论文部分内容阅读
摘 要：本文分析了习题课效果不够理想的原因，并结合具体教学实例探求了解决策略.
关键词：习题课教学
习题课是高三复习中的常见课型，这种围绕解题展开的教学活动在学生思维能力、探究能力、解题能力的培养方面发挥着至关重要的作用. 可是常常听到老师抱怨：“讲过了，怎么还不会”.可见有时习题课的效果并不理想. 寻找原因，探求解决策略，才能打造高效的课堂，为此笔者做了一些思考.
[?] 存在问题
1. 课堂模式单一陈旧
习题课的大多课堂呈现形式是教师讲、学生听. 看似精心准备的教师滔滔不绝地讲解自己的解法，更多关注的是自己的讲授，忽视了对学生思维生成的关注. 教师与学生的互动常常停留在填充式的一问一答上，学生参与的形式也只是将老师换成了优秀学生的展示. 这样导致的结果是学生虽能认识到习题课的重要性，但单一呆板的课堂模式使得学生的学习兴趣、参与程度明显低于新授课. 遇到难点，不再主动参与探究，而是习惯性地、被动地等待老师给出结果. 由于没有亲身体验解题的过程，学生在课堂上似乎认可了老师的解题思路，但其实并没有真正掌握. 遇到类似问题，依然束手无策.
2. 讲解内容就题论题
教师对题目的讲题一般是解题方法的简单呈现，解题技巧的神秘出现，多种解法的逐一展示，各种类型试题的重复叠加. 教学主要是告诉学生“怎么解”，较少去引导学生思考“为什么这样解”，“怎样学会解”. 没有同类题目的归类，没有解题规律的总结，没有思想方法的提炼，没有解题三个思维层次——概略性、功能性、特殊性的启发引导. 数学题目千变万化，层出不穷，这种就题论题的教学导致的结果是学生对题目的认识是孤立的、浅薄的、片面的、琐碎的，学生收获的仅是一道题目的解答，却不明白难点是怎么突破的，解法是怎么想到的，并没有在解题中形成解决问题的能力，自然而然也就谈不上融会贯通、举一反三.看似容量很大的一节课，学生收获甚少.
[?] 对策分析
针对上述问题，笔者认为教师在习题课的教学中应关注讲什么以及怎么讲.
1. 讲什么
（1）教学内容的合理选择
选择和设计一道好的习题是提高习题课有效性的前提所在. 题目应以考查基本知识、训练通性通法为主要原则，不讲怪题、技巧特殊题. 应具有典型性、针对性和层次性，能暴露学生共性问题，能让不同层次的学生有不同收获，这也与这几年江苏高考命题的强调“三基”、突出“三基”、考查“三基”，起点低、入手易相吻合. 题目的选取和正确解答仅仅是备课的一部分. 防止学生对题目的研究浅尝辄止，教师必须深入研究. 可在题目的变式上做一些思考，如：条件可否弱化、强化，问题可否增加，条件、结论可否交换，结论可否推广. 教师精心设计变式训练或引导学生尝试原题改编，都能极大地调动学生的学习热情，培养学生的思维能力.
（2）教学目标的准确设置
习题课到底应设置怎样的教学目标，到底要教给学生什么？笔者认为是研究一个问题的方法. 可通过以下环节来实现.
①引导学生学会审题
审题是解决一个问题的关键所在. 许多学生拿到一个题目不会做或做不对，常常是因为没有审好题. 审题绝不是简单地把题目看一遍. 教学中应引导学生通读全题，对题目的已知条件和结论有一个整体的把握，分析显性条件，挖掘隐性条件，明确解题目标，获取有效信息.
