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摘要：通过比较国内和国外出版的《微积分》《复变函数》教材中关于平面点集的概念体系的不同，指出了国内教材中关于这部分知识在编写上的缺陷，并且提出了修改意见。
关键词：区域 域 开域 闭域
在学习“多元函数微积分”或者“复变函数”时都要先学习平面点集的一些基本概念。也就是将R1中的区间、开区间、闭区间等概念推广到R2中。下面是同济大学数学系编《高等数学（第六版）下册》中给出的关于平面点集的几个概念的定义。
开集：如果点集E 的点都是E 的内点， 则称E为开集。
闭集：如果点集E的边界？坠E？奂E，则称E为闭集。
开集的例子： E={（x， y）|1 闭集的例子： E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。
集合{（x， y）|1 连通集： 如果点集E内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。
区域（或开区域）： 连通的开集称为区域或开区域。例如：E={（x， y）|1 闭区域： 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。例如E={（x， y）|1≤x2+y2≤2}。
国内出版的其他《高等数学》《微积分》和《复变函数》的教材中关于这几个概念的定义都基本相同。根据上述定义不难发现，R1中的开区间、闭区间在R2中分别与区域（开区域）、闭区域相对应，但是R1中的区间在R2中没有与之对应的概念。我们可以说开区间和闭区间都是一种区间，但却不能说开区域和闭区域都是一种区域。因为区域和开区域是同一个概念，所以区域不是开区域和闭区域的属概念，而区间却是开区间和闭区间的属概念。
查阅英文原版教材发现英文版的《微积分》及《复变函数》教材中关于平面点集的概念体系与国内现行教材有差异。下面是美国James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《复变函数及应用（英文版·第7版）》中给出的关于平面点集的几个概念的定义：
A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.
A set is closed if it contains all of its boundary points.
An open set that is connected is called a domain.
A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.
从上面的定义可以看出，“开集（open set）”和“闭集（closed set）”与国内教材是一致的。与“domain”对应的是“区域”，但是英文教材中多了一个“region”，它是“open region”和“closed region”的属概念。如果按照国内教材现行的概念体系，没有与“region”对应的中文术语。在上述英文版教材的中文版中勉强生造了一个术语“带边区域”来翻译“region”，我认为翻译得很不恰当，因为国内教材的概念体系与国外教材的概念体系有冲突，只有将国内教材中的个别概念重新定义和命名，才能找到好的翻译，下面是我的修改建议：
1.废除“区域”的别名“开区域”。
2.在“区域”的基础上定义一个新的概念“域”，与英文中的“region”对应，定义和英文教材中相同：一个区域加上某些、或者不加、或者加上全部的边界点形成的点集称为域。
3.再定义“开域”和“闭域”：一个区域不加任何边界点即区域自身叫做开域，因此开域与区域的外延相同，开域成了区域的新的别名。一個区域加上全部的边界点形成的点集称为闭域。域是开域和闭域的属概念。
按上面的方法修改之后，中文教材中的概念体系就和英文教材中的概念体系完全一致了，“region”也就有了更好的译名：“域”。现代数学本来就是从国外引进，所以在教材的编写上与国际接轨无可厚非。而且比较关于平面点集这部分内容的中外教材，英文教材的概念体系逻辑性更强。有跟“区间”（interval）对应的概念“域”（region），便于从一元函数微积分过渡到多元函数微积分。
最后简单介绍一下这几个概念之间的关系以供教学参考：
1.开集与闭集不是矛盾关系而是交叉关系，因为整个平面R2既是开集又是闭集。所以如果把平面点集分为开集、闭集和既不开也不闭的点集的分类是不科学的，因为科学的分类不允许有重复。开集和闭集的关系可用下图表示：
■
2.区域（开域）和闭域的关系也跟开集和闭集的关系一样是交叉关系，因为整个平面R2既是开域又是闭域。区域（开域）和闭域的关系也用图形来表示：
■
参考文献：
[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版 下册）.北京： 高等教育出版社， 2007.
[2] 钟玉泉.复变函数论（第二版）.北京： 高等教育出版社，1988.
[3] Wilfred Kaplan.高等微积分学（第五版 英文版）.北京： 电子工业出版社， 2004.
[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .复变函数及应用（英文版·第7版）.北京： 机械工业出版社， 2004.
[5] James Ward Brown， Ruel V. Churchill 著，邓冠铁等译.复变函数及应用（原书第7版）北京： 机械工业出版社， 2004.
