论文部分内容阅读
【摘要】本文以应用数学课程中的两个具体教学任务点为案例，探究如何在应用数学的教学环节恰当融入思政元素，使其达到课程思政润物于无声的目的.旨在通过数学教学改革，推动课程思政显性育人与应用数学隐性育人相结合.
【关键词】应用数学;课程思政;导数;定积分
【基金项目】常州信息职业技术学院第二批课程思政示范课建设项目（应用数学课程常信院委【2020】47号）;常州信息职业技术学院2020校级教育教学改革课题：基于“PAD”模式的《应用数学》课程“混合式”教学探索（课题编号：2020CXJG03）
一、引 言
應用数学作为高职院校大一新生入学的一门公共基础课，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，其中极限、导数和定积分等概念蕴含着丰富的哲学思想和数学方法，能够锻炼学生的理性思维和创新意识.与此同时，应用数学作为通识课程，为学生学习后续相关专业课程、解决实际问题奠定了良好的理论基础，同时能够磨炼学生的意志品质，培养科学精神.
二、“导数的概念”融入思政元素的教学设计
（一）案例引入
播放2019年世界跳水系列赛男子10米台决赛杨健夺冠视频，旨在创设学习情境，使同学们对于变速直线运动物体的瞬时速度有一个比较直观的感受，同时以中国选手杨健夺冠为背景，充分激发出学生的民族自信心和爱国之情.
（二）问题提出
设在10 m高的跳台上，杨健跳离跳台时垂直向上的速度为6.5 m/s，而杨健此时距离水面的高度为h（t）=10-12gt2 6.5t.
（1）请计算2 s～2.1 s内的平均速度;
（2）请计算2 s时刻的瞬时速度.
（三）问题分析
由物理学知识可知，当物体做匀速直线运动时，任何时刻的速度公式都可以表示成
v=st.（1）
但是，在实际问题中，我们往往遇到的是变速运动的物体，因此，上述公式只能计算物体走完某一段路程的平均速度，而我们需要讨论的是物体运动过程中任意时刻的瞬时速度，这是此题的难点所在.
（四）问题求解
设杨健跳水做变速直线运动，运动规律为s=s（t），当时间由t0变到t0 Δt时，物体经过的路程为
Δs=s（t0 Δt）-s（t0）.（2）
于是，Δt这段时间内的平均速度
v-=ΔsΔt=s（t0 Δt）-s（t0）Δt.（3）
对于问题（1），通过让学生自行查阅相关物理知识点，给出某一时间间隔平均速度的正确结果，学生的网络检索能力、分析和解决问题的能力都得到培养和锻炼.我们知道，某一时间段内的平均速度就是所走过的路程比上所用的时间，所以，学生通过待定系数法可以很容易地得出 2 s～2.1 s内的平均速度，即
v-=h（2.1）-h（2）2.1-2=-13.59（m/s）.（4）
对于问题（2），我们以任务驱动为导向，通过让学生自主探究学习，比较和发现其一般规律，以小组协作的方式分工计算出不同时间间隔的平均速度，最终求解出杨健在2 s时刻的瞬时速度.实验发现，通过小组讨论，有的同学很快发现想要直接求解出2 s时刻的瞬时速度不可行，所以采用迂回策略，首先计算2～2 Δt，t∈[2，2 Δt]的平均速度，这里的Δt表示时间间隔，列表格如下：
我们通过观察可以发现，随着时间间隔Δt越来越小，2～2 Δt的平均速度越来越趋近于-13.1 m/s.通过对数列极限的概念和性质的理解，“由已知逼近未知，由近似逼近精确”的极限的思想，同学们最终得出2 s时刻的瞬时速度为-13.1 m/s.所以得出变速直线运动物体的瞬时速度表达式：
v（t0）=limΔt→0h（t0 Δt）-h（t0）Δt.（5）
（五）思政元素
（1）哲学思想——部分与整体.从整体看，此问题是变速运动，但从局部看，在一段很短的时间间隔Δt内，运动速度变化并不大，可以近似地看成是做匀速直线运动，从而当Δt很小时，v-可以看成是物体在t0时刻的瞬时速度的近似值.
