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现行高中数学教材是《普通高中课程标准实验教科书》（以下简称“新教材”）。新教材在给学生传递数学知识、与学生交流数学思想和培养学生数学能力方面都采用了“螺旋”方式递进，独具匠心。课文中适时地渗透了从人文史料到实践应用等各种信息资料，以拓宽学生的学习视野，增进学生的学习兴趣。课后的习题也分为“感受理解”、“思考运用”和“探究拓展”三个层次，以适用不同层面的学生需求。在教学实践中，如何贯彻新教材的编写意图、实践新教材中的新的教学理念、落实新教材的新要求，为学生的学习打开更大的空间是每个数学教师都必须直面的问题。本文仅以习题教学为例，谈谈“新教材”的备课，希同行指正。
新教材《选修2-2》第78页习题第8题：
［题目］已知函数f （x）= ，对n∈N ，定义f （x）=f ［f （x）］，求f （x）的解析式。
教学参考书提供的解法如下：
解：f （x）= ，f （x）=f ［f （x）］=
f （x）= ，f （x）= ，f （x）= ，
f （x）= ，f （x）=x，f （x）= =f （x）
……
{f （x）}是以6为周期的周期函数列。
其通项公式为：
f （x）=f （x）（其中n=6k+r，k∈N，r=1，2，3，4，5，6）。
在备课时，我对这道题及其解答有如下思考：
1.本题中数列的周期为6，倘若周期是一个更大一些的数列，学生有耐心逐项找下去吗？除非事先知道该数列是周期数列。
2.本节教材讲授“合情推理”，即要求学生对n的若干初始值的情形进行归纳总结得出一般性的结论。但“归纳总结”并不是十分容易的事，有些题容易发现规律，有些题的规律很难找到。那么该题的教学功能如何发挥呢？于是，在备课时，我选择了另外一道题作为例题：
［例1］已知数列{a }中，a =a，a （1+a ）=2a ，（n∈N ）求a 的值。
分析：数列的知识在高一已经学过，但仅学习等差数列和等比数列这两类特殊数列。而由递推关系a = 给出的数列显然既不是等差数列又不是等比数列。怎么办呢？
有两条路可以尝试：
思路一：能否采用刚学习的“归纳推理”解决？
思路二：能否将数列转化为“等差、等比”数列解决？
解法一：a =a，a =
a = =
a = =
a = =
……
a =
解法二：考虑到a = 中分子仅有一项，两边同取倒数后易于“裂项”变形。
∴ = =+1
-1=-1
∴ = •
∴ 是以 为公比的等比数列，首项为 = 。
∴ =
a =
解法一中规律明显，特征清楚，易于归纳，作为方法介绍绝佳。解法二中新数列的构造比较巧妙，不容易掌握，需进一步探索新数列的结构与题中递推关系之间的必然联系。
探索：在递推关系a = 中，若将a 、a 都以x代之，可得关于x的方程x= ，解得其根为0和1，对照新数列 的结构可得以下猜想：
猜想一：若数列{a }的递推关系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程的根为α、β，那么数列 可能是特殊数列。
改变［例1］中递推关系式中的系数，会怎么样呢？
变题1：已知f （x）= ，f =f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。
变题2：文中开头［题目］。
对这两个变题，用［例1］中的解法解答，结果是：变题1用解法一来解，规律不明显，不易归纳；用解法二来解，可构造出等比数列。变题2用解法一来解，即教学参考书中提供的解法，发现是一个周期数列；用解法二来解时，发现相应方程x= 无实数根。于是可得以下猜想：
猜想2：若数列{a }的递推关系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程无实数根，那么数列{a }可能是周期数列。
课后的练习与思考：
1.设n∈N ，f（x）=2（1-x）（0≤x≤1）（x-1）（1＜x≤2），定义：f （x）=f{f［…f（x）…］}，求f的值。
2.设f （x）= ，定义f （x）=f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。
3.学有余力的学生可考虑上述两个猜想的正确性研究。
新教材在课后的习题编写中，许多题目寓有深意。使用中，我有以下几点反思：
反思一：教师在备课中不应停留在解出该题读懂了该题的解答的低层次上，而应当继续进行解题分析、解法优化。教师这样做了，即使是一道很浅显的题目也会使学生获得很珍贵的思维营养，而且能培养学生主动学习的意识。
反思二：教师和学生在阅读新教材，做习题时要注意“从整体到个别，再从个别到整体”的思维能力的锻炼，并要注意及时做好归纳总结的工作。例如在上文中我们以［例1］为基点，实践了新知识的运用，又探求了求数列通项公式时的转化思想，再通过两个变题，对猜想的正确性予以验证。从方法上再次实践了“从个别到整体”的思想，最后上升到理论，引导学生对两个“猜想”的正确性进行思考与探索，把学习从课堂衍生到课外。这说明教师和学生使用新教材的过程不是一个被动接受的过程，而是根据自身知识经验主动建构的过程。
