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【摘要】本文以“黄金分割”为例谈数学第二课堂的开展。通过探索黄金分割的内容让学生了解数学在生活中的运用，让学生受数学文化的浸润，感悟数学美，激发学生对数学的学习兴趣，提升数学科学素养。
【关键词】第二课堂;黄金分割;数学文化;数学素养
一、开展数学第二课堂活动的背景
1.新课标高考的需求
2019年高考的断臂维纳斯和2020年高考的“胡夫金字塔”模型题目，以古代世界建筑奇迹胡夫金字塔为依托，将数学基础知识与数学文化有机结合，运用黄金分割比体现了数学的美。如果对数学史和数学文化没有一定的了解，学生就只能通过传统方法建模再运算，运算量大费时间不说，还不能顺利完成。而位于第3或第4题的位置花太多时间做题显然不合适。基于这些考虑，开展数学第二课堂文化之旅非常必要。还可以让学生发现数学来源于生活，与我们并不遥远，从而激发学生学习数学的热情，培养数学科学核心素养。
2.现实教学的需要
现实的数学教学实践中，不同的教师对于在数学课堂上渗透数学文化存在差异性。此外在数学教学中，不同程度地存在着对考试的功利化追求，使得在教学中很容易弱化数学在实际生活中的应用以及培养学生的数学能力素养，单纯让学生成为做题工具。这些教学现实，促使我们亟需开发校本第二课堂。
二、开展数学第二课堂活动的形式和内容
1.精准定位，选定主题
（1）数学第二课堂选题依据：①我们在素材取舍方面，不追求面面俱到，只求选择内容能适合学生，贴近学生生活;②尽量贴近高考热点，满足新课标需求，立足于学生的认识实际，又高于学生的认识;③选择内容新奇有趣，能唤起学生对知识的追求和好奇心。
（2）选题途径： ①到图书馆翻阅资料，学习文献，如，《数学文化》《数学大观》《数学传奇》《数学简史》《我们身边的数学运用》《数学与生活》《感悟数学美》《欣赏数学之美》等;②通過微信公众号如“乐学数韵”“长风数学”“好老师在线数学”等途径寻找数学兴趣话题;③通过浏览器搜索，我们从理论学习，到定位，再到具体选题要求，进行了多次的研讨，结合近两年高考热点需要，最终筛选确定“黄金分割”作为研学对象。
2.成立兴趣小组，教师引领指导
兴趣小组由高一、高二的学生报名组成，以小组为依托，各组学生合作探究完成黄金分割的信息的收集和研究，每组负责一项内容。由于学生学力较差，所以由学校优秀青年教师先开办黄金分割的专题讲座，并完成《黄金分割》的顶层设计。黄金分割的内容包括黄金分割的概念以及黄金分割的应用。先由教师讲解概念和例谈其中一个应用，为学生做个引领。
（1）黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
如图，AC ：AB = CB ：AC=（-1）：2≈0.618，就是将1分割为0.618和0.382。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割。这个数字十分地有趣，经计算发现：0.618的倒数是1.618，即0.618×1.618=1。1÷0.618≈1.618≈（ 1）：2。
（2）黄金分割与斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…这个数列后面的每个数都是它前面的两个数之和，称为斐波那契数列。有趣的是当n越来越大的时候，它的前一项与后一项之比，趋近于黄金分割比0.618;而后一项与前一项之比，趋近于1.618;斐波那契数在我们生活中随处可见，比如松果、蜂巢的排列、等角螺线、十二平均律。像花瓣数：蝴蝶花和百合有3个花瓣、金凤花有5个、翠雀花8个、玫瑰13个等。与杨辉三角：如图：将杨辉三角左对齐排列，我们发现同一斜行的数加起来，即得斐波那契数列：1、1、2、3、5、8.
