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【摘要】在平面直角坐标系中，可以借助点的坐标与曲线的方程，用代数的方法研究几何图形的几何性质.在空间中，可以借助空间直角坐标系，用坐标确定点，用三点共线及四点共面条件确定空间中直线与平面的位置，通过代数运算，研究几何元素之间的位置关系和数量关系.
【关键词】三点共线;四点共面;几何作图;坐标法
欧几里得的《几何原本》建立了人类历史上第一座宏伟的演绎推理大厦，《几何原本》从少量的“自明”的“公理”“公设”出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系.其中逻辑推理至关重要，这需要我们以一些简单现象作为“公理”.非欧几何的产生说明，由于“公理”的不同，经过逻辑推理，所得到的结论不同.“公理”相同的情况下，由于“公理”的表达方式不同，导致推理过程呈现方式不同，推理过程难易程度也不相同，高中阶段的立体几何教材就呈现了这一思想.
在人教A版必修2中，以空间图形的基本性质作为“起点”，探索并进行逻辑推理，用坐标把点的位置数量化，进而把图形性质用数量关系表示出来，侧重培养学生的空间想象、几何直观及逻辑推理能力.人教A版选修2-1中，通过新的视角，用直线的方向向量及平面的法向量研究点、线、面之间的位置关系，进一步发展学生的数学运算、直观想象的素养.用空间直角坐标系中点的坐标、直线与平面的方程作为研究工具，为研究空间几何体提供了一种新的视角.
我们以三点共线及四点共面的坐标表示为工具，通过具体问题阐述如何用坐标法研究空间几何体中点、线、面的位置关系和数量关系.
定理1 若平面内不重合的三点A，B，P共线，则存在实数λ，使得AB=λAP.
定理2 对于空间中不共线的三点A，B，C，若P为平面ABC内任意一点，则存在实数λ，μ，使得AP=λAB μAC.
例1 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面
ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD中点，点F在PC上，且PFPC=13.
图1问题1 建立空间直角坐标系，求直线PC上点F的坐标.
解：如图1所示，因为PA⊥平面ABCD，又AD⊥DC，所以，以DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D做平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（2，0，2），E（1，0，1）.
设F（x，y，z），
根据题意可得PF=13PC，
又PF=（x-2，y，z-2），PC=（-2，2，-2），所以（x-2，y，z-2）=13（-2，2，-2），解得F43，23，43.
问题2 求直线PB与平面AEF的交点坐标.
分析：要求直线PB与平面AEF的交点坐标，只要在平面AEF内找一点G，使得P，B，G三点共线即可.
解：设G（x，y，z），因为P，G，B三点共线，所以存在实数λ，使PG=λPB，即（x-2，y，z-2）=λ（1，2，-2），易得G（2 λ，2λ，2-2λ），因为A，E，F，G四点共面，所以，存在实数m，n使得AG=mAE nAF，因为AE=（-1，0，1），AF=-23，23，43，AG=（λ，2λ，2-2λ），即（λ，2λ，2-2λ）=m（-1，0，1） n-23，23，43，解得λ=23，得到点G83，43，23.
问题3 求点B到直线PD的距离.
分析：过点B向直线PD作垂线，设M为垂足，即M为直线PD上一点，使得BM⊥PD.
图2解：如图2所示，设M（x，y，z），
因为P，M，D三点共线，所以存在实数λ，使PM=λPD，即（x-2，y，z-2）=λ（-2，0，-2），易得：
M（2-2λ，0，2-2λ），所以BM=（-2λ-1，-2，2-2λ），
又PD=（-2，0，-2），BM⊥PD，
所以
（-2λ-1，-2，2-2λ）·（-2，0，-2）=0，
解得λ=14，所以M32，0，32，则点B到直线PD的距离|BM|=3-322 （2-0）2 0-322=342.
问题4 求点B到平面PCD的距離.
分析：由点到平面的距离定义得以下解法.
图3解：如图3所示，过B作BH⊥平面PCD于H，设H（x，y，z），
因为P，D，C，H四点共面，
所以存在实数λ，μ使得DH=λDP μDC，即有（x，y，z）=λ（2，0，2） μ（0，2，0），易得H（2λ，2μ，2λ），
所以
BH=（2λ-3，2μ-2，2λ），
因为BH⊥平面PDC，所以BH·DP=0，BH·DC=0，
即（2λ-3，2μ-2，2λ）·（2，0，2）=0，（2λ-3，2μ-2，2λ）·（0，2，0）=0，
则有4λ-3=0，2μ-2=0，解得λ=34，μ=1，所以H32，2，32.
所以|BH|=3-322 （2-2）2 0-322=322.
问题5 求直线PB与平面PCD所成角.
分析：由直线与平面所成角的定义，过点B向平面PCD引垂线，设H为垂足，连接PH，则∠BPH为直线PB与平面PCD所成角.
