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【摘要】现象教学强调“回到问题本身”，它的起始课主张从真实的现象出发，通过观察和思考，形成学生自己的表达（知识）。对于概念和结构，应当着眼于自然生成。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容；现象教学也不排斥情境教学，真实的情境就是现象。
【关键词】起始课；现象教学；弧度制
【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）11-0043-05
【作者简介】孙四周，江苏省苏州市吴江盛泽中学（江苏苏州，215228）教师，正高级教师，江苏省特级教师。
起始课除了引入课题、介绍核心概念以外，往往会呈现对课题的整体看法以及研究的方法和路径，给后面的课程定下基调。因此起始课素为教材编写者所看重，也往往是教师着力最深的地方。
课题怎么引入？核心概念从哪里来？这就牵涉知识观、学生观和教学观了。现象教学主张直面真实的世界，通过对现象的观察、思考而形成心理表征和符号表征，即形成属于自己的语言表达，这就从根本上杜绝了简单灌输。下面就以“弧度制”教学为例，谈一谈现象教学视角下的起始课教学。
“回到问题本身”是现象教学的主张，研究什么就直接面对它。当然这要求教师对课程有个明确的定位，即“它究竟是什么”。
用现象教学的观点看，这节课的“问题本身”不是弧度制，而是“角的度量”，弧度制只是“度量”方式之一。要让学生面对一个几何实体———角，而不是面对一个知识点———弧度制。如此一来，学生要做的事情就很多了，比如：明显可感觉到角是有大小，但什么是“角的大小”，怎樣进行角的度量、有哪些可能的度量方式、为什么要引进弧度制，以及什么是弧度制、它从哪里来又到哪里去……说穿了，“角”是一种现象，“角的度量”是人类活动，“弧度制”是人类活动的成果：用“1弧度”作为单位来度量，比较简单，更容易被应用，因此就更为重要，也就被当作了一个重要范式，并被上升为科学或文化，如是而已。
笔者的教学设计如下。
师：请同学们拿出纸和笔，一起画三角形。
师：先随便画一个三角形。接着，画一个小一点的三角形、再画一个更小的、更小的、小到看不见……
回到第一个三角形，现在来画一个大一点的、再画一个更大的、更大的、大到超出纸面，甚至可以超出这个宇宙……
这些三角形小到看不见，大到超出宇宙，它们的内角和———
生：都等于180毅。
师：大大小小的三角形，内角和都一样，为什么？
生：因为角的大小与边的长短无关，角的边是射线。
师：所以，我们度量角并不是度量角两边的长度。那是度量什么的？
生1：度量角对边的长度。
师：那么是不是对边越长，角就越大？
生2：不是。度量角所对的弧的长度。
师：是不是所对的弧越长，角就越大？
生3：还不是。是度量角所对弧的度数。
师：什么叫弧的度数？
生3：就是看那段弧含有多少度。
师：那么，1毅的弧是怎么定义的？
生：就是一个圆周的360分之一。
师：很好。我们回到了角度制的定义，就把问题看清楚了。“1毅角”是指圆周360分之一的弧所对的圆心角。那么，这里定义的1毅角与圆的半径长短有关系吗？
生：没有，都是把圆周360等分，每个圆的每一个份所对的圆心角都相等，都是1毅角。
师：那么，给你一个圆，你会把它360等分吗？
生：不会。
师：如此说来，要得到1毅的角并不容易。
生：用量角器。
师：量角器也是人造出来的，又该怎样制作量角器上的刻度线呢？实际上，人类需要测量的东西很多，最容易测量的是什么呢？
生：是长度。
师：那面积呢？体积呢？
生：面积、体积等都不是直接测量的，是通过长度计算出来的。
师：是的。就算是温度、重量、电流强度等，这些与长度无关的量，也都转化为对长度的测量，比如温度计、杆秤、电流表等。就是对时间的测量，也是转化为长度的。这些都不奇怪，人的眼睛能够看到的就是长度。那么，角的测量是不是也这样呢？
师：现在，你自己可以画一个圆周……但是你手里并没有它的360分之一，你有什么呢？
