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摘要：解决问题的教学是数学教学的核心.本文结合波利亚的“怎样解题表”进一步论述了解题教学过程中的弄清问题、拟订计划、实现计划、解题回顾四个环节和教师所应该采用的相应的语言策略.并以“数列的综合运用”课堂解题教学的片段作为教学案例分析了解题教学策略的在教学实践中的运用及其作用.
关键词：“怎样解题表”；弄清问题；拟订计划；实现计划；解题回顾；解题策略
数学家P.R.Halmos指出：“问题是数学的心脏”.因此，解决问题的教学也就成为数学教学的心脏.在中学数学学习过程中，数学问题通常以例题和习题的形式出现在教学中.作为解题教学主体的学生，通过学习例题，学生能够领会和掌握解题过程中的数学思维过程和方法.通过完成练习，学生能够运用所学的知识、方法和数学思想去解决问题.因此，作为解题教学主导者的教师，就必须正确认识和深刻理解数学解题教学，以便提高教学质量和教学效果.
1 基本策略
波利亚在他的《怎样解题》一书中重点论述了在解题过程中怎样诱发灵感，并提出了一张“怎样解题表”.“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾.波利亚说：“弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头，就是指灵感.结合波利亚的“怎样解题表”.教师在解题教学活动中可以引导学生按照以下策略来完成解题教学过程：
在弄清问题环节，教师引导学生反复读题审题，引入适当数学符号和表达式，在适当的情况下画出图表，让学生弄清楚以下问题：已知是什么？未知什么？求解什么？证明什么？
在拟定计划和实现计划环节，一方面，由于解题的一个经常有用的办法就是“不断地变换你的问题”.借助命题变换的表现形式，如“形”与“数”的转换与融合，数量的相等与不等，图形的高维与低维的互相转化与替代，并通过不断地改变命题的叙述和形式，可使问题出现新的天地，得到一些新的解题策略.另一方面，教师引导学生通过归纳、类比、联想、合情推理等发散思维能力，将所接收的信息和长期记忆中所提取的信息做出各种可能的所有细节显得更加和谐的组合体，这时我们对问题的了解可能就是朝着一个更有希望的前景演化，从而会形成一个良好的解题策略.具体地说：任何解题策略的产生都离不开解题者已有的数学知识点（概念、法则、定理,由基本题形成的“知识块”及解题基本方法等）.因而，教师可以用这样的语言来引导学生：你想到了什么？你是怎么想到的？现在你打算怎么做？你该做什么？你还注意到了什么？你又打算怎么做？你又该做什么？
在解题回顾环节，教师引导学生在两方面进行总结反思.既要总结反思计算是否合理、推理是否合理、思维是否周密、是否存在更多解法，还要总结提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示.这一环节能够帮助学生建构新认知结构.在解题教学中，教师可以用这样的语言来引导学生：解法是如何想到的？解题思路是如何修正并最终形成的？解决这类问题的规律是什么？
2 教学案例
以下是笔者在进行“数列的综合运用”课堂解题教学的片段.
问题：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0，1)内是增函数.
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若数列{an}满足a1∈(0,1)，an+1=ln(2-2n)+an(n∈N*)，证明：0＜an＜an+1＜1
先让学生理解阅读问题、思考解法、小组讨论，教师巡视，了解学生较为集中的问题.
教师：由f(x)在区间(0,1)内是增函数可得什么呢？
学生1：可以得到f′(x)＞0对于x∈(0,1)恒成立.从而建立并求解关于a的不等式.
教师：请大家计算一下结果！（三分钟后教师接着说）得到的结果是a≥1，这样做对吗？
学生2：不对！“函数f(x)在区间(0,1)内是增函数f′(x)＞0对于x∈(0,1)恒成立”是不正确的.f(x)=(x-05)3就是反例，我们只能得到f′(x)≥0对于x∈（0，1）恒成立.
教师：很好！大家根据f′(x)≥0对于x∈(0,1)恒成立再计算一下，显然结果还是a≥1.那么这样做是不是就是完整的解答呢？
学生3：不是！课本中讲到：“设函数y=f(x)在某个区间可导，若f′(x)＞0，则f(x)是增函数；若f′(x)＜0，则f(x)是减函数.”而我们的解法并不能保证当a≥1时，f(x)是增函数，因此，我们必须检验结论.
教师：说得很好！做出解答之后，我们需要回顾解题过程，看看推理是否合理、思维是否周密.
教师：我们再来讨论第（2）题，我们已知什么？求证什么？
学生4：我们已知数列{an}的首项a1的范围和递推公式.要证明{an}是递增数列，且0＜an＜1.由于{an}是递增数列an＜an+1an+1-an＞0，而an+1-an=ln(2-an)，因此只需要证明0＜an＜1即可.