②引导学生探究解题思路
学生自己尝试解决问题的过程是任何精彩的讲解活动所不能替代的. 教师要做的是适时、适当的启发和引导. 要注重宏观的思维结构教学，培养学生的数感、图感、题感，提升学生思维能力. 我们可以分成三个层次实施，首先引导学生对题目的已知、未知及整体结构进行概略性思考，明确解题的大体方向. 再次引导学生抓住题干中的关键点，将题干信息与头脑中的已有知识联系起来，具体可做这样一些思考，如：要解决的是哪一类问题，通常的处理方法有哪些？题目条件的关键之处是什么？能做哪些等价转化.题目的条件与目标之间如何构建关系等等. 最后才是这个问题的具体解答.
③引导学生小结、反思
题目的解答结束并不是解题活动的结束. 引导学生对探究、解决问题的过程进行小结、反思、提炼必不可少. 从所用的知识、方法的选择、优化和归类、解题的基本规律、用到的数学思想方法，解题过程中的不同思维层次等方面多角度进行小结；从变式和结论的推广等方面深层次地进行拓展. 学生如能进行这样的解题活动，“解一题、会一类、通一片”就不难实现.
2. 怎么讲
怎样的习题课能真正地吸引学生，笔者认为是打开学生思维，学生想、学生说、学生做的课堂. 学生能想能说的，绝不包办，学生思考后不能解决的思维障碍，设计层层递进的问题启发学生逐步思考、突破. 启发不可一步到位，而应观察学生的思维动态，把握启发的时间和度.
学生选择的方法也许不是教师准备的方法，也许并不简单，也许不能正确解答，教师切不可生拉硬拽. 学生的错误暴露了，教师就能对症下药；方法有了比较，才能体现简单与烦琐，经历这个过程，学生学会了多角度地分析问题，选择恰当的方法解决. 教师应鼓励学生大胆地表达自己的想法，鼓励同学们讨论、辨析，积极打造一个学生思维碰撞、展示的平台. 这样的课堂必然比教师干巴巴的讲解要能调动学生的积极性与参与度.
下面以一道南通模拟题为例，谈谈自己的一些尝试，与同行切磋交流.
阶段一：展示考题，明确任务
例题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 =1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），离心率为.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF.
图1
（1）求椭圆的方程； （2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1 k2.
阶段二：分析考题，探究思路
教师：请同学们仔细审题，想一想已知哪些条件？要求什么？
学生1：已知焦点坐标和离心率，这样就可以求出椭圆的标准方程了. 答案是 y2=1.
教师：这一问考查的是椭圆基本量的计算. 下面我们重点研究第二个问题.
这个问题要求的是AC、BD的斜率之和. 如何表示斜率呢？
学生2：利用直线的斜率计算公式，那这样就需要知道A、B、C、D四点的坐标，但这四点坐标不知如何去求.
教师：好，A、B、C、D分别是弦AB、CD与椭圆的交点，我们通常是怎么解决直线与椭圆相交的问题的？
学生2：我们通常有两种途径，①从直线方程入手，设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立；②从点坐标入手.
图2
教师：好，我们就先尝试从直线方程入手.
教师：我们再回到题目，还有哪些已知条件？
学生3：还有两条特殊的动弦，一条经过原点，一条经过右焦点，它们相交于点E，在运动的过程中始终保持OE=EF.
教师：说得很好，OE=EF这个几何特征怎么转化？
学生4：由OE=EF得到∠EOF=∠EFO，从而得到AB、CD的斜率互为相反数. 这样设AB的方程为y=kx，那么CD的方程就是y=-k（x-1），然后分别联立AB方程与椭圆方程，CD方程与椭圆方程就可以求出A、B、C、D四点坐标，这样就可以表示出斜率了.
教师：想法不错，是不是一定要算出四点的横、纵坐标呢？
学生5：从目标出发，看看要求的到底是什么？
教师：好，同学们动手试一试.
这样我们只需利用求根公式求出四点的横坐标就可以了. 我算得点A，B的横坐标为±，点C，D的横坐标为，代入后得到k1 k2=0.