（3）黄金分割与植物：近几年盛行养多肉植物，因为多肉植物确实给人以美的享受。多肉顾名思义叶片肥大，而且叶片排列有序。这么多肉嘟嘟的叶片挤在一起可不能胡乱生长。怎样生长才能比较节省空间，才有生存优势从而多繁殖？
如图，多肉相邻的两片叶片，可构成一大一小两个夹角，这两个角什么关系呢？经研究θ1≈1137.5°，较大的角θ2≈222.5°，那么θ2/θ1刚好是黄金分割，等于0.618。
没错，叶片在生长素的作用下，按照黄金分割的角度绕着中轴生长，有序而美丽，我们不禁感叹，植物真“聪明”啊。每个花瓣严格按照0.618的黄金比例来放置，才能保证花瓣最大限。
度地暴露在阳光下，享受阳光与雨露。下图标出来叶片的生长顺序：
3.分工合作，放手实践
为了培养学生的调查访问、搜集资料等实践能力，必须充分发挥学生的主体地位，放手让学生们自己去探索发现身边黄金分割的例子。内容分工：分成几个小组，以小组为依托，每组负责黄金分割的一项应用。应用内容包括黄金分割与植物;黄金分割与建筑;黄金分割与股票;黄金分割与音乐;黄金分割与养生;黄金分割与摄影等。收集资料：让学生自己探索发现身边黄金分割的例子进行拍照，或通过杂志、报刊或通过网上搜索、数学微信公众号等采集相关文字、图片。例如黄金分割在建筑上有广泛应用，在北京故宫、古埃及的金字塔、希腊的帕特农神殿、法国巴黎铁塔、印度泰姬陵、上海的东方明珠广播电视塔等著名建筑物的构图布局设计上都可以找到黄金分割的影子。该小组学生可每人选取一个建筑，附上说明文字和图片，在图片上自己标上集体的比例说明。像黄金分割与股票，学生可与有炒股的家长取经或互相商议，认识一些黄金分割软件以及怎样用它来对股市行情进行预测分析，并将方法整理成小论文。筛选资料：将资料汇总，教师和同学们开小组会议，从刊登篇幅、材料的准确性、有趣性、实用性等方面筛选完善材料最后确定内容。
3.宣传内容，展览成果
宣传的方式多种多样，可以创办学生自己的数学刊物;可以通过班内的数学墙报宣传，为吸引更多学生可设立点将台，有奖征集等栏目。我们主要选择在校园内通过系列板报和宣传海报向全校学生展示成果，同时组织“黄金分割”数学征文比赛。在欣赏这些精美的图片和文字时许多参观的学生纷纷表示，原来数学是这么有趣有用，这么美的，以前从来不知道的。学生看到了数学的重要作用和广泛应用。
三、开展数学第二课堂活动的总结反思
数学文化需浸润，校本第二课堂的开发要反思。学生的数学文化素养的培养不是一蹴而就的，而是要靠长时间慢慢地培养的。特别是在现实的教育环境或是数学教学实践中，学生对于数学文化的认识，抑或是数学素养的提升，都是值得我们关注的。在活动过程中，数学教师也得到了很大的成长，只有数学教师通过自己的专业阅读，多了解点数学史、数学美，才能在自己感悟数学文化的魅力同时去影响学生。教师是照明灯是引路人，教师的参与使得活动更高效。由于墙报展板形式，只适合于校内阅读。所以，学生们将相关文字、图片做成“美篇”转发到微信家长群，让更多的家长和孩子互动，体味数学美。
数学第二课堂的开发不能止步，而应该不断地发展，应以不同的形式向学生、向外界去传播，比如微信、视频、书刊等。第二课堂是学生获取数学文化内容方式之一，黄金分割只是数学文化内容的一个小缩影。接下来我们将继续寻找更加有趣的话题继续开展活动，例如，“大自然创造的数～e”“勾股史话”“素数之恋”神奇的“142857”等，继续让学生感悟数学文化，提升数学素养。
通过数学第二课堂的活动，既丰富了校园数学文化，又提高了学生学习数学的兴趣，增强了学生们学好数学的信心，让数学文化渗透于校园，让快乐和智慧走近学生，提高了全校学生爱数学、学数学、用数学的意识，提升学生数学科学素养。
参考文献：
[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].人民教育出版社，2003.
[2]李大潜.黄金分割漫话[M].高等教育出版社，2007.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].四川教育出版社，2000.
[4]陈梅，陈仁政.奥妙无穷的黄金分割[M].人民邮电出版社，2016.
[5]吴振奎，吴旻.数学中的美[M].上海教育出版社，2002.