教师：分析很清晰，既然已经进一步明确了问题，那么又该如何证明0＜an＜1呢？
学生5：我先考虑证明0＜a2＜1.我发现函数f(x)=ln(2-x)+ax和an+1=ln(2-an)+an(n∈N*)很相似，而且当a=1时，f(x)是增函数.我认为可以将两者联系起来，如果将a1视为自变量，那么可得到f(0)＜a2＜f(1).然后无穷递推下去即可证明结论.
学生6：更准确的说，尝试证明了0＜an＜1后，我们运用数学归纳法证明0＜an＜1.
教师：非常好！那么解题过程用到哪些知识和思想方法？给我们什么启示？
学生7：用到了函数的单调性的判断方法和性质，用到了数列是一种特殊的函数，还用到了数学归纳法，解题过程运用了构造函数的思想.
学生8：对于复杂的问题，我们可以采用从特殊到一般的解题策略，从问题的特殊情况入手，从特殊到一般，然后我们可以运用数学归纳法证明结论.解题过程运用了构造函数的思想，将数列问题转化成函数的值域问题.
3 案例分析
本案例是一个非常典型的解题教学的案例.教师在教学过程中通过引导学生分析已知和待证不等式得以明确问题的核心，通过归纳、类比、联想、合情推理等发散思维能力帮助学生寻找到解题突破口——根据递推关系构造函数，通过尝试解题，从正面的论证到反面的例子，不断调整解题思路，向学生充分展示思维过程.通过总结反思，弥补解题思路的缺陷，提炼数学解题思想方法——构造函数法，建构新的知识结构.
整个解题教学过程暴露了结论的发现过程、思路的探求过程和总结反思了数学解题的思维过程，让学生加深理解了函数和数列等概念，巩固拓展函数单调性和导数等知识；掌握数学转化和化归的数学方法，培养求导函数和解不等式技能；领会构造函数的思想，训练思维的灵活性；发展了坚忍不拔的心理品质，形成勇于探索和敢于批判的科学精神.
参考文献
［1］ ［美］波利亚(G· Polya) 著,阎育苏 译. 怎样解题 ［M］.科学出版社, 1982.
［2］ 罗增儒著. 数学解题学引论 ［M］.陕西师范大学出版社, 1997.
［3］ 单墫著. 解题研究 ［M］. 南京师范大学出版社, 2002.
［4］ 常春艳,黄晓学. 解题教学的探究体现 ［J］. 中学数学教学参考, 2006,8
关键词：“怎样解题表”；弄清问题；拟订计划；实现计划；解题回顾；解题策略
数学家P.R.Halmos指出：“问题是数学的心脏”.因此，解决问题的教学也就成为数学教学的心脏.在中学数学学习过程中，数学问题通常以例题和习题的形式出现在教学中.作为解题教学主体的学生，通过学习例题，学生能够领会和掌握解题过程中的数学思维过程和方法.通过完成练习，学生能够运用所学的知识、方法和数学思想去解决问题.因此，作为解题教学主导者的教师，就必须正确认识和深刻理解数学解题教学，以便提高教学质量和教学效果.
1 基本策略
波利亚在他的《怎样解题》一书中重点论述了在解题过程中怎样诱发灵感，并提出了一张“怎样解题表”.“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾.波利亚说：“弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它.”波利亚所讲的好念头，就是指灵感.结合波利亚的“怎样解题表”.教师在解题教学活动中可以引导学生按照以下策略来完成解题教学过程：
在弄清问题环节，教师引导学生反复读题审题，引入适当数学符号和表达式，在适当的情况下画出图表，让学生弄清楚以下问题：已知是什么？未知什么？求解什么？证明什么？
在拟定计划和实现计划环节，一方面，由于解题的一个经常有用的办法就是“不断地变换你的问题”.借助命题变换的表现形式，如“形”与“数”的转换与融合，数量的相等与不等，图形的高维与低维的互相转化与替代，并通过不断地改变命题的叙述和形式，可使问题出现新的天地，得到一些新的解题策略.另一方面，教师引导学生通过归纳、类比、联想、合情推理等发散思维能力，将所接收的信息和长期记忆中所提取的信息做出各种可能的所有细节显得更加和谐的组合体，这时我们对问题的了解可能就是朝着一个更有希望的前景演化，从而会形成一个良好的解题策略.具体地说：任何解题策略的产生都离不开解题者已有的数学知识点（概念、法则、定理,由基本题形成的“知识块”及解题基本方法等）.因而，教师可以用这样的语言来引导学生：你想到了什么？你是怎么想到的？现在你打算怎么做？你该做什么？你还注意到了什么？你又打算怎么做？你又该做什么？
在解题回顾环节，教师引导学生在两方面进行总结反思.既要总结反思计算是否合理、推理是否合理、思维是否周密、是否存在更多解法，还要总结提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示.这一环节能够帮助学生建构新认知结构.在解题教学中，教师可以用这样的语言来引导学生：解法是如何想到的？解题思路是如何修正并最终形成的？解决这类问题的规律是什么？
2 教学案例
以下是笔者在进行“数列的综合运用”课堂解题教学的片段.