教师：好，这说明我们在计算时要有目标意识，不能盲目计算. 回到刚才的求解过程，请同学们再仔细观察我们化简后的式子，你有什么发现？
学生7：式子的形式非常整齐，出现了x1 x2，x1x2，x3 x4，x3x4，而x1、x2是直线AB与椭圆交点的横坐标，x3、x4是直线CD与椭圆交点的横坐标，这样就不需要具体解出四点横坐标，直接利用根与系数的关系就可以解决问题了. 我得到x1 x2=0，x1x2=-，x3 x4=，x3x4=，代入上式得0.
教师：说得很好，体现了整体思想，它实质上是方法一的优化. 同学们，刚才我们的两种做法都是抓住OE=EF得到的AB、CD的斜率互为相反数，从而设AB的斜率为k，将四点的横坐标或横坐标间的关系用k表示，最终解决问题. 同学们想一想OE=EF这个条件还可以怎么转化呢？
学生8：也可以转化成点E在线段OF的中垂线上，这样我们就可以确定E的横坐标为. 如果设点E的纵坐标为y0，那么我们就可以用y0来表示AB、CD的斜率. 和刚才两种做法完全类似，四点横坐标或横坐标的关系就可以用y0来表示，从而解决问题.
教师：不错. 下面我们再尝试从点坐标入手.
学生9：我试了一下. 由于A、B两点关于原点对称. 因此可设A（x1，y1），B（-x1，-y1），C（x2，y2），D（x3，y3），这样k1=，k2=，k1 k2=
因为A、B、O，C、F、D三点共线且OE=EF
所以==-
所以x1y2 x2y1=y1且x1y3 x3y1=y1，分子中的第二项与第四项正好抵消.这时再次利用这个等式将y2、y3消去，可得k1 k2= . 再用刚才的解法将这些横坐标用k或y0来表示，问题就解决了.我感觉做起来挺麻烦的.
教师：我们看到从点坐标入手的想法很好，但就这题而言参数太多，很难消去，最后还得回到k，并不是解决这个问题的最佳方法. 可见我们在解决问题时，还存在方法的选择. 要充分地分析题目，选择恰当的解题路径.
阶段三：一题多变，举一反三
教师：同学们知道，在伸压变换的作用下，椭圆可化为圆，那么在圆的背景下，这个问题还有没有其他方法可以解决.
学生10：在如图3所示的圆中，因为∠1 ∠2=∠3=∠4=∠5=∠6 ∠7，且∠2=∠7，所以∠1=∠6.从而AC、BD的斜率之和为0.
图3
教师：说得太好了，圆是我们熟悉的几何图形，从圆的几何性质出发可以很快解决这个问题. 但在椭圆中∠2和∠7的相等很难得到. 因此我们刚才选择的几种方法的共同点都是通过代数运算解决几何问题，这也是解析几何的本质和精髓所在. 在运算方面我们要关注算，还要关注怎么算.
教师：同学们，我们回到题目，如果我们将BC、AD也连起来，它们的斜率之和也是定值吗？
学生11：我用刚才的方法算了算，结果也是0.
教师：好，刚才同学们在分析条件时说AB、CD是两条特殊的弦，一条经过原点，一条经过右焦点，如果它们的位置没有这么特殊，仅满足倾斜角互补，原题的结论和刚才变题的结论还成立吗？这时AB、CD的方程应怎么设呢？
学生12：设AB的方程为y=kx m，则 CD的方程为y=-kx n，用原题类似的方法得到AC、BD的斜率之和，BC、AD的斜率之和都是0.
教师：很好. 在刚才的研究过程中我们发现如果AB、CD的斜率之和是0，那么AC、BD的斜率之和，BC、AD的斜率之和都是0. 是不是只要在这三对中有一对是0，其余各对也均为0呢？这一结论可否推广到双曲线、抛物线中去呢？这两个问题交给同学们课后去研究.
以上是笔者结合自己的教学实例在如何提高习题课的学习效果上做的一些尝试，定有许多不足之处，还望得到同行的批评指正. 笔者认为，作为一线教师只要在“讲什么”、“怎么讲”上多一些关注，在“通过这道题我到底要教给学生什么”上多一些思考，习题课教学的有效性一定能大大提高.