生：有半径。
师：如果我们用半径长来量出一段圆弧，再画出这段圆弧所对的圆心角，是不是可以确定出一个角来？
生（疑惑）：什么叫“确定出一个角”？
师：在不同半径的圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角是否相等呢？
我们来画几个看看（图1）。
操作：拿出几段长度不同的漆包线（软硬适度，便于弯折的那种，颜色要鲜艳一点）。用这些长度做半径画同心圆，再把漆包线弯成弧形，截取一段弧，画出所对的圆心角。
由此可以看到，在不同的圆里，弧长等于半径长的弧所对的圆心角大小相等。这个角很特别，我们就称它是1弧度的角，记为1rad。教师写出完整定义（此处略）。
师：定义1rad的角，是想干什么？
生：可以用这个角去度量其他角。
师：你能画出2rad的角吗？
生：两个半径长的弧所对的圆心角，用半径长的漆包线截取两次即可。
师：3rad的角呢？ 生：截3次。
任何一个独立的概念都是没有价值的，也是不容易记住的。在新的概念形成后，就要和原先的认知体系建立联系，向着结构化方向发展。
师：我们来画一个稍微大一点的角，6弧度的。
说明：上面已经画过2弧度、3弧度的角，可是在画6弧度的角时学生犹豫了起来。原因是：“6弧度的角”有没有超过1周角？这不是能用眼睛看出来的，必须经过精细的计算。
上面做了两个方面的事情，一是给定弧度数，画角；二是给定角，“度量”出它的弧度数。延续了“角的度量”的初衷，并把数学定义落实到具体情境中。在“求直角的弧度数”的时候学生还需要人为添加一个圆，这是对概念的应用，也加深了他们对弧度制的理解。
在这个过程中出现了“360毅=2仔弧度”，自然导出弧度制和角度制的换算。在应用中理解，在应用中感悟出新的知识，是很好的策略。
师：角的弧度数上限可以到多少？下限可以到多少？中间可以取哪些值？
生：正的可到无穷大，负的可到无穷大，中间可以取任意实数。
接下来是历史介绍，从度分秒制、弧度制、密位制，谈角的度量演化史，让学生了解人类的探索历程，在具体教学时可详可略。
在谈背景与展望时，应当注意以下几点：
（1）注重人类思想进步的脉络，略去琐碎的细节，对细节的过分关注不利于对事物的整体理解。
（2）描述前景时应向学生介绍能听懂的，或者稍加解释就能听懂的部分，完全听不懂的则不介绍。比如在本节课上，就不适合介绍炮兵是怎样用“密位”瞄准目标的，尽管它很有趣。
（3）起始课上要不要介绍整个课程（一整章或一整节）的概念图？笔者认为没有必要，除非学生能懂。当然，概念图在总结课上是很有价值的。
鉴于起始课为后续教学“定了调”，故尤其要“以学定教”。
教师对知识的了解肯定远远多于教材所给予的，因此要注意别把课堂变成知识的展示。弧度制这节课，笔者反复让学生画图，就是要让他们充分活动，以获得切身体验，体验过的才能被感悟。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容，比如学术名词、人为约定、专用符号等；现象教学也不排斥情境教学法，真实的情境就是现象。因此，现象教学可以吸收以前诸多教学法的优点，使得学生在真实的现象面前进行真实的思考、获得属于自己的实在的知识。
给予学生知识，他们能学会，路径是了解、理解、掌握、应用、综合、评价；给予学生现象，他们能用数学的眼光观察它、用数学的思维思考它、用数学的语言表达它。虽然最后都能得到知识，但后者才更直接指向核心素养。如果进行层次上的区分，则现象是形而下的，知识是形而上的。所以，现象教学与知识教学的区别，主要是观念上的而不是技术上的。现象教学着眼于人的发展，而不是让人去继承或记忆（知识）。
[1]何睦，罗建宇.高中数学章节起始课的教学研究与案例设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.
[2]孙四周.现象教学[M].长春：吉林教育出版社，2019.
[3]水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：10-14.
