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摘 要："过程→生成"教学理念认为：教学要向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，基于"过程→生成"教学理念，给出了行列式概念的教学设计。
关键词："过程→生成"教学理念；行列式；教学设计
教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程→生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程→生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程→生成"教学》一文①或见文献[1，2]，本文只说明两个基本观点：一是"过程→生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程→生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"的教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。
本文基于"过程→生成"理念，设计"行列式概念"的生成过程，意在抛砖引玉，期望推广"过程→生成"教学理念。
一、设计说明
关于行列式的教学大都是这样处理的（如文献[3-5]）：对角化方法解二、三阶行列式→排列→ 阶行列式定义。为何"中间插入"了一个"排列"？为何 阶行列式要那样定义？显然，如此处理丧失了思维的连续性与概念的生成性，结果只能使学生莫名其妙，不利于学生基本素质与创新能力的培养。因此本文根据"过程→生成"教学理念，给出了 阶行列式概念的生成过程，企图改变这种传统的注入式教学方法。
二、具体设计
1、 生成二、三阶行列式：
用加减消元法解线性方程组
得：
x1=，x2=
此解相当于一个求解公式，但不好记忆，于是寻找记忆方法。首先考察因为x1 与x2 的分母，因为其是由方程组的所有系数构成的，所以将方程组的系数按其位置排列并记为
D2 = a11 a12
a21 a22 ，
再比较D2 与x1 与x2 的分母a11a22-a12a21 ， 发现只要对D2 使用一种"对角线规则"即可轻易地记忆a11a22-a12a21 ；其次考察x1 与x2的的分子，发现其形式与 a11a22-a12a21 的形式相同，并且分别用
Dx1= b1 a12 、Dx2= a11 b1
b2 a22 a21 b2
使用同样的对角线规则来记忆 x1的分子与x2 的分子也非常容易。 由此看来D2 、 Dx1、Dx2 的形式及相应的"对角线规则"很有使用价值， 为了使用方便，即将其抽象定义为二阶行列式，这样即得到二元一次方程组的二阶行列式求解公式x1= ，x2= 。
同样分析、处理三元线性方程组而生成三阶行列式，且得到三元一次方程组的三阶行列式求解公式。
例题：（略）
2、推广到 阶行列式：
希推广二、三元方程组的行列式求解公式到 元线性方程组，为此需推广二、三阶行列式的定义到 n阶行列式Dn=│aij│n 。比较二、三阶行列式的对角线规则发现对角线展开规则没有规律不便推广，于是只能分析 D2与 D3展开式的特点来推广。研究：
D2=│aij│2=a11a22-a12a21；
D3=│aij│3=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32
发现：
D2的表达式的各项是取于│aij│2 的不同行不同列的2个元素乘积的代数和，共2！=2 项，
D3的表达式的各项是取于 │aij│3的不同行不同列的3个元素乘积的代数和，共3！=6 项，
由此规律即可认为：
Dn的展开式的各项也应是取于│aij│n 的不同行不同列的 n个元素乘积的代数和，共n！ 项。
剩下的就是确定各项的符号。分析如下：
形式上看找不到确定符号的规律，不过仔细分析 D2=│aij│2=a11a22-a12a21的符号关系：a11a22 是第一行第一列的元素与第二行第二列的元素的乘积，取"+"，而 a12a21是第一行第二列的元素与第二行第一列的元素的乘积，取"-"，使我们感觉各项的符号可能与该项因子的取法相关，于是分析各项因子的选取顺序与该项符号的关系，为方便应确定一种基本选取顺序，比如规定：行按照自然顺序，而列的取法任意，于是即可写出表达式的一般项的形式如下：