关键词：习题课教学
习题课是高三复习中的常见课型，这种围绕解题展开的教学活动在学生思维能力、探究能力、解题能力的培养方面发挥着至关重要的作用. 可是常常听到老师抱怨：“讲过了，怎么还不会”.可见有时习题课的效果并不理想. 寻找原因，探求解决策略，才能打造高效的课堂，为此笔者做了一些思考.
[?] 存在问题
1. 课堂模式单一陈旧
习题课的大多课堂呈现形式是教师讲、学生听. 看似精心准备的教师滔滔不绝地讲解自己的解法，更多关注的是自己的讲授，忽视了对学生思维生成的关注. 教师与学生的互动常常停留在填充式的一问一答上，学生参与的形式也只是将老师换成了优秀学生的展示. 这样导致的结果是学生虽能认识到习题课的重要性，但单一呆板的课堂模式使得学生的学习兴趣、参与程度明显低于新授课. 遇到难点，不再主动参与探究，而是习惯性地、被动地等待老师给出结果. 由于没有亲身体验解题的过程，学生在课堂上似乎认可了老师的解题思路，但其实并没有真正掌握. 遇到类似问题，依然束手无策.
2. 讲解内容就题论题
教师对题目的讲题一般是解题方法的简单呈现，解题技巧的神秘出现，多种解法的逐一展示，各种类型试题的重复叠加. 教学主要是告诉学生“怎么解”，较少去引导学生思考“为什么这样解”，“怎样学会解”. 没有同类题目的归类，没有解题规律的总结，没有思想方法的提炼，没有解题三个思维层次——概略性、功能性、特殊性的启发引导. 数学题目千变万化，层出不穷，这种就题论题的教学导致的结果是学生对题目的认识是孤立的、浅薄的、片面的、琐碎的，学生收获的仅是一道题目的解答，却不明白难点是怎么突破的，解法是怎么想到的，并没有在解题中形成解决问题的能力，自然而然也就谈不上融会贯通、举一反三.看似容量很大的一节课，学生收获甚少.
[?] 对策分析
针对上述问题，笔者认为教师在习题课的教学中应关注讲什么以及怎么讲.
1. 讲什么
（1）教学内容的合理选择
选择和设计一道好的习题是提高习题课有效性的前提所在. 题目应以考查基本知识、训练通性通法为主要原则，不讲怪题、技巧特殊题. 应具有典型性、针对性和层次性，能暴露学生共性问题，能让不同层次的学生有不同收获，这也与这几年江苏高考命题的强调“三基”、突出“三基”、考查“三基”，起点低、入手易相吻合. 题目的选取和正确解答仅仅是备课的一部分. 防止学生对题目的研究浅尝辄止，教师必须深入研究. 可在题目的变式上做一些思考，如：条件可否弱化、强化，问题可否增加，条件、结论可否交换，结论可否推广. 教师精心设计变式训练或引导学生尝试原题改编，都能极大地调动学生的学习热情，培养学生的思维能力.
（2）教学目标的准确设置
习题课到底应设置怎样的教学目标，到底要教给学生什么？笔者认为是研究一个问题的方法. 可通过以下环节来实现.
①引导学生学会审题
审题是解决一个问题的关键所在. 许多学生拿到一个题目不会做或做不对，常常是因为没有审好题. 审题绝不是简单地把题目看一遍. 教学中应引导学生通读全题，对题目的已知条件和结论有一个整体的把握，分析显性条件，挖掘隐性条件，明确解题目标，获取有效信息.
②引导学生探究解题思路
学生自己尝试解决问题的过程是任何精彩的讲解活动所不能替代的. 教师要做的是适时、适当的启发和引导. 要注重宏观的思维结构教学，培养学生的数感、图感、题感，提升学生思维能力. 我们可以分成三个层次实施，首先引导学生对题目的已知、未知及整体结构进行概略性思考，明确解题的大体方向. 再次引导学生抓住题干中的关键点，将题干信息与头脑中的已有知识联系起来，具体可做这样一些思考，如：要解决的是哪一类问题，通常的处理方法有哪些？题目条件的关键之处是什么？能做哪些等价转化.题目的条件与目标之间如何构建关系等等. 最后才是这个问题的具体解答.
