【摘 要】定积分是高考新增内容，考察题目多为中低档难度。基本可以分为三类，即求值问题及定积分在几何、物理中的应用。
　　 【关键词】定积分 求值 应用
　　定积分是高考新增内容，《2011年高考数学大纲（理）》要求了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解定积分基本定理的含义。均为了解内容，也就是要求对所列的知识含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，能按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（会）在有关的问题中识别和认识它。基于如上要求，以下介绍有关定积分的三种题型。
　　一、求定积分的值
　　求定积分的值是高考的一个热点题目，有三类求法，其中定义法求定积分运算较为繁复，不适于求值，在这里我们只介绍其他两种求法。
　　1.运用微积分基本定理求值。
　　例1：计算（1-）dx
　　解：（1-）dx=（－x）dx=（－x2）=－
　　点评：此类方法属于定积分运算的基础方法。
　　2.用定积分的几何意义求值。
　　定积分f（x）dx的几何意义即为曲线f（x）与轴x=a，x=b所围面积的代数和，x轴上方为正，x轴下方为负。
　　 例２：计算dx
　　分析：dx表示由直线x=0，x=1，y=与x轴所围成的几何图形的面积。
　　解：由定积分的几何意义可得所求定积分是如上图形中阴影部分的面积。
　　即dx=•π•12=
　　
　　二、定积分在几何中的应用
　　定积分在几何中的应用主要是求曲变形的面积。其中包括无需分割图形的求面积问题和需要分割图形的求面积问题。
　　１.不分割图形求面积。
　　例３：求曲线y=x2与直线y=2x所围成的几何图形面积。
　　解：由y=x2y=2x，得x=0y=0或x=2y=4
　　即两交点坐标分别为（0，０）与（２，4）
　　则面积Ｓ=（2x-x2）dx=（x2-x３）=
　　2.分割图形求面积和。
　　例４：求曲線y=x2及直线y=-x+2与x轴所围成的几何图形的面积。
　　解：由y=x2y=-x+2得x=1y=1
　　另由y=0y=-x+2得x=2y=0
　　即直线y=-x+2与曲线y=x2交于点（1，１），与x轴交于点（２，０）.
　　面积为Ｓ=（x2-0）dx+［（－x+2）-0］dx＝
　　点评：求面积问题首先要画简图，明确图象的左右边界从x=a到x=b，及观察上下边界，若上下的边界分别只由一段平滑的曲线y=f（x）与y=g（x）决定，则面积Ｓ＝［f（x）-g（x）］dx；若上下边界由两段或两段以上的平滑曲线决定，则将图形分割成两部分或两部分以上的图形分别求面积后作和。
　　三、定积分在物理中的应用
　　1.变速直线运动的路程问题。
　　例5：一物体沿直线以速度v=2t-1作变速直线运动，求该物体从时刻t=0到t=5间运动的路程。
　　解：路程Ｓ＝（１－２t）dt+（2t-1）dt=（t-t2）+（t2-t）=［-（）2］+（２５－５）－［（）2－］=
　　点评：一是注意在指定的时间段内速度是否有正负的变化，二是注意所求是路程与位移的不同。
　　2.变力做功问题。
　　例6：如果1N的力能将弹簧拉长1cm，为将弹簧拉长5cm，所做的功为多少？
　　解：由题意Ｆ（x）=100x
　　由变力做功公式，得到W=100xdx=50x2=0.125(J)
　　答：弹力做功0.125J.
　　（黑龙江大庆市大庆中学；163000）