摘要：级数是数与函数的一种重要表示形式，是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛，关于调和级数发散性的各种方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理，其中有些采用了与原证不同的叙述，但比原证更加具体明了。
　　关键词：调和级数；发散性；部分和；积分法
　　中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）16-0203-02
　　1 引言
　　级数是数与函数的一种重要表示形式，是微积分理论研究与实际应用中的一种强有力的工具。而在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。关于调和级数发散性的各种方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别是在其证明方面能起到举一反三、融会贯通的作用。本文对调和级数发散性的证明方法进行了整理，其中有些采用了与原证不同的叙述，但比原证更加具体明了。
　　2 调和级数的证明方法
　　证法一：利用柯西收敛原理证明[1]
　　证明：令ε■=■，？坌n∈N
　　由S■-S■=■ ■ … ■
　　>■
　　=■>■
　　∴该级数发散
　　证法二：利用比阶判敛法证明
　　证明：当P=1时，■n■·■=■n·■=1>0
　　根据比阶判敛法可知，级数■■发散
　　证法三：利用反证法证明
　　证明：假设级数■■收敛，即1 ■ ■ … ■
　　 …=S
　　∵■>■，n∈N
　　∴S=1 ■ ■ … ■ …
　　=1 ■ （■ ■ ■ …） （■ ■ ■ …）
　　≥1 ■ 2（■ ■ ■ …）
　　=1 ■ （■ ■ ■ …）
　　=■ S
　　即S≥■ S，矛盾
　　∴假设不成立，■■发散
　　证法四：将级数分成两个级数证明
　　证明：■■分为分母是奇数和偶数的两个级数
　　■■=■ ■ ■ ■ … ■ …和？摇
　　■■=1 ■ ■ ■ ■ … ■ …
　　由于1>■>■>■>…>■>…
　　■2■·a■=■■=■■
　　而■■=■
　　∴■2■·a■发散，即■2■·a■=■■=■■发散
　　同理■■=■ ■ ■ … ■ …也发散
　　∴■■发散
　　证法五：应用级数■a■与■2■·a■有相同的敛散性（a■≥a■≥…≥a■≥…≥0）
　　证明：取a■=■（n=1，2，…）1>■>■>…>■>0
　　而级数■2■·a■=■2■·■=■1= ∞发散
　　故调和级数■■发散
　　证法六：利用Bertrand判别法证明■■发散
　　证明：a■=■
　　r=■（lnn）n（■-1）-1
　　？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n（■-1）-1
　　？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n·（■-1）-1
　　？摇？摇？摇？摇=■（lnn）n·■-1
　　=0<1
　　∴级数■■发散
　　证法七：证明部分和数列S■的子列S■发散
　　证明：S■=1 ■ ■ … ■…
　　S■=1 ■ （■ ■） （■ ■ ■ ■） … （■ ■ … ■）
　　>1 ■ 2×■ 4×■ … 2■×■
　　=1 （■）
　　=1 ■
　　∴■S■≥■（1 ■）= ∞
　　即■S■= ∞
　　∴S■发散，从而调和级数■■发散
　　证法八：积分法证明调和级数■■发散
　　证明：取f（x）=■，则f（x）在1， ∞内单调递减连续，且f（n）=■
　　∵■■dx=■■■dx=■lnA= ∞
　　∴■■发散
　　3 关于调和级数■■的应用举例
　　（1）判断级数■■的收敛性。
　　解：∵正项级数■>■=■，
　　而■■发散的调和级数
　　由比较判别法，级数■■发散
　　（2）用比较判别法判断1 ■ ■ ■ … ■
　　 …的敛散性。
　　解：∵u■=■>■
　　又■■=■■■
　　调和级数■■是发散的，故■■发散
　　根据比较判别法■■=1 ■ ■ ■ … ■ …发散
　　4 结语
　　调和级数是判断另外一个级数发散的一种重要工具，该级数的证明方法也精彩纷呈。本文综合了一些证明，也给出了笔者根据有关定理对该级数的证明，有一定的创新意义。
　　参考文献：
　　[1]吉米多维奇.数学分析习题集（4）[M].费定晖，周学圣，译.济南：山东科学技术出版社，2005：2-16.