③引导学生小结、反思
题目的解答结束并不是解题活动的结束. 引导学生对探究、解决问题的过程进行小结、反思、提炼必不可少. 从所用的知识、方法的选择、优化和归类、解题的基本规律、用到的数学思想方法，解题过程中的不同思维层次等方面多角度进行小结；从变式和结论的推广等方面深层次地进行拓展. 学生如能进行这样的解题活动，“解一题、会一类、通一片”就不难实现.
2. 怎么讲
怎样的习题课能真正地吸引学生，笔者认为是打开学生思维，学生想、学生说、学生做的课堂. 学生能想能说的，绝不包办，学生思考后不能解决的思维障碍，设计层层递进的问题启发学生逐步思考、突破. 启发不可一步到位，而应观察学生的思维动态，把握启发的时间和度.
学生选择的方法也许不是教师准备的方法，也许并不简单，也许不能正确解答，教师切不可生拉硬拽. 学生的错误暴露了，教师就能对症下药；方法有了比较，才能体现简单与烦琐，经历这个过程，学生学会了多角度地分析问题，选择恰当的方法解决. 教师应鼓励学生大胆地表达自己的想法，鼓励同学们讨论、辨析，积极打造一个学生思维碰撞、展示的平台. 这样的课堂必然比教师干巴巴的讲解要能调动学生的积极性与参与度.
下面以一道南通模拟题为例，谈谈自己的一些尝试，与同行切磋交流.
阶段一：展示考题，明确任务
例题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 =1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），离心率为.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF.
图1
（1）求椭圆的方程； （2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1 k2.
阶段二：分析考题，探究思路
教师：请同学们仔细审题，想一想已知哪些条件？要求什么？
学生1：已知焦点坐标和离心率，这样就可以求出椭圆的标准方程了. 答案是 y2=1.
教师：这一问考查的是椭圆基本量的计算. 下面我们重点研究第二个问题.
这个问题要求的是AC、BD的斜率之和. 如何表示斜率呢？
学生2：利用直线的斜率计算公式，那这样就需要知道A、B、C、D四点的坐标，但这四点坐标不知如何去求.
教师：好，A、B、C、D分别是弦AB、CD与椭圆的交点，我们通常是怎么解决直线与椭圆相交的问题的？
学生2：我们通常有两种途径，①从直线方程入手，设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立；②从点坐标入手.
图2
教师：好，我们就先尝试从直线方程入手.
教师：我们再回到题目，还有哪些已知条件？
学生3：还有两条特殊的动弦，一条经过原点，一条经过右焦点，它们相交于点E，在运动的过程中始终保持OE=EF.
教师：说得很好，OE=EF这个几何特征怎么转化？
学生4：由OE=EF得到∠EOF=∠EFO，从而得到AB、CD的斜率互为相反数. 这样设AB的方程为y=kx，那么CD的方程就是y=-k（x-1），然后分别联立AB方程与椭圆方程，CD方程与椭圆方程就可以求出A、B、C、D四点坐标，这样就可以表示出斜率了.
教师：想法不错，是不是一定要算出四点的横、纵坐标呢？
学生5：从目标出发，看看要求的到底是什么？
教师：好，同学们动手试一试.
这样我们只需利用求根公式求出四点的横坐标就可以了. 我算得点A，B的横坐标为±，点C，D的横坐标为，代入后得到k1 k2=0.