a1k1a2k2...ankn k1k2...kn是 1，2，...，n的全排列
此时由于各项行标的排列都相同，所以只需要分析其"列标排列"与其符号的关系。D2 的情况如下：
而对于D3 ，"列标排列"中高个子在前的不止一个，于是"涌现"出一种思维--统计高个子在前的次数：
由此发现：当行标排列为自然排列时，各项的符号可由其列标排列中"大数排在小数前面的次数"的奇偶性来决定，于是为了说话方便，称k1k2...kn排列 中"大数排在小数前面的总个数"为 k1...kn的逆序数。因此推广行列式定义需要研究排列的逆序数及其性质。
3、排列逆序数的定义、计算及相关性质：
根据上述分析及需求，先给出相关定义，在研究所需结论：
逆序定义： n元排列 k1...ki...kj...kn中，如果 ki>kj，则称 ki与kj 构成一个逆序。排列k1k2...kn 中所有逆序的总数称为k1k2...kn 的逆序数，用 （ k1k2...kn）表示。 奇、偶排列定义：若 （ k1k2...kn） 是奇数，则称k1k2...kn 为奇排列，否则称 k1k2...kn 为偶排列。
研究逆序数的计算方法：注意到一个事实，对于数 k1k2...kn 中的某数 ki ，与 ki构成的所有逆序的个数恰好是排在 ki 前面的并且比 ki大的数的个数，因此即可得到求 （ k1k2...kn） 的算法如下：
确定排在1前面的数的个数l1 ，划去1；确定排在2前面的数的个数l2 ，划去2；… ；确定排在n-1 前面的数的个数ln-1 ，则 （ k1k2...kn） =l1+l2+...+ln-1。
研究至此已经能够给出n 阶行列式定义，不过如能进一步确定其正、负项的个数则会更好，为此分析继续分析二、三阶行列式，感觉到应有结论：正项个数 负项个数，因此也就产生猜想：
在所有 n阶排列中，奇排列个数（设为p ）=偶排列的个数（设为q ）=n！/2
下面设法证明这一猜想。
因为无法直接统计奇、偶排列的个数，所以就想使用常用的证明方法： p≤q且q≤p q=p 。那么如何证明 p≤q且q≤p 呢？又因为没有具体的数量关系而不好直接推理，所以经"琢磨"而萌发出一个想法：如果存在一种变换方法，能够把 p个奇排列都变为 p个偶排列，那么即有 p≤q，同样如能把 q个偶排列变为 q个奇排列，那么即有q≤p 。如此看来如能找到一种合适的"变换方法"，问题也就能够解决。
为寻找"变换方法"，继续分析二、三元排列，发现：
将奇排列中的某两个数码的位置对换即得到一个偶排列，
将偶排列中的某两个数码的位置对换即得到一个奇排列，
因此感觉到"对换两个数码"也许是所需要的方法。因此为了说话方便先为此变换方法起个名字，再尝试证明"发现"的正确性。
定义对换：在一个排列中，对换某两元素的位置而余者保持不变，则称对该排列施行了一次对换。
于是上述"发现"即是：对换改变排列的奇偶性。
如何证之？因为被对换的两个元素的位置不确定，所以很不容易统计其逆序数的变化次数，不过注意到特殊的"相邻对换"结论显然，于是就想到使用"从特殊到一般"的证明策略。
至此就拟定了整个证明方案：①、使用从特殊到一般的方法证明"对换改变排列的奇偶性"；②、由①的结论证明"奇排列数=偶排列数"。具体证明从略。
4、生成行列式概念：综合上面研究即可给出 阶行列式的定义，具体定义见相关教材，本文从略。
5、练习：（略）。
三、结束语
本文根据"过程→生成"教学理念设计了行列式概念的生成过程，不过此设计只是一种生成过程，在具体的教学中可使用各种有效的教学方法来实现。
注释：
①此文将在《韩山师范学院学报》2013年第3期发表。
参考文献
[1] 王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读[J].大家，2012，（2，中）：112-113.
[2] 王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求[J]. 教学与管理，2011，（33）：116-117.
[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.
[4] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2003.
[5] 同济大学数学系. 线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.