（2）哲学思想——否定之否定.直接求解出变速直线运动物体的瞬时速度对于刚接触这一问题的同学来说很难办到，所以可先通过求解不同时间间隔下的平均速度来发现规律，得出结论，再进行归纳总结.
（六）案例反思
对于导数的概念这一知识点，笔者以哲学的视角恰当地渗透思政元素，通过求解平均速度这一数学运算，培养学生严谨务实、精益求精的工匠精神，以及踏实认真、吃苦耐劳的优秀品质，使得其成长为有时代担当的技术型人才.同时，我们将价值导向与知识传授相融合，在传授数学知识、培养应用能力的过程中，弘扬社会主义核心价值观，传播爱国的正能量.
三、“定积分的概念”融入思政元素的教学设计
定积分是应用数学中的重要概念之一，它是从几何学、物理学等学科的某些具体问题中抽象出来的，所以在自然科学的许多领域都具有广泛的应用.
（一）课程导入
介绍微积分理论的发展史：牛顿、莱布尼茨首创之争.
牛顿是英国著名的物理学家、数学家，曾在1666年写下一篇关于“流数术”的短文，但只在一些英国的科学家中流传，没有公开发表，直到1704年，才在其光学著作的附录中首次完整发表了“流数术”.莱布尼茨是德国著名的数学家、物理学家和哲学家，在1675年他已经发现了微积分，但是他也没有及时发表，直到1684年才正式发表微分的发现，两年后又发表了积分的相关研究，在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了整个欧洲，到1696年已有微积分的教科书出版.严格说来，牛顿只是单纯把微积分作为物理学研究的工具解决物体运动的问题，而莱布尼茨从几何学的角度出发解决微积分问题.无论是从发表时间、意识层面还是符号系统，莱布尼茨的影响都更为深远.而在此之后的很长时间里，英国数学家却不愿意接受莱布尼茨的研究成果，他们始终坚持使用落后的微积分符号和过时的数学表达，使得英国的数学研究停滞了一个多世纪，直到1820年，他们才愿意承认其他国家的数学成果，英国数学重新加入主流国际中. 习近平曾在联合国教科文组织总部发表演讲时强调：“文明因交流而多彩，文明因互鉴而丰富.文明交流互鉴，是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.”引入首创之争这一数学史，重在培养学生要有开阔的视野和广阔的胸襟，对于正确的事物要给予认可和肯定，对于错误的事情要及时纠错和改正，形成正确的价值观和大众认同感.
（二）案例引入
借助信息化教学手段，笔者让学生在课前搜索生活中边界线不规则的曲边图形的例子上传至云班课——头脑风暴中，并让学生进一步思考如何求解这些曲边图形的面积.
（三）问题提出
以我校A栋教学楼侧面图（曲边梯形）为例，请学生思考如何求解曲边梯形的面积.
（四）问题分析
在微积分出现以前，想要运用以往所了解的内容直接求解出曲边梯形的面积是一件极为困难的事情.有关面积的求解，人类首先是学会了计算矩形的面积，阿基米德、卡瓦列里等人利用矩形的面积去近似逼近曲边梯形的面积.
师：“同学们，如何计算圆的面积？”
生：“用圆的面积公式S=πr2.”
師：“那么半径为1的单位圆的面积等于多少？”
生：“单位圆的面积等于π.”
师：“好的，现在请同学们和我一起穿越回到没有π的年代，若还想求出单位圆的面积，如何做？”
生：“刘徽的割圆术.”
设计意图：创设问答环节的目的在于增强课堂互动性，提高学生的课堂积极性、主动性.在讲解极限的概念时我们曾经引入过“刘徽的割圆术”，所以同学们可以学以致用.而“割圆术”是我国古代著名数学家刘徽所创，这一成就比欧洲早几千年.引出这段数学史可以提升学生的民族自信心和自豪感.“割圆术”所体现的是一种用已知逼近未知，用近似逼近精确的极限的思想，这种思想可以应用于本节课求解曲边梯形的面积中.