[6]李文林.数学史概论（第二版）[M].高等教育出版社，2000.
【关键词】第二课堂;黄金分割;数学文化;数学素养
一、开展数学第二课堂活动的背景
1.新课标高考的需求
2019年高考的断臂维纳斯和2020年高考的“胡夫金字塔”模型题目，以古代世界建筑奇迹胡夫金字塔为依托，将数学基础知识与数学文化有机结合，运用黄金分割比体现了数学的美。如果对数学史和数学文化没有一定的了解，学生就只能通过传统方法建模再运算，运算量大费时间不说，还不能顺利完成。而位于第3或第4题的位置花太多时间做题显然不合适。基于这些考虑，开展数学第二课堂文化之旅非常必要。还可以让学生发现数学来源于生活，与我们并不遥远，从而激发学生学习数学的热情，培养数学科学核心素养。
2.现实教学的需要
现实的数学教学实践中，不同的教师对于在数学课堂上渗透数学文化存在差异性。此外在数学教学中，不同程度地存在着对考试的功利化追求，使得在教学中很容易弱化数学在实际生活中的应用以及培养学生的数学能力素养，单纯让学生成为做题工具。这些教学现实，促使我们亟需开发校本第二课堂。
二、开展数学第二课堂活动的形式和内容
1.精准定位，选定主题
（1）数学第二课堂选题依据：①我们在素材取舍方面，不追求面面俱到，只求选择内容能适合学生，贴近学生生活;②尽量贴近高考热点，满足新课标需求，立足于学生的认识实际，又高于学生的认识;③选择内容新奇有趣，能唤起学生对知识的追求和好奇心。
（2）选题途径： ①到图书馆翻阅资料，学习文献，如，《数学文化》《数学大观》《数学传奇》《数学简史》《我们身边的数学运用》《数学与生活》《感悟数学美》《欣赏数学之美》等;②通過微信公众号如“乐学数韵”“长风数学”“好老师在线数学”等途径寻找数学兴趣话题;③通过浏览器搜索，我们从理论学习，到定位，再到具体选题要求，进行了多次的研讨，结合近两年高考热点需要，最终筛选确定“黄金分割”作为研学对象。
2.成立兴趣小组，教师引领指导
兴趣小组由高一、高二的学生报名组成，以小组为依托，各组学生合作探究完成黄金分割的信息的收集和研究，每组负责一项内容。由于学生学力较差，所以由学校优秀青年教师先开办黄金分割的专题讲座，并完成《黄金分割》的顶层设计。黄金分割的内容包括黄金分割的概念以及黄金分割的应用。先由教师讲解概念和例谈其中一个应用，为学生做个引领。
（1）黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
如图，AC ：AB = CB ：AC=（-1）：2≈0.618，就是将1分割为0.618和0.382。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割。这个数字十分地有趣，经计算发现：0.618的倒数是1.618，即0.618×1.618=1。1÷0.618≈1.618≈（ 1）：2。
（2）黄金分割与斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…这个数列后面的每个数都是它前面的两个数之和，称为斐波那契数列。有趣的是当n越来越大的时候，它的前一项与后一项之比，趋近于黄金分割比0.618;而后一项与前一项之比，趋近于1.618;斐波那契数在我们生活中随处可见，比如松果、蜂巢的排列、等角螺线、十二平均律。像花瓣数：蝴蝶花和百合有3个花瓣、金凤花有5个、翠雀花8个、玫瑰13个等。与杨辉三角：如图：将杨辉三角左对齐排列，我们发现同一斜行的数加起来，即得斐波那契数列：1、1、2、3、5、8.