教师：好，这说明我们在计算时要有目标意识，不能盲目计算. 回到刚才的求解过程，请同学们再仔细观察我们化简后的式子，你有什么发现？
学生7：式子的形式非常整齐，出现了x1 x2，x1x2，x3 x4，x3x4，而x1、x2是直线AB与椭圆交点的横坐标，x3、x4是直线CD与椭圆交点的横坐标，这样就不需要具体解出四点横坐标，直接利用根与系数的关系就可以解决问题了. 我得到x1 x2=0，x1x2=-，x3 x4=，x3x4=，代入上式得0.
教师：说得很好，体现了整体思想，它实质上是方法一的优化. 同学们，刚才我们的两种做法都是抓住OE=EF得到的AB、CD的斜率互为相反数，从而设AB的斜率为k，将四点的横坐标或横坐标间的关系用k表示，最终解决问题. 同学们想一想OE=EF这个条件还可以怎么转化呢？
学生8：也可以转化成点E在线段OF的中垂线上，这样我们就可以确定E的横坐标为. 如果设点E的纵坐标为y0，那么我们就可以用y0来表示AB、CD的斜率. 和刚才两种做法完全类似，四点横坐标或横坐标的关系就可以用y0来表示，从而解决问题.
教师：不错. 下面我们再尝试从点坐标入手.
学生9：我试了一下. 由于A、B两点关于原点对称. 因此可设A（x1，y1），B（-x1，-y1），C（x2，y2），D（x3，y3），这样k1=，k2=，k1 k2=
因为A、B、O，C、F、D三点共线且OE=EF
所以==-
所以x1y2 x2y1=y1且x1y3 x3y1=y1，分子中的第二项与第四项正好抵消.这时再次利用这个等式将y2、y3消去，可得k1 k2= . 再用刚才的解法将这些横坐标用k或y0来表示，问题就解决了.我感觉做起来挺麻烦的.
教师：我们看到从点坐标入手的想法很好，但就这题而言参数太多，很难消去，最后还得回到k，并不是解决这个问题的最佳方法. 可见我们在解决问题时，还存在方法的选择. 要充分地分析题目，选择恰当的解题路径.
阶段三：一题多变，举一反三
教师：同学们知道，在伸压变换的作用下，椭圆可化为圆，那么在圆的背景下，这个问题还有没有其他方法可以解决.
学生10：在如图3所示的圆中，因为∠1 ∠2=∠3=∠4=∠5=∠6 ∠7，且∠2=∠7，所以∠1=∠6.从而AC、BD的斜率之和为0.
图3
教师：说得太好了，圆是我们熟悉的几何图形，从圆的几何性质出发可以很快解决这个问题. 但在椭圆中∠2和∠7的相等很难得到. 因此我们刚才选择的几种方法的共同点都是通过代数运算解决几何问题，这也是解析几何的本质和精髓所在. 在运算方面我们要关注算，还要关注怎么算.
教师：同学们，我们回到题目，如果我们将BC、AD也连起来，它们的斜率之和也是定值吗？
学生11：我用刚才的方法算了算，结果也是0.
教师：好，刚才同学们在分析条件时说AB、CD是两条特殊的弦，一条经过原点，一条经过右焦点，如果它们的位置没有这么特殊，仅满足倾斜角互补，原题的结论和刚才变题的结论还成立吗？这时AB、CD的方程应怎么设呢？
学生12：设AB的方程为y=kx m，则 CD的方程为y=-kx n，用原题类似的方法得到AC、BD的斜率之和，BC、AD的斜率之和都是0.
教师：很好. 在刚才的研究过程中我们发现如果AB、CD的斜率之和是0，那么AC、BD的斜率之和，BC、AD的斜率之和都是0. 是不是只要在这三对中有一对是0，其余各对也均为0呢？这一结论可否推广到双曲线、抛物线中去呢？这两个问题交给同学们课后去研究.
以上是笔者结合自己的教学实例在如何提高习题课的学习效果上做的一些尝试，定有许多不足之处，还望得到同行的批评指正. 笔者认为，作为一线教师只要在“讲什么”、“怎么讲”上多一些关注，在“通过这道题我到底要教给学生什么”上多一些思考，习题课教学的有效性一定能大大提高.