（五）问题求解
（1）分割
化整为零：将一个大的曲边梯形分割成了n个小的曲边梯形（任意分割），以其中一个小曲边梯形的面积求解为例.
（2）近似
局部以直代曲：用小的矩形的面积来近似代替这一部分的小曲边梯形的面积.
（3）求和
积零为整：将n个小的矩形的面积相加求和，得出大的曲边梯形面积的近似值.
（4）取极限
将所有区间无限分割，分割得越来越细，近似的效果就越来越好，从而误差也就逐渐减小.如果最大的区间宽度都能无限减小直至趋近于0，我们通过对其趋近于0取极限，就能求得关于曲边梯形面积的精确值.
（六）思政元素
哲学思想——对立统一.从定积分的解题思想看，此问题充分展现了过程与结果的对立与统一规律.比如，欲求解曲边梯形的面积，我们没有直接入手求解，而是首先选择去求解看似对立的直边图形（矩形）的面积，但这并不意味着求直边图形（矩形）的面积与曲边梯形的面积是截然相反、格格不入的，它们之间实则存在着既对立又统一的内在联系.
哲学思想——质变量变.将有限个矩形的面积相加求和，永远也不可能等于曲边梯形的精确面积，但是运用无限趋近的极限思想则可达到质变到量变的本质变化.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过求解极限，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化.因此，近似与精确既是对立统一又是质变量变的关系.
定积分概念的思想方法十分重要，在后面的章节中（如重积分、曲线积分、曲面积分等内容）都采用了相同的思想方法和求解步骤.
四、结束语
作为新时代的青年教师，我们将围绕建设文化强国、教育强国、人才强国的目标，坚持用习近平新时代中国特色社会主义思想铸魂育人，全面落实立德树人根本任务，立足“三教改革”“三全育人”，努力在课程思政、创新团队建设等改革实践中创新突破、砥砺奋进，为我们学校的应用数学课程的教学改革贡献青年力量.
【参考文献】
[1]吕同富.高等数学及其应用：第3版[M].北京：高等教育出版社，2018.
[2]王丹.“高职数学”课程思政的建设研究[J].科教导刊，2020（05）：137-138.
【关键词】应用数学;课程思政;导数;定积分
【基金项目】常州信息职业技术学院第二批课程思政示范课建设项目（应用数学课程常信院委【2020】47号）;常州信息职业技术学院2020校级教育教学改革课题：基于“PAD”模式的《应用数学》课程“混合式”教学探索（课题编号：2020CXJG03）
一、引 言
應用数学作为高职院校大一新生入学的一门公共基础课，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，其中极限、导数和定积分等概念蕴含着丰富的哲学思想和数学方法，能够锻炼学生的理性思维和创新意识.与此同时，应用数学作为通识课程，为学生学习后续相关专业课程、解决实际问题奠定了良好的理论基础，同时能够磨炼学生的意志品质，培养科学精神.
二、“导数的概念”融入思政元素的教学设计
（一）案例引入
播放2019年世界跳水系列赛男子10米台决赛杨健夺冠视频，旨在创设学习情境，使同学们对于变速直线运动物体的瞬时速度有一个比较直观的感受，同时以中国选手杨健夺冠为背景，充分激发出学生的民族自信心和爱国之情.
（二）问题提出
设在10 m高的跳台上，杨健跳离跳台时垂直向上的速度为6.5 m/s，而杨健此时距离水面的高度为h（t）=10-12gt2 6.5t.
（1）请计算2 s～2.1 s内的平均速度;
（2）请计算2 s时刻的瞬时速度.
（三）问题分析
由物理学知识可知，当物体做匀速直线运动时，任何时刻的速度公式都可以表示成
v=st.（1）
但是，在实际问题中，我们往往遇到的是变速运动的物体，因此，上述公式只能计算物体走完某一段路程的平均速度，而我们需要讨论的是物体运动过程中任意时刻的瞬时速度，这是此题的难点所在.