[4]孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：5-9.
[5]李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：15-19.
【关键词】起始课；现象教学；弧度制
【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）11-0043-05
【作者简介】孙四周，江苏省苏州市吴江盛泽中学（江苏苏州，215228）教师，正高级教师，江苏省特级教师。
起始课除了引入课题、介绍核心概念以外，往往会呈现对课题的整体看法以及研究的方法和路径，给后面的课程定下基调。因此起始课素为教材编写者所看重，也往往是教师着力最深的地方。
课题怎么引入？核心概念从哪里来？这就牵涉知识观、学生观和教学观了。现象教学主张直面真实的世界，通过对现象的观察、思考而形成心理表征和符号表征，即形成属于自己的语言表达，这就从根本上杜绝了简单灌输。下面就以“弧度制”教学为例，谈一谈现象教学视角下的起始课教学。
一、问题本身
“回到问题本身”是现象教学的主张，研究什么就直接面对它。当然这要求教师对课程有个明确的定位，即“它究竟是什么”。
用现象教学的观点看，这节课的“问题本身”不是弧度制，而是“角的度量”，弧度制只是“度量”方式之一。要让学生面对一个几何实体———角，而不是面对一个知识点———弧度制。如此一来，学生要做的事情就很多了，比如：明显可感觉到角是有大小，但什么是“角的大小”，怎樣进行角的度量、有哪些可能的度量方式、为什么要引进弧度制，以及什么是弧度制、它从哪里来又到哪里去……说穿了，“角”是一种现象，“角的度量”是人类活动，“弧度制”是人类活动的成果：用“1弧度”作为单位来度量，比较简单，更容易被应用，因此就更为重要，也就被当作了一个重要范式，并被上升为科学或文化，如是而已。
笔者的教学设计如下。
师：请同学们拿出纸和笔，一起画三角形。
师：先随便画一个三角形。接着，画一个小一点的三角形、再画一个更小的、更小的、小到看不见……
回到第一个三角形，现在来画一个大一点的、再画一个更大的、更大的、大到超出纸面，甚至可以超出这个宇宙……
这些三角形小到看不见，大到超出宇宙，它们的内角和———
生：都等于180毅。
师：大大小小的三角形，内角和都一样，为什么？
生：因为角的大小与边的长短无关，角的边是射线。
师：所以，我们度量角并不是度量角两边的长度。那是度量什么的？
生1：度量角对边的长度。
师：那么是不是对边越长，角就越大？
生2：不是。度量角所对的弧的长度。
师：是不是所对的弧越长，角就越大？
生3：还不是。是度量角所对弧的度数。
师：什么叫弧的度数？
生3：就是看那段弧含有多少度。
师：那么，1毅的弧是怎么定义的？
生：就是一个圆周的360分之一。
师：很好。我们回到了角度制的定义，就把问题看清楚了。“1毅角”是指圆周360分之一的弧所对的圆心角。那么，这里定义的1毅角与圆的半径长短有关系吗？
生：没有，都是把圆周360等分，每个圆的每一个份所对的圆心角都相等，都是1毅角。
师：那么，给你一个圆，你会把它360等分吗？
生：不会。
师：如此说来，要得到1毅的角并不容易。
生：用量角器。
师：量角器也是人造出来的，又该怎样制作量角器上的刻度线呢？实际上，人类需要测量的东西很多，最容易测量的是什么呢？
生：是长度。
师：那面积呢？体积呢？
生：面积、体积等都不是直接测量的，是通过长度计算出来的。
师：是的。就算是温度、重量、电流强度等，这些与长度无关的量，也都转化为对长度的测量，比如温度计、杆秤、电流表等。就是对时间的测量，也是转化为长度的。这些都不奇怪，人的眼睛能够看到的就是长度。那么，角的测量是不是也这样呢？
师：现在，你自己可以画一个圆周……但是你手里并没有它的360分之一，你有什么呢？
生：有半径。
师：如果我们用半径长来量出一段圆弧，再画出这段圆弧所对的圆心角，是不是可以确定出一个角来？
生（疑惑）：什么叫“确定出一个角”？
