高考函数问题的题型与解题方法

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  一、函数的概念型问题
  本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识,真正明确不仅函数的对。应法则,而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用,并真正以此作为处理问题的指导。其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性,不仅要用到解方程,解不等式等知识,还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。
  (一)深化对函数概念的认识
  1.对函数单调性和奇偶性定义的理解
  例3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是 ( )
  A.1 B.2 C.3 D.4
  分析:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误。
  奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确。
  若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,如例1中的(3),故④错误,选A。
  三、函数综合应用
  1.准确理解、熟练运用,不断深化有关函数的基础知识
  例4.已知函数f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数是。( )
  A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
  分析:这里首先要识别集合语言,并能正确把集合语言转化成熟悉的语言。从函数观点看,问题是求函数y=f(x),x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化),不少学生常误认为交点是1个,并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的,这是不正确的,因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的。这里给出了函数y=f(x)的定义域是F,但未明确给出1与F的关系,当1∈F时有1个交点,当1不属于F时没有交点,所以选C。
  2.掌握研究函数的方法,提高研究函数问题的能力
  函数、方程、不等式是相互联系的。对于函数f(x)与g(x),令f(x)=g(x),f(x)>g(x)或f(x)  例5.方程lgx+x=3的解所在区间为( )
  A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
  分析:在同一平面直角坐标系中,画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图2)。它们的交点横坐标,显然在区间(1,3)内,由此可排除A,D。至于选B还是选C,由于画图精确性的限制,单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此x0>2,从而判定x0∈(2,3),故本题应选C。
  (作者单位:江西省吉安市永新县禾川中学)
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