（3）黄金分割与植物：近几年盛行养多肉植物，因为多肉植物确实给人以美的享受。多肉顾名思义叶片肥大，而且叶片排列有序。这么多肉嘟嘟的叶片挤在一起可不能胡乱生长。怎样生长才能比较节省空间，才有生存优势从而多繁殖？
如图，多肉相邻的两片叶片，可构成一大一小两个夹角，这两个角什么关系呢？经研究θ1≈1137.5°，较大的角θ2≈222.5°，那么θ2/θ1刚好是黄金分割，等于0.618。
没错，叶片在生长素的作用下，按照黄金分割的角度绕着中轴生长，有序而美丽，我们不禁感叹，植物真“聪明”啊。每个花瓣严格按照0.618的黄金比例来放置，才能保证花瓣最大限。
度地暴露在阳光下，享受阳光与雨露。下图标出来叶片的生长顺序：
3.分工合作，放手实践
为了培养学生的调查访问、搜集资料等实践能力，必须充分发挥学生的主体地位，放手让学生们自己去探索发现身边黄金分割的例子。内容分工：分成几个小组，以小组为依托，每组负责黄金分割的一项应用。应用内容包括黄金分割与植物;黄金分割与建筑;黄金分割与股票;黄金分割与音乐;黄金分割与养生;黄金分割与摄影等。收集资料：让学生自己探索发现身边黄金分割的例子进行拍照，或通过杂志、报刊或通过网上搜索、数学微信公众号等采集相关文字、图片。例如黄金分割在建筑上有广泛应用，在北京故宫、古埃及的金字塔、希腊的帕特农神殿、法国巴黎铁塔、印度泰姬陵、上海的东方明珠广播电视塔等著名建筑物的构图布局设计上都可以找到黄金分割的影子。该小组学生可每人选取一个建筑，附上说明文字和图片，在图片上自己标上集体的比例说明。像黄金分割与股票，学生可与有炒股的家长取经或互相商议，认识一些黄金分割软件以及怎样用它来对股市行情进行预测分析，并将方法整理成小论文。筛选资料：将资料汇总，教师和同学们开小组会议，从刊登篇幅、材料的准确性、有趣性、实用性等方面筛选完善材料最后确定内容。
3.宣传内容，展览成果
宣传的方式多种多样，可以创办学生自己的数学刊物;可以通过班内的数学墙报宣传，为吸引更多学生可设立点将台，有奖征集等栏目。我们主要选择在校园内通过系列板报和宣传海报向全校学生展示成果，同时组织“黄金分割”数学征文比赛。在欣赏这些精美的图片和文字时许多参观的学生纷纷表示，原来数学是这么有趣有用，这么美的，以前从来不知道的。学生看到了数学的重要作用和广泛应用。
三、开展数学第二课堂活动的总结反思
数学文化需浸润，校本第二课堂的开发要反思。学生的数学文化素养的培养不是一蹴而就的，而是要靠长时间慢慢地培养的。特别是在现实的教育环境或是数学教学实践中，学生对于数学文化的认识，抑或是数学素养的提升，都是值得我们关注的。在活动过程中，数学教师也得到了很大的成长，只有数学教师通过自己的专业阅读，多了解点数学史、数学美，才能在自己感悟数学文化的魅力同时去影响学生。教师是照明灯是引路人，教师的参与使得活动更高效。由于墙报展板形式，只适合于校内阅读。所以，学生们将相关文字、图片做成“美篇”转发到微信家长群，让更多的家长和孩子互动，体味数学美。
数学第二课堂的开发不能止步，而应该不断地发展，应以不同的形式向学生、向外界去传播，比如微信、视频、书刊等。第二课堂是学生获取数学文化内容方式之一，黄金分割只是数学文化内容的一个小缩影。接下来我们将继续寻找更加有趣的话题继续开展活动，例如，“大自然创造的数～e”“勾股史话”“素数之恋”神奇的“142857”等，继续让学生感悟数学文化，提升数学素养。
通过数学第二课堂的活动，既丰富了校园数学文化，又提高了学生学习数学的兴趣，增强了学生们学好数学的信心，让数学文化渗透于校园，让快乐和智慧走近学生，提高了全校学生爱数学、学数学、用数学的意识，提升学生数学科学素养。
参考文献：
[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].人民教育出版社，2003.
[2]李大潜.黄金分割漫话[M].高等教育出版社，2007.
[3]郑毓信，王宪昌，蔡仲.数学文化学[M].四川教育出版社，2000.
[4]陈梅，陈仁政.奥妙无穷的黄金分割[M].人民邮电出版社，2016.
[5]吴振奎，吴旻.数学中的美[M].上海教育出版社，2002.
[6]李文林.数学史概论（第二版）[M].高等教育出版社，2000.