师：在不同半径的圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角是否相等呢？
我们来画几个看看（图1）。
操作：拿出几段长度不同的漆包线（软硬适度，便于弯折的那种，颜色要鲜艳一点）。用这些长度做半径画同心圆，再把漆包线弯成弧形，截取一段弧，画出所对的圆心角。
由此可以看到，在不同的圆里，弧长等于半径长的弧所对的圆心角大小相等。这个角很特别，我们就称它是1弧度的角，记为1rad。教师写出完整定义（此处略）。
师：定义1rad的角，是想干什么？
生：可以用这个角去度量其他角。
师：你能画出2rad的角吗？
生：两个半径长的弧所对的圆心角，用半径长的漆包线截取两次即可。
师：3rad的角呢？ 生：截3次。
二、联系与结构
任何一个独立的概念都是没有价值的，也是不容易记住的。在新的概念形成后，就要和原先的认知体系建立联系，向着结构化方向发展。
师：我们来画一个稍微大一点的角，6弧度的。
说明：上面已经画过2弧度、3弧度的角，可是在画6弧度的角时学生犹豫了起来。原因是：“6弧度的角”有没有超过1周角？这不是能用眼睛看出来的，必须经过精细的计算。
上面做了两个方面的事情，一是给定弧度数，画角；二是给定角，“度量”出它的弧度数。延续了“角的度量”的初衷，并把数学定义落实到具体情境中。在“求直角的弧度数”的时候学生还需要人为添加一个圆，这是对概念的应用，也加深了他们对弧度制的理解。
在这个过程中出现了“360毅=2仔弧度”，自然导出弧度制和角度制的换算。在应用中理解，在应用中感悟出新的知识，是很好的策略。
师：角的弧度数上限可以到多少？下限可以到多少？中间可以取哪些值？
生：正的可到无穷大，负的可到无穷大，中间可以取任意实数。
接下来是历史介绍，从度分秒制、弧度制、密位制，谈角的度量演化史，让学生了解人类的探索历程，在具体教学时可详可略。
在谈背景与展望时，应当注意以下几点：
（1）注重人类思想进步的脉络，略去琐碎的细节，对细节的过分关注不利于对事物的整体理解。
（2）描述前景时应向学生介绍能听懂的，或者稍加解释就能听懂的部分，完全听不懂的则不介绍。比如在本节课上，就不适合介绍炮兵是怎样用“密位”瞄准目标的，尽管它很有趣。
（3）起始课上要不要介绍整个课程（一整章或一整节）的概念图？笔者认为没有必要，除非学生能懂。当然，概念图在总结课上是很有价值的。
四、结语
鉴于起始课为后续教学“定了调”，故尤其要“以学定教”。
教师对知识的了解肯定远远多于教材所给予的，因此要注意别把课堂变成知识的展示。弧度制这节课，笔者反复让学生画图，就是要让他们充分活动，以获得切身体验，体验过的才能被感悟。现象教学不排斥讲授法，但只能讲授学生无法生成的内容，比如学术名词、人为约定、专用符号等；现象教学也不排斥情境教学法，真实的情境就是现象。因此，现象教学可以吸收以前诸多教学法的优点，使得学生在真实的现象面前进行真实的思考、获得属于自己的实在的知识。
给予学生知识，他们能学会，路径是了解、理解、掌握、应用、综合、评价；给予学生现象，他们能用数学的眼光观察它、用数学的思维思考它、用数学的语言表达它。虽然最后都能得到知识，但后者才更直接指向核心素养。如果进行层次上的区分，则现象是形而下的，知识是形而上的。所以，现象教学与知识教学的区别，主要是观念上的而不是技术上的。现象教学着眼于人的发展，而不是让人去继承或记忆（知识）。
【参考文献】
[1]何睦，罗建宇.高中数学章节起始课的教学研究与案例设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2019.
[2]孙四周.现象教学[M].长春：吉林教育出版社，2019.
[3]水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：10-14.
[4]孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：5-9.
[5]李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论：中学教育教学，2018（03）：15-19.