问题：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区间(0，1)内是增函数.
(1) 求实数a的取值范围；
(2) 若数列{an}满足a1∈(0,1)，an+1=ln(2-2n)+an(n∈N*)，证明：0＜an＜an+1＜1
先让学生理解阅读问题、思考解法、小组讨论，教师巡视，了解学生较为集中的问题.
教师：由f(x)在区间(0,1)内是增函数可得什么呢？
学生1：可以得到f′(x)＞0对于x∈(0,1)恒成立.从而建立并求解关于a的不等式.
教师：请大家计算一下结果！（三分钟后教师接着说）得到的结果是a≥1，这样做对吗？
学生2：不对！“函数f(x)在区间(0,1)内是增函数f′(x)＞0对于x∈(0,1)恒成立”是不正确的.f(x)=(x-05)3就是反例，我们只能得到f′(x)≥0对于x∈（0，1）恒成立.
教师：很好！大家根据f′(x)≥0对于x∈(0,1)恒成立再计算一下，显然结果还是a≥1.那么这样做是不是就是完整的解答呢？
学生3：不是！课本中讲到：“设函数y=f(x)在某个区间可导，若f′(x)＞0，则f(x)是增函数；若f′(x)＜0，则f(x)是减函数.”而我们的解法并不能保证当a≥1时，f(x)是增函数，因此，我们必须检验结论.
教师：说得很好！做出解答之后，我们需要回顾解题过程，看看推理是否合理、思维是否周密.
教师：我们再来讨论第（2）题，我们已知什么？求证什么？
学生4：我们已知数列{an}的首项a1的范围和递推公式.要证明{an}是递增数列，且0＜an＜1.由于{an}是递增数列an＜an+1an+1-an＞0，而an+1-an=ln(2-an)，因此只需要证明0＜an＜1即可.
教师：分析很清晰，既然已经进一步明确了问题，那么又该如何证明0＜an＜1呢？
学生5：我先考虑证明0＜a2＜1.我发现函数f(x)=ln(2-x)+ax和an+1=ln(2-an)+an(n∈N*)很相似，而且当a=1时，f(x)是增函数.我认为可以将两者联系起来，如果将a1视为自变量，那么可得到f(0)＜a2＜f(1).然后无穷递推下去即可证明结论.
学生6：更准确的说，尝试证明了0＜an＜1后，我们运用数学归纳法证明0＜an＜1.
教师：非常好！那么解题过程用到哪些知识和思想方法？给我们什么启示？
学生7：用到了函数的单调性的判断方法和性质，用到了数列是一种特殊的函数，还用到了数学归纳法，解题过程运用了构造函数的思想.
学生8：对于复杂的问题，我们可以采用从特殊到一般的解题策略，从问题的特殊情况入手，从特殊到一般，然后我们可以运用数学归纳法证明结论.解题过程运用了构造函数的思想，将数列问题转化成函数的值域问题.
3 案例分析
本案例是一个非常典型的解题教学的案例.教师在教学过程中通过引导学生分析已知和待证不等式得以明确问题的核心，通过归纳、类比、联想、合情推理等发散思维能力帮助学生寻找到解题突破口——根据递推关系构造函数，通过尝试解题，从正面的论证到反面的例子，不断调整解题思路，向学生充分展示思维过程.通过总结反思，弥补解题思路的缺陷，提炼数学解题思想方法——构造函数法，建构新的知识结构.
整个解题教学过程暴露了结论的发现过程、思路的探求过程和总结反思了数学解题的思维过程，让学生加深理解了函数和数列等概念，巩固拓展函数单调性和导数等知识；掌握数学转化和化归的数学方法，培养求导函数和解不等式技能；领会构造函数的思想，训练思维的灵活性；发展了坚忍不拔的心理品质，形成勇于探索和敢于批判的科学精神.
参考文献
［1］ ［美］波利亚(G· Polya) 著,阎育苏 译. 怎样解题 ［M］.科学出版社, 1982.
［2］ 罗增儒著. 数学解题学引论 ［M］.陕西师范大学出版社, 1997.
［3］ 单墫著. 解题研究 ［M］. 南京师范大学出版社, 2002.
［4］ 常春艳,黄晓学. 解题教学的探究体现 ［J］. 中学数学教学参考, 2006,8