考
数形结合的重点在于研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中最显优越，要重视培养这种思想意识.正如著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”
例4 （2013年辽宁卷理科第11题）已知函数
f (x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f (x),
g(x)}， H2(x)=min
{f (x),g (x)},(max{p,q}
表示p,q中的较大值，
min{p,q}表示p,q中的较小值).记
H1(x)的最小值为A,H2(x)的最小值为B,则A-B=（）
(A) a2-2a-16(B) a2+2a-16
(C) -16 〖DW〗(D) 16
解析 :本题涉及创新概念，题目背景陌生，而且两个二次函数唯一清楚的是开口方向，直接求解较为困难.运用解决二次函数的一般方法，将函数
f (x),g(x)配方后可观察发现：函数f (x)与g(x)的图象相互过对方的顶点且开口方向恰好相反，通过作图可直观、形象地展示题意，这是本题获解的关键所在.
配方得：f (x)=［x-(a+2)］2-4a-4,g(x)=-［x-(a-2)］2-4a+12.
作出函数f (x),g(x)的图象如图3所示.
根据题意，函数H1(x)的图象为图3中实线部分,函数
H2(x)的图象为图3中虚线部分.
观察图象得：
A=-4a-4,B=-4a+12，
所以A-B=-16，故应选(C).
例5 （2013年湖南卷理科第6题）已知a,b
是单位向量，
a
•b
=0
.若向量c
满足|c-a-b
|=1，则|c
|的取值范围是（）
(A) ［2-1,2+1］
(B) ［2-1,2+2］
(C) ［1,2+1］〖DW〗(D)
［1,2+2］
解析 :向量具有数与形的双重身份，若能根据条件作出图象，往往起着意想不到的效果.作
OA=a
，OB=b
,以OA,OB为邻边作正方形
OAPB，则
OP=
a+b
.
过点O作
OC=c
，则
c[WTBX]-a[WTBX]-b[WTBX]
=
OC-
OP=
PC，所以
|PC|=1，
即点C在以点P为圆心，半径为1的圆上，如图4所示.
观察图象得：当点C、O、P三点共线时，
|c
|
取最值，最大值为
2+1，
最小值为2-1，所以|c
|的取值范围是［2-1,2+1］，故应选(A).
三、从化归与转化思想的角度思考
数学家G.波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换，可见数学变换思想的重要性.针对面临的数学问题，或变换问题的条件，或变换问题的结论，或变换问题的内在结构，或变换问题的外部表现形式，实现生疏到熟悉，复杂到简单，抽象到直观、含糊到明朗的转变，有关问题的解决会更趋灵活.
例6 （2013年新课标全国卷Ⅰ理科第16）若函数f (x)=
(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f (x)的最大值是 .
解析 :这一道考查函数性质与导数知识结合的综合问题，作为填空题的压轴题，对于学生解题能力的要求很高，若利用通法求解有相当难度.本题的求解可分为两部分：一是求a、b的值；再是求f (x)的最大值.观察函数式易得
±1是函数f (x)的两个零点，由函数的对称性可将第一部分问题转化为二次方程的根的问题；考虑到函数图象的左右平移并不影响函数之最值，将函数f (x)的图象向右平移两个单位长度，从而将第二部分问题转化为求二次函数的最值问题，问题的解决显得自然、简洁.
由函数的对称性可知方程x2+ax+b=0的两根为
-3与-5，所以
a=8,b=15，所以
f (x)=(1+x)(1-x)(x+3)(x+5)，所以f (x-2)=
(x2-1)(9-x2)=-(x2-1)2+16≤16，
所以f (x)的最大值是16.
例7 （2013年福建省三明市质检卷理科第15题）已知函数
f (x)=a1sin(ωx+φ1)+
a2sin(ωx+φ2)+…+aksin
(ωx+φk)(ai∈
R,i=1,2,3,…,k)
.若
f 2(0)+f 2(π 2ω)≠0
,且函数f (x)的图象关于点(π 2,0)对称，并在
x=π处取得最小值，则正实数ω的值构成的集合是.
解析 :本题的问题本质晦涩难懂，若不能很好地观察理解，会事倍功半.将函数式展开整理后发现：条件
f 2(0)+
f 2(π 2ω)≠0
恰能使函数式化为f (x)=
Asin(ωx+φ)(A≠0)的基本形式，这是解题的关键所在.而题设剩下的条件与三角函数的周期性密切相关，从而可将问题转化为“已知三角函数的周期求参数ω的范围”这一非常浅显易懂、熟悉的类型.
依题意有：
π 2=3 4T+kT
或π 2=1 4T+kT(k∈
Z).由于函数f (x)的周期为
T=2π ω，所以
ω=4k+3或4k+1
，即ω=2k+1(k∈
Z).故正实数ω的值构成的集合是
{ω|ω=2k-1,k∈
N*}.
四、从函数与方程思想的角度思考
函数与方程是密切联系的，它们之间相辅相成、相互转化，尤其是在研究方程、不等式、以及讨论参数的取值范围等问题中发挥着至关重要的作用.
例8（2012年浙江卷理科第9题）设a>0,b>0,则（ ）
(A)若2a+2a=2b+3b，则a>b
(B)若2a+2a=2b+3b，则a
(C)若2a-2a=2b-3b，则a>b
(D)若2a-2a=2b-3b，则a
解析 :根据选项中等式左右两边的特征差异，(A)、(B)选项可构造函数
f (x)=2x+2x
，(C)、(D)选项可构造函数
g(x)=2x-2x，再利用导数借助函数单调性来判断.
观察选项，构造f (x)=2x+2x(x>0)求导得：
f ′(x)=2x•ln2+2>0，所以函数
f (x)在
(0,+∞)上单调递增.若
f (a)=f (b)+b，则
f (a)-f (b)=b>0，即
f (a)>f (b)，所以a>b，故选(A).
例9 （2013年江苏卷第11题）已知f (x)是定义在
R上的奇函数.当
x>0时，
f (x)=x2-4x，则不等式f (x)>x的解集用区间表示为．
解析 :本题常规思路是求出x<0时f (x)的解析式，再结合分类讨论的思想方法来求解不等式组，麻烦.注意到奇函数的图
像关于原点对称这一性质，便可较为轻松地作出函数f (x)的图象，利用“不等式
f (x)>x表示函数y=f (x)的图象在直线y=x的上方”这一问题本质使问题解决更直观.
如图5所示，直线y=x与函数f (x)的图象交于P(5,5),
Q(-5,-5)两点，观察图象即可得所求解集为(-5,0)∪(5,+∞).
从以上的分析不难发现：数学概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，使“多思少算”成为了可能.伽利略曾说过:“一切推理都必须从观察与实验中得来.”在求解数学问题的过程中，必须根据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，大胆联想, 深挖条件,透过表面现象看清问题本质，找出解题的规律, 确定解题思路，减少繁琐的计算，使问题的解决事半功倍.因此，我们在平时应该着重培养学生的观察能力与思维能力，只有这样，“多思少算”才不会是一句空话.这不仅有助于学生对数学本质的理解,而且能大幅提高学生继续学习应具备的数学素养和潜能.