作者简介：王积社（1954 -），男， 山西省晋城人， 副教授.主要研究方向： 数学机械化、数学教育。
关键词："过程→生成"教学理念；行列式；教学设计
教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程→生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程→生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程→生成"教学》一文①或见文献[1，2]，本文只说明两个基本观点：一是"过程→生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程→生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"的教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。
本文基于"过程→生成"理念，设计"行列式概念"的生成过程，意在抛砖引玉，期望推广"过程→生成"教学理念。
一、设计说明
关于行列式的教学大都是这样处理的（如文献[3-5]）：对角化方法解二、三阶行列式→排列→ 阶行列式定义。为何"中间插入"了一个"排列"？为何 阶行列式要那样定义？显然，如此处理丧失了思维的连续性与概念的生成性，结果只能使学生莫名其妙，不利于学生基本素质与创新能力的培养。因此本文根据"过程→生成"教学理念，给出了 阶行列式概念的生成过程，企图改变这种传统的注入式教学方法。
二、具体设计
1、 生成二、三阶行列式：
用加减消元法解线性方程组
得：
x1=，x2=
此解相当于一个求解公式，但不好记忆，于是寻找记忆方法。首先考察因为x1 与x2 的分母，因为其是由方程组的所有系数构成的，所以将方程组的系数按其位置排列并记为
D2 = a11 a12
a21 a22 ，
再比较D2 与x1 与x2 的分母a11a22-a12a21 ， 发现只要对D2 使用一种"对角线规则"即可轻易地记忆a11a22-a12a21 ；其次考察x1 与x2的的分子，发现其形式与 a11a22-a12a21 的形式相同，并且分别用
Dx1= b1 a12 、Dx2= a11 b1
b2 a22 a21 b2
使用同样的对角线规则来记忆 x1的分子与x2 的分子也非常容易。 由此看来D2 、 Dx1、Dx2 的形式及相应的"对角线规则"很有使用价值， 为了使用方便，即将其抽象定义为二阶行列式，这样即得到二元一次方程组的二阶行列式求解公式x1= ，x2= 。
同样分析、处理三元线性方程组而生成三阶行列式，且得到三元一次方程组的三阶行列式求解公式。
例题：（略）
2、推广到 阶行列式：
希推广二、三元方程组的行列式求解公式到 元线性方程组，为此需推广二、三阶行列式的定义到 n阶行列式Dn=│aij│n 。比较二、三阶行列式的对角线规则发现对角线展开规则没有规律不便推广，于是只能分析 D2与 D3展开式的特点来推广。研究：
D2=│aij│2=a11a22-a12a21；
D3=│aij│3=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32
发现：
D2的表达式的各项是取于│aij│2 的不同行不同列的2个元素乘积的代数和，共2！=2 项，
D3的表达式的各项是取于 │aij│3的不同行不同列的3个元素乘积的代数和，共3！=6 项，
由此规律即可认为：
Dn的展开式的各项也应是取于│aij│n 的不同行不同列的 n个元素乘积的代数和，共n！ 项。
剩下的就是确定各项的符号。分析如下：
形式上看找不到确定符号的规律，不过仔细分析 D2=│aij│2=a11a22-a12a21的符号关系：a11a22 是第一行第一列的元素与第二行第二列的元素的乘积，取"+"，而 a12a21是第一行第二列的元素与第二行第一列的元素的乘积，取"-"，使我们感觉各项的符号可能与该项因子的取法相关，于是分析各项因子的选取顺序与该项符号的关系，为方便应确定一种基本选取顺序，比如规定：行按照自然顺序，而列的取法任意，于是即可写出表达式的一般项的形式如下：
a1k1a2k2...ankn k1k2...kn是 1，2，...，n的全排列
此时由于各项行标的排列都相同，所以只需要分析其"列标排列"与其符号的关系。D2 的情况如下：