总之，学生学习成功，关键在于教师的引导；教师教学成功，关键在于备课。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
新教材《选修2-2》第78页习题第8题：
［题目］已知函数f （x）= ，对n∈N ，定义f （x）=f ［f （x）］，求f （x）的解析式。
教学参考书提供的解法如下：
解：f （x）= ，f （x）=f ［f （x）］=
f （x）= ，f （x）= ，f （x）= ，
f （x）= ，f （x）=x，f （x）= =f （x）
……
{f （x）}是以6为周期的周期函数列。
其通项公式为：
f （x）=f （x）（其中n=6k+r，k∈N，r=1，2，3，4，5，6）。
在备课时，我对这道题及其解答有如下思考：
1.本题中数列的周期为6，倘若周期是一个更大一些的数列，学生有耐心逐项找下去吗？除非事先知道该数列是周期数列。
2.本节教材讲授“合情推理”，即要求学生对n的若干初始值的情形进行归纳总结得出一般性的结论。但“归纳总结”并不是十分容易的事，有些题容易发现规律，有些题的规律很难找到。那么该题的教学功能如何发挥呢？于是，在备课时，我选择了另外一道题作为例题：
［例1］已知数列{a }中，a =a，a （1+a ）=2a ，（n∈N ）求a 的值。
分析：数列的知识在高一已经学过，但仅学习等差数列和等比数列这两类特殊数列。而由递推关系a = 给出的数列显然既不是等差数列又不是等比数列。怎么办呢？
有两条路可以尝试：
思路一：能否采用刚学习的“归纳推理”解决？
思路二：能否将数列转化为“等差、等比”数列解决？
解法一：a =a，a =
a = =
a = =
a = =
……
a =
解法二：考虑到a = 中分子仅有一项，两边同取倒数后易于“裂项”变形。
∴ = =+1
-1=-1
∴ = •
∴ 是以 为公比的等比数列，首项为 = 。
∴ =
a =
解法一中规律明显，特征清楚，易于归纳，作为方法介绍绝佳。解法二中新数列的构造比较巧妙，不容易掌握，需进一步探索新数列的结构与题中递推关系之间的必然联系。
探索：在递推关系a = 中，若将a 、a 都以x代之，可得关于x的方程x= ，解得其根为0和1，对照新数列 的结构可得以下猜想：
猜想一：若数列{a }的递推关系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程的根为α、β，那么数列 可能是特殊数列。
改变［例1］中递推关系式中的系数，会怎么样呢？
变题1：已知f （x）= ，f =f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。
变题2：文中开头［题目］。
对这两个变题，用［例1］中的解法解答，结果是：变题1用解法一来解，规律不明显，不易归纳；用解法二来解，可构造出等比数列。变题2用解法一来解，即教学参考书中提供的解法，发现是一个周期数列；用解法二来解时，发现相应方程x= 无实数根。于是可得以下猜想：
猜想2：若数列{a }的递推关系式中的a 、a 都以x取代后，所得方程无实数根，那么数列{a }可能是周期数列。
课后的练习与思考：
1.设n∈N ，f（x）=2（1-x）（0≤x≤1）（x-1）（1＜x≤2），定义：f （x）=f{f［…f（x）…］}，求f的值。
2.设f （x）= ，定义f （x）=f ［f （x）］（n∈N ），求f （x）的解析式。
3.学有余力的学生可考虑上述两个猜想的正确性研究。
新教材在课后的习题编写中，许多题目寓有深意。使用中，我有以下几点反思：
反思一：教师在备课中不应停留在解出该题读懂了该题的解答的低层次上，而应当继续进行解题分析、解法优化。教师这样做了，即使是一道很浅显的题目也会使学生获得很珍贵的思维营养，而且能培养学生主动学习的意识。
反思二：教师和学生在阅读新教材，做习题时要注意“从整体到个别，再从个别到整体”的思维能力的锻炼，并要注意及时做好归纳总结的工作。例如在上文中我们以［例1］为基点，实践了新知识的运用，又探求了求数列通项公式时的转化思想，再通过两个变题，对猜想的正确性予以验证。从方法上再次实践了“从个别到整体”的思想，最后上升到理论，引导学生对两个“猜想”的正确性进行思考与探索，把学习从课堂衍生到课外。这说明教师和学生使用新教材的过程不是一个被动接受的过程，而是根据自身知识经验主动建构的过程。
总之，学生学习成功，关键在于教师的引导；教师教学成功，关键在于备课。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”