（四）问题求解
设杨健跳水做变速直线运动，运动规律为s=s（t），当时间由t0变到t0 Δt时，物体经过的路程为
Δs=s（t0 Δt）-s（t0）.（2）
于是，Δt这段时间内的平均速度
v-=ΔsΔt=s（t0 Δt）-s（t0）Δt.（3）
对于问题（1），通过让学生自行查阅相关物理知识点，给出某一时间间隔平均速度的正确结果，学生的网络检索能力、分析和解决问题的能力都得到培养和锻炼.我们知道，某一时间段内的平均速度就是所走过的路程比上所用的时间，所以，学生通过待定系数法可以很容易地得出 2 s～2.1 s内的平均速度，即
v-=h（2.1）-h（2）2.1-2=-13.59（m/s）.（4）
对于问题（2），我们以任务驱动为导向，通过让学生自主探究学习，比较和发现其一般规律，以小组协作的方式分工计算出不同时间间隔的平均速度，最终求解出杨健在2 s时刻的瞬时速度.实验发现，通过小组讨论，有的同学很快发现想要直接求解出2 s时刻的瞬时速度不可行，所以采用迂回策略，首先计算2～2 Δt，t∈[2，2 Δt]的平均速度，这里的Δt表示时间间隔，列表格如下：
我们通过观察可以发现，随着时间间隔Δt越来越小，2～2 Δt的平均速度越来越趋近于-13.1 m/s.通过对数列极限的概念和性质的理解，“由已知逼近未知，由近似逼近精确”的极限的思想，同学们最终得出2 s时刻的瞬时速度为-13.1 m/s.所以得出变速直线运动物体的瞬时速度表达式：
v（t0）=limΔt→0h（t0 Δt）-h（t0）Δt.（5）
（五）思政元素
（1）哲学思想——部分与整体.从整体看，此问题是变速运动，但从局部看，在一段很短的时间间隔Δt内，运动速度变化并不大，可以近似地看成是做匀速直线运动，从而当Δt很小时，v-可以看成是物体在t0时刻的瞬时速度的近似值.
（2）哲学思想——否定之否定.直接求解出变速直线运动物体的瞬时速度对于刚接触这一问题的同学来说很难办到，所以可先通过求解不同时间间隔下的平均速度来发现规律，得出结论，再进行归纳总结.
（六）案例反思
对于导数的概念这一知识点，笔者以哲学的视角恰当地渗透思政元素，通过求解平均速度这一数学运算，培养学生严谨务实、精益求精的工匠精神，以及踏实认真、吃苦耐劳的优秀品质，使得其成长为有时代担当的技术型人才.同时，我们将价值导向与知识传授相融合，在传授数学知识、培养应用能力的过程中，弘扬社会主义核心价值观，传播爱国的正能量.
三、“定积分的概念”融入思政元素的教学设计
定积分是应用数学中的重要概念之一，它是从几何学、物理学等学科的某些具体问题中抽象出来的，所以在自然科学的许多领域都具有广泛的应用.
（一）课程导入
介绍微积分理论的发展史：牛顿、莱布尼茨首创之争.
牛顿是英国著名的物理学家、数学家，曾在1666年写下一篇关于“流数术”的短文，但只在一些英国的科学家中流传，没有公开发表，直到1704年，才在其光学著作的附录中首次完整发表了“流数术”.莱布尼茨是德国著名的数学家、物理学家和哲学家，在1675年他已经发现了微积分，但是他也没有及时发表，直到1684年才正式发表微分的发现，两年后又发表了积分的相关研究，在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了整个欧洲，到1696年已有微积分的教科书出版.严格说来，牛顿只是单纯把微积分作为物理学研究的工具解决物体运动的问题，而莱布尼茨从几何学的角度出发解决微积分问题.无论是从发表时间、意识层面还是符号系统，莱布尼茨的影响都更为深远.而在此之后的很长时间里，英国数学家却不愿意接受莱布尼茨的研究成果，他们始终坚持使用落后的微积分符号和过时的数学表达，使得英国的数学研究停滞了一个多世纪，直到1820年，他们才愿意承认其他国家的数学成果，英国数学重新加入主流国际中. 习近平曾在联合国教科文组织总部发表演讲时强调：“文明因交流而多彩，文明因互鉴而丰富.文明交流互鉴，是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.”引入首创之争这一数学史，重在培养学生要有开阔的视野和广阔的胸襟，对于正确的事物要给予认可和肯定，对于错误的事情要及时纠错和改正，形成正确的价值观和大众认同感.