（责编 高伟）
关键词：区域 域 开域 闭域
在学习“多元函数微积分”或者“复变函数”时都要先学习平面点集的一些基本概念。也就是将R1中的区间、开区间、闭区间等概念推广到R2中。下面是同济大学数学系编《高等数学（第六版）下册》中给出的关于平面点集的几个概念的定义。
开集：如果点集E 的点都是E 的内点， 则称E为开集。
闭集：如果点集E的边界？坠E？奂E，则称E为闭集。
开集的例子： E={（x， y）|1
集合{（x， y）|1
区域（或开区域）： 连通的开集称为区域或开区域。例如：E={（x， y）|1
国内出版的其他《高等数学》《微积分》和《复变函数》的教材中关于这几个概念的定义都基本相同。根据上述定义不难发现，R1中的开区间、闭区间在R2中分别与区域（开区域）、闭区域相对应，但是R1中的区间在R2中没有与之对应的概念。我们可以说开区间和闭区间都是一种区间，但却不能说开区域和闭区域都是一种区域。因为区域和开区域是同一个概念，所以区域不是开区域和闭区域的属概念，而区间却是开区间和闭区间的属概念。
查阅英文原版教材发现英文版的《微积分》及《复变函数》教材中关于平面点集的概念体系与国内现行教材有差异。下面是美国James Ward Brown和Ruel V. Churchill合著的《复变函数及应用（英文版·第7版）》中给出的关于平面点集的几个概念的定义：
A set is open if it contains none of its boundary points. It is left as an exercise to show that a set is open if and only if each of its points is an interior point.
A set is closed if it contains all of its boundary points.
An open set that is connected is called a domain.
A domain together with some， none， or all its boundary points is referred to as a region.
从上面的定义可以看出，“开集（open set）”和“闭集（closed set）”与国内教材是一致的。与“domain”对应的是“区域”，但是英文教材中多了一个“region”，它是“open region”和“closed region”的属概念。如果按照国内教材现行的概念体系，没有与“region”对应的中文术语。在上述英文版教材的中文版中勉强生造了一个术语“带边区域”来翻译“region”，我认为翻译得很不恰当，因为国内教材的概念体系与国外教材的概念体系有冲突，只有将国内教材中的个别概念重新定义和命名，才能找到好的翻译，下面是我的修改建议：
1.废除“区域”的别名“开区域”。
2.在“区域”的基础上定义一个新的概念“域”，与英文中的“region”对应，定义和英文教材中相同：一个区域加上某些、或者不加、或者加上全部的边界点形成的点集称为域。
3.再定义“开域”和“闭域”：一个区域不加任何边界点即区域自身叫做开域，因此开域与区域的外延相同，开域成了区域的新的别名。一個区域加上全部的边界点形成的点集称为闭域。域是开域和闭域的属概念。
按上面的方法修改之后，中文教材中的概念体系就和英文教材中的概念体系完全一致了，“region”也就有了更好的译名：“域”。现代数学本来就是从国外引进，所以在教材的编写上与国际接轨无可厚非。而且比较关于平面点集这部分内容的中外教材，英文教材的概念体系逻辑性更强。有跟“区间”（interval）对应的概念“域”（region），便于从一元函数微积分过渡到多元函数微积分。
最后简单介绍一下这几个概念之间的关系以供教学参考：
1.开集与闭集不是矛盾关系而是交叉关系，因为整个平面R2既是开集又是闭集。所以如果把平面点集分为开集、闭集和既不开也不闭的点集的分类是不科学的，因为科学的分类不允许有重复。开集和闭集的关系可用下图表示：
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2.区域（开域）和闭域的关系也跟开集和闭集的关系一样是交叉关系，因为整个平面R2既是开域又是闭域。区域（开域）和闭域的关系也用图形来表示：
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参考文献：
[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版 下册）.北京： 高等教育出版社， 2007.
[2] 钟玉泉.复变函数论（第二版）.北京： 高等教育出版社，1988.
[3] Wilfred Kaplan.高等微积分学（第五版 英文版）.北京： 电子工业出版社， 2004.
[4] James Ward Brown， Ruel V. Churchill .复变函数及应用（英文版·第7版）.北京： 机械工业出版社， 2004.
[5] James Ward Brown， Ruel V. Churchill 著，邓冠铁等译.复变函数及应用（原书第7版）北京： 机械工业出版社， 2004.
（责编 高伟）