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初中数学中体现着大量的重要数学思想，如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数思想、整体思想等.数学思想方法是数学基础知识与基本方法的概括与升华,是数学知识结构的精髓.
一、数形结合思想---图形帮助解题
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单讲就是“数”与“形”.通过数量关系来研究图形性质，或通过图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决问题的思想称为数形结合思想.
这里，一科优秀者包括二科优秀者和三科优秀者，同理，二科优秀者包括二科优秀者和三科优秀者.请你通过分析计算证明上述统计表有错误. 如图所示A、B、C三个圆分别表示语文、数学、外语毕业成绩优秀的同学.d表示语数外均优秀的同学53人，（e+d）表示语数优秀者61人、（f+d）表示数外优秀者62人、（g+d）表示语外优秀者79人，很容易的计算出e=8、f=9、g=26，同理计算出A=44、B=47、C=64.从而得出A+B+C+d+e+f+g=44+47+64+53+8+9+26=251≠250 ，证明统计数据确实有错误.
二、化归思想---化生题为熟题
化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.它有助于揭开问题的面纱，采用避实击虚，使问题迎刃而解.
例：已知实数a和b，a≠b，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 .则b +a 的值为（ ） A、23; B、-23;C-2;D-13
学生会想方设法计算出a和b的值，再代入所求的代数式，其实只要仔细审题就能发现a和b是关于方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根，这就找到了突破点，原来的问题转化为一元二次方程的有关知识，整理原方程得到x2+5x+1=0.根据韦达定理可知：a+b=-5，ab=1.发现a和b互为倒数，而且a和b均为负数.最后得出结果为-23.
三、分类讨论思想---分情况解决问题
在解决某些数学问题时，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法.“分类讨论”体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.通过分类讨论思想的教学有助于学生形成全面、严谨、周密的思考问题的习惯.
例题1：解关于x的方程： x2－2ax=4a－a2
应由4a的不同取值分三种情况讨论:
⑵当4a=0时，即a=0时，则x1=x2=a
⑶当4a<0时，即a<0，原方程无实根.
例2：等腰三角形的一条腰上的高等于此三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为___度.
简析：由于一条边不明确及高的位置不确定，因此必须分类讨论.
四、函数思想---用变量和函数来思考
用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析和解决问题称为函数思想.函数思想实质是数学知识观念转换的重要思想，有助于对数学知识更深刻的理解.
例：某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，就能卖出300个，若该商品在120元的基础上每涨价一元，就要少卖出10个，而每降价一元就可多卖出30个，问：为获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？
根据题意，可建立利润和售价之间的函数关系式，利用二次函数的的最值求解.
第一种情况：若按每个120元出售，可获得利润300×20=6000（元）
第二种情况：若设涨价x（x >0）元，则可卖出（300—10x）个，设利润为y，
则y=（20+x）（300—10x）=—10（x—5）2+6250 ，当x=5时，ymax =6250
第三种情况：若设降价x（x >0）元，则可卖出（300+30x）个，设利润为y，
则y=（20—x）（300+30x）=—30（x—5）2+6750 ，当x=5时，ymax =6750
因此商店应将该商品定价为115元可获最大利润6750元.
五、整体思想——即见“树木”又见“森林”
将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题的方向的策略就是整体思想.它与分解、分步处理问题正好相反，既看局部，又看整体.
例：某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元；由于这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际年收入值高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是_____.
简析：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分步求出每个未知量，不妨从整体消元入手.设a1,a2,a3,…,a999,a1000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设她们的平均值是A，误输的数据为&,由题意得 a1+a2+…+a999+38000=1000A及a1+a2+…+a999+&=1000(A+342),易得&=380000
综上所述，作为数学教师应该让学生通过自己的思维活动在获取数学知识的同时，形成数学思想，提高学习和运用数学能力.