解：如图3所示，由问题4得垂足H32，2，32，在直角三角形PHB中，∠BPH为直线PB与平面PCD所成角，因为|BH|=322，且B（3，2，0），P（2，0，2），|BP|=（3-2）2 （2-0）2 （0 -2）2=3，所以sin∠BPH=|BH||BP|=22，又0
【关键词】三点共线;四点共面;几何作图;坐标法
欧几里得的《几何原本》建立了人类历史上第一座宏伟的演绎推理大厦，《几何原本》从少量的“自明”的“公理”“公设”出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系.其中逻辑推理至关重要，这需要我们以一些简单现象作为“公理”.非欧几何的产生说明，由于“公理”的不同，经过逻辑推理，所得到的结论不同.“公理”相同的情况下，由于“公理”的表达方式不同，导致推理过程呈现方式不同，推理过程难易程度也不相同，高中阶段的立体几何教材就呈现了这一思想.
在人教A版必修2中，以空间图形的基本性质作为“起点”，探索并进行逻辑推理，用坐标把点的位置数量化，进而把图形性质用数量关系表示出来，侧重培养学生的空间想象、几何直观及逻辑推理能力.人教A版选修2-1中，通过新的视角，用直线的方向向量及平面的法向量研究点、线、面之间的位置关系，进一步发展学生的数学运算、直观想象的素养.用空间直角坐标系中点的坐标、直线与平面的方程作为研究工具，为研究空间几何体提供了一种新的视角.
我们以三点共线及四点共面的坐标表示为工具，通过具体问题阐述如何用坐标法研究空间几何体中点、线、面的位置关系和数量关系.
定理1 若平面内不重合的三点A，B，P共线，则存在实数λ，使得AB=λAP.
定理2 对于空间中不共线的三点A，B，C，若P为平面ABC内任意一点，则存在实数λ，μ，使得AP=λAB μAC.
例1 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面
ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD中点，点F在PC上，且PFPC=13.
图1问题1 建立空间直角坐标系，求直线PC上点F的坐标.
解：如图1所示，因为PA⊥平面ABCD，又AD⊥DC，所以，以DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D做平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（2，0，2），E（1，0，1）.
设F（x，y，z），
根据题意可得PF=13PC，
又PF=（x-2，y，z-2），PC=（-2，2，-2），所以（x-2，y，z-2）=13（-2，2，-2），解得F43，23，43.
问题2 求直线PB与平面AEF的交点坐标.
分析：要求直线PB与平面AEF的交点坐标，只要在平面AEF内找一点G，使得P，B，G三点共线即可.
解：设G（x，y，z），因为P，G，B三点共线，所以存在实数λ，使PG=λPB，即（x-2，y，z-2）=λ（1，2，-2），易得G（2 λ，2λ，2-2λ），因为A，E，F，G四点共面，所以，存在实数m，n使得AG=mAE nAF，因为AE=（-1，0，1），AF=-23，23，43，AG=（λ，2λ，2-2λ），即（λ，2λ，2-2λ）=m（-1，0，1） n-23，23，43，解得λ=23，得到点G83，43，23.
问题3 求点B到直线PD的距离.
分析：过点B向直线PD作垂线，设M为垂足，即M为直线PD上一点，使得BM⊥PD.
图2解：如图2所示，设M（x，y，z），
因为P，M，D三点共线，所以存在实数λ，使PM=λPD，即（x-2，y，z-2）=λ（-2，0，-2），易得：
M（2-2λ，0，2-2λ），所以BM=（-2λ-1，-2，2-2λ），
又PD=（-2，0，-2），BM⊥PD，
所以
（-2λ-1，-2，2-2λ）·（-2，0，-2）=0，
解得λ=14，所以M32，0，32，则点B到直线PD的距离|BM|=3-322 （2-0）2 0-322=342.
问题4 求点B到平面PCD的距離.
分析：由点到平面的距离定义得以下解法.
图3解：如图3所示，过B作BH⊥平面PCD于H，设H（x，y，z），
因为P，D，C，H四点共面，
所以存在实数λ，μ使得DH=λDP μDC，即有（x，y，z）=λ（2，0，2） μ（0，2，0），易得H（2λ，2μ，2λ），
所以
BH=（2λ-3，2μ-2，2λ），
因为BH⊥平面PDC，所以BH·DP=0，BH·DC=0，
即（2λ-3，2μ-2，2λ）·（2，0，2）=0，（2λ-3，2μ-2，2λ）·（0，2，0）=0，
则有4λ-3=0，2μ-2=0，解得λ=34，μ=1，所以H32，2，32.
所以|BH|=3-322 （2-2）2 0-322=322.
问题5 求直线PB与平面PCD所成角.
分析：由直线与平面所成角的定义，过点B向平面PCD引垂线，设H为垂足，连接PH，则∠BPH为直线PB与平面PCD所成角.
解：如图3所示，由问题4得垂足H32，2，32，在直角三角形PHB中，∠BPH为直线PB与平面PCD所成角，因为|BH|=322，且B（3，2，0），P（2，0，2），|BP|=（3-2）2 （2-0）2 （0 -2）2=3，所以sin∠BPH=|BH||BP|=22，又0