（二）案例引入
借助信息化教学手段，笔者让学生在课前搜索生活中边界线不规则的曲边图形的例子上传至云班课——头脑风暴中，并让学生进一步思考如何求解这些曲边图形的面积.
（三）问题提出
以我校A栋教学楼侧面图（曲边梯形）为例，请学生思考如何求解曲边梯形的面积.
（四）问题分析
在微积分出现以前，想要运用以往所了解的内容直接求解出曲边梯形的面积是一件极为困难的事情.有关面积的求解，人类首先是学会了计算矩形的面积，阿基米德、卡瓦列里等人利用矩形的面积去近似逼近曲边梯形的面积.
师：“同学们，如何计算圆的面积？”
生：“用圆的面积公式S=πr2.”
師：“那么半径为1的单位圆的面积等于多少？”
生：“单位圆的面积等于π.”
师：“好的，现在请同学们和我一起穿越回到没有π的年代，若还想求出单位圆的面积，如何做？”
生：“刘徽的割圆术.”
设计意图：创设问答环节的目的在于增强课堂互动性，提高学生的课堂积极性、主动性.在讲解极限的概念时我们曾经引入过“刘徽的割圆术”，所以同学们可以学以致用.而“割圆术”是我国古代著名数学家刘徽所创，这一成就比欧洲早几千年.引出这段数学史可以提升学生的民族自信心和自豪感.“割圆术”所体现的是一种用已知逼近未知，用近似逼近精确的极限的思想，这种思想可以应用于本节课求解曲边梯形的面积中.
（五）问题求解
（1）分割
化整为零：将一个大的曲边梯形分割成了n个小的曲边梯形（任意分割），以其中一个小曲边梯形的面积求解为例.
（2）近似
局部以直代曲：用小的矩形的面积来近似代替这一部分的小曲边梯形的面积.
（3）求和
积零为整：将n个小的矩形的面积相加求和，得出大的曲边梯形面积的近似值.
（4）取极限
将所有区间无限分割，分割得越来越细，近似的效果就越来越好，从而误差也就逐渐减小.如果最大的区间宽度都能无限减小直至趋近于0，我们通过对其趋近于0取极限，就能求得关于曲边梯形面积的精确值.
（六）思政元素
哲学思想——对立统一.从定积分的解题思想看，此问题充分展现了过程与结果的对立与统一规律.比如，欲求解曲边梯形的面积，我们没有直接入手求解，而是首先选择去求解看似对立的直边图形（矩形）的面积，但这并不意味着求直边图形（矩形）的面积与曲边梯形的面积是截然相反、格格不入的，它们之间实则存在着既对立又统一的内在联系.
哲学思想——质变量变.将有限个矩形的面积相加求和，永远也不可能等于曲边梯形的精确面积，但是运用无限趋近的极限思想则可达到质变到量变的本质变化.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过求解极限，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化.因此，近似与精确既是对立统一又是质变量变的关系.
定积分概念的思想方法十分重要，在后面的章节中（如重积分、曲线积分、曲面积分等内容）都采用了相同的思想方法和求解步骤.
四、结束语
作为新时代的青年教师，我们将围绕建设文化强国、教育强国、人才强国的目标，坚持用习近平新时代中国特色社会主义思想铸魂育人，全面落实立德树人根本任务，立足“三教改革”“三全育人”，努力在课程思政、创新团队建设等改革实践中创新突破、砥砺奋进，为我们学校的应用数学课程的教学改革贡献青年力量.
【参考文献】
[1]吕同富.高等数学及其应用：第3版[M].北京：高等教育出版社，2018.
[2]王丹.“高职数学”课程思政的建设研究[J].科教导刊，2020（05）：137-138.