向量作为一种数学工具引入新教材,为立体几何教学注入了新的活力,使几何问题代数化,当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具后,不仅会降低学习的难度,而且增强了可操作性,为我们的学习提供了崭新的视角,丰富了思维结构,消除了学习立体几何知识所产生的畏惧心理,有利于对立体几何知识的牢固掌握。下面通过一些典型例题从几个方面具体探讨向量在立几问题中的作用,以感受向量几何的魅力。
　　一、解决平行与垂直问题
　　(1)证明平行的方法:证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线;证明线面平行可证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,也可证明平面内一个向量与已知直线的方向向量共线,还可利用共面向量定理证明;证明面面平行只需证明两平面的法向量共线。
　　(2)证明垂直的方法:证明线线垂直只需证明两条直线的方向向量垂直;证明线面垂直可证明直线的方向向量与平面的法向量共线;也可证明直线与平面内的两个不共线的向量垂直;证明面面垂直只需证明两个平面的法向量垂直。
　　例1 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点D是AB的中点。
　　(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1。
　　证明 ∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
　　∴AC、BC、C1C两两垂直,如图1,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0)。
　　(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴•=0,∴AC⊥BC1。
　　(2)设CB1与C1B的交点为E,则E(0,2,2)。∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴==,∴DE∥AC1。∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1。
　　二、求两条异面直线所成的角
　　具体求法:设,分别是直线a,b的方向向量。异面直线所成的角θ=arccos 。
　　例2 如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。求异面直线AB与CD所成角的大小。
　　解以O为原点,建立空间直角坐標系,则B(1,0,0),
　　D(-1,0,0),C(0,,0),A(0,0,1),
　　E(,,0),=(-1,0,1),
　　=(-1,-,0)。
　　∴cos==。
　　∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos。
　　三、求直线与平面所成角的大小
　　具体求法:设是斜线l的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角是α=arcsin 。
　　例3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求A1B与平面ABD所成角的大小。
　　解 如图3,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,
　　设|CA|=a则A(a,0,0),B(0,a,0),
　　C(0,0,0),D(0,0,1),A1(a,0,2),
　　E(,,1)。G是△ABD的重心,故G(,,)。
　　=(,-,),
　　=(-,-,-)。
　　点E在平面ABD上的射影是点G,所以⊥。
　　所以•=0,即-+-=0。解得a=2。
　　=(2,-2,2),=(,-,),
　　cos<,>==。
　　故A1B与平面ABD所成角为arccos。
　　综上所述,用向量法解立体几何问题时,无需挖空心思去找各种关系,只要能建立空间直角坐标系,写出相应的向量再计算,就能由计算结果得出结论。◆(作者单位:南昌市第二十一中学)
　　□ 责任编辑:周瑜芽