一、数形结合思想---图形帮助解题
数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式，简单讲就是“数”与“形”.通过数量关系来研究图形性质，或通过图形的性质来探讨数量关系，即这种“数”与“形”的相互转化的解决问题的思想称为数形结合思想.
这里，一科优秀者包括二科优秀者和三科优秀者，同理，二科优秀者包括二科优秀者和三科优秀者.请你通过分析计算证明上述统计表有错误. 如图所示A、B、C三个圆分别表示语文、数学、外语毕业成绩优秀的同学.d表示语数外均优秀的同学53人，（e+d）表示语数优秀者61人、（f+d）表示数外优秀者62人、（g+d）表示语外优秀者79人，很容易的计算出e=8、f=9、g=26，同理计算出A=44、B=47、C=64.从而得出A+B+C+d+e+f+g=44+47+64+53+8+9+26=251≠250 ，证明统计数据确实有错误.
二、化归思想---化生题为熟题
化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.它有助于揭开问题的面纱，采用避实击虚，使问题迎刃而解.
例：已知实数a和b，a≠b，且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2 .则b +a 的值为（ ） A、23; B、-23;C-2;D-13
学生会想方设法计算出a和b的值，再代入所求的代数式，其实只要仔细审题就能发现a和b是关于方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根，这就找到了突破点，原来的问题转化为一元二次方程的有关知识，整理原方程得到x2+5x+1=0.根据韦达定理可知：a+b=-5，ab=1.发现a和b互为倒数，而且a和b均为负数.最后得出结果为-23.
三、分类讨论思想---分情况解决问题
在解决某些数学问题时，需要将问题所涉及的所有对象按一定的标准，分成若干类，然后逐类讨论，才能得出正确的解答，这种解题方法称为分类讨论法.“分类讨论”体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.通过分类讨论思想的教学有助于学生形成全面、严谨、周密的思考问题的习惯.
例题1：解关于x的方程： x2－2ax=4a－a2
应由4a的不同取值分三种情况讨论:
⑵当4a=0时，即a=0时，则x1=x2=a
⑶当4a<0时，即a<0，原方程无实根.
例2：等腰三角形的一条腰上的高等于此三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为___度.
简析：由于一条边不明确及高的位置不确定，因此必须分类讨论.
四、函数思想---用变量和函数来思考
用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系表示出来，运用函数的概念和性质去分析和解决问题称为函数思想.函数思想实质是数学知识观念转换的重要思想，有助于对数学知识更深刻的理解.
例：某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，就能卖出300个，若该商品在120元的基础上每涨价一元，就要少卖出10个，而每降价一元就可多卖出30个，问：为获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？
根据题意，可建立利润和售价之间的函数关系式，利用二次函数的的最值求解.
第一种情况：若按每个120元出售，可获得利润300×20=6000（元）
第二种情况：若设涨价x（x >0）元，则可卖出（300—10x）个，设利润为y，
则y=（20+x）（300—10x）=—10（x—5）2+6250 ，当x=5时，ymax =6250
第三种情况：若设降价x（x >0）元，则可卖出（300+30x）个，设利润为y，
则y=（20—x）（300+30x）=—30（x—5）2+6750 ，当x=5时，ymax =6750
因此商店应将该商品定价为115元可获最大利润6750元.
五、整体思想——即见“树木”又见“森林”
将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题的方向的策略就是整体思想.它与分解、分步处理问题正好相反，既看局部，又看整体.
例：某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元；由于这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际年收入值高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是_____.
简析：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分步求出每个未知量，不妨从整体消元入手.设a1,a2,a3,…,a999,a1000分别为所统计的1000户居民的年收入，又设她们的平均值是A，误输的数据为&,由题意得 a1+a2+…+a999+38000=1000A及a1+a2+…+a999+&=1000(A+342),易得&=380000
综上所述，作为数学教师应该让学生通过自己的思维活动在获取数学知识的同时，形成数学思想，提高学习和运用数学能力.