而对于D3 ，"列标排列"中高个子在前的不止一个，于是"涌现"出一种思维--统计高个子在前的次数：
由此发现：当行标排列为自然排列时，各项的符号可由其列标排列中"大数排在小数前面的次数"的奇偶性来决定，于是为了说话方便，称k1k2...kn排列 中"大数排在小数前面的总个数"为 k1...kn的逆序数。因此推广行列式定义需要研究排列的逆序数及其性质。
3、排列逆序数的定义、计算及相关性质：
根据上述分析及需求，先给出相关定义，在研究所需结论：
逆序定义： n元排列 k1...ki...kj...kn中，如果 ki>kj，则称 ki与kj 构成一个逆序。排列k1k2...kn 中所有逆序的总数称为k1k2...kn 的逆序数，用 （ k1k2...kn）表示。 奇、偶排列定义：若 （ k1k2...kn） 是奇数，则称k1k2...kn 为奇排列，否则称 k1k2...kn 为偶排列。
研究逆序数的计算方法：注意到一个事实，对于数 k1k2...kn 中的某数 ki ，与 ki构成的所有逆序的个数恰好是排在 ki 前面的并且比 ki大的数的个数，因此即可得到求 （ k1k2...kn） 的算法如下：
确定排在1前面的数的个数l1 ，划去1；确定排在2前面的数的个数l2 ，划去2；… ；确定排在n-1 前面的数的个数ln-1 ，则 （ k1k2...kn） =l1+l2+...+ln-1。
研究至此已经能够给出n 阶行列式定义，不过如能进一步确定其正、负项的个数则会更好，为此分析继续分析二、三阶行列式，感觉到应有结论：正项个数 负项个数，因此也就产生猜想：
在所有 n阶排列中，奇排列个数（设为p ）=偶排列的个数（设为q ）=n！/2
下面设法证明这一猜想。
因为无法直接统计奇、偶排列的个数，所以就想使用常用的证明方法： p≤q且q≤p q=p 。那么如何证明 p≤q且q≤p 呢？又因为没有具体的数量关系而不好直接推理，所以经"琢磨"而萌发出一个想法：如果存在一种变换方法，能够把 p个奇排列都变为 p个偶排列，那么即有 p≤q，同样如能把 q个偶排列变为 q个奇排列，那么即有q≤p 。如此看来如能找到一种合适的"变换方法"，问题也就能够解决。
为寻找"变换方法"，继续分析二、三元排列，发现：
将奇排列中的某两个数码的位置对换即得到一个偶排列，
将偶排列中的某两个数码的位置对换即得到一个奇排列，
因此感觉到"对换两个数码"也许是所需要的方法。因此为了说话方便先为此变换方法起个名字，再尝试证明"发现"的正确性。
定义对换：在一个排列中，对换某两元素的位置而余者保持不变，则称对该排列施行了一次对换。
于是上述"发现"即是：对换改变排列的奇偶性。
如何证之？因为被对换的两个元素的位置不确定，所以很不容易统计其逆序数的变化次数，不过注意到特殊的"相邻对换"结论显然，于是就想到使用"从特殊到一般"的证明策略。
至此就拟定了整个证明方案：①、使用从特殊到一般的方法证明"对换改变排列的奇偶性"；②、由①的结论证明"奇排列数=偶排列数"。具体证明从略。
4、生成行列式概念：综合上面研究即可给出 阶行列式的定义，具体定义见相关教材，本文从略。
5、练习：（略）。
三、结束语
本文根据"过程→生成"教学理念设计了行列式概念的生成过程，不过此设计只是一种生成过程，在具体的教学中可使用各种有效的教学方法来实现。
注释：
①此文将在《韩山师范学院学报》2013年第3期发表。
参考文献
[1] 王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读[J].大家，2012，（2，中）：112-113.
[2] 王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求[J]. 教学与管理，2011，（33）：116-117.
[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.
[4] 张禾瑞，郝鈵新. 高等代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2003.
[5] 同济大学数学系. 线性代数[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.
作者简介：王积社（1954 -），男， 山西省晋城人， 副教授.主要研究方向： 数学机械化、数学教育。