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判断函数单调性时易忽视的一种特殊情况
例1 已知函数[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是减函数，求实数[a]的取值范围.
错解 [fx=-x2+2ax-1]，因为[fx]在[R]上是减函数，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1 正解 [fx<0]恒成立的充要条件并不是[fx]在[R]上是减函数.
事实上， 当[a=1]时，[fx=-x-12].
则当[x∈-∞，1]时，[fx<0].
当[x∈1，+∞]时，[fx<0].
当[x=1时，fx=0]，而函数[fx]在[x=1]处连续.
因此[fx]在[R]上是减函数.
同理可知当[a=-1]时，[fx]在[R]上是减函数.
所以[a]的取值范围为[-1≤a≤1].（有条件的同学可用几何画板作出[a=±1]时的函数图象.）
点拨 错误的根源是将函数单调性的充分条件误认为是充要条件，在根据函数的单调性求解参数问题时最容易犯这种错误. 解决这类问题时既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数[f（x）]在区间[I]上单调递增（递减）等价于不等式[fx≥0（fx≤0）]在区间[I]上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证[fx=0]是否有有限个解.
求函数的极值点二种易混淆的情形
1. 误认为导数为零的点一定是极值点
例2 函数[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]处有极值[10]，求[a]，[b]的值.
错解 [fx=3x2-2ax-b]，由题意得，[f1=0]，且[f1=10]，
即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件.只有同时满足在[x0]附近导数的符号相反，才能判定在[x=x0]处取得极值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，还应检验[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近导数符号的变化情况.经检验发现只有[a=-4]，[b=11]符合条件.
2. 误认为极值只能在导数为零的点处取得
例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.
错解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2 于是[fx=2x-1 ， x<-2或x>3，-2x+1 ，-2 令[fx=0]得，[x=12.]
当[-20].
当[12 所以当[x=12]时，函数有极大值[254].
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件. 在确定极值时，只讨论满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了解答不完备的现象.正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处函数取到极小值0.
点拨 第一种情况误认为[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的充要条件，忽视了判断满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况.要求紧扣[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件这个原则.第二种情况误认为极值只能在导数为零的点处取得，对极值的认识缺乏延伸.要求同学们结合概念从函数图象的角度体会极值不仅仅在导数为零的点处取得.
求曲线的切线方程的三种不同情况
1. 已知在曲线上一点求切线方程
例4 求曲线[y=1x]在点[A]（1，1）处的切线方程.
解析 [f（x）=-1x2]，设切线的斜率为[k]，
[∴k=f（1）=-1].
[∴切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0].
2. 已知过曲线上一点求切线方程
例5 求曲线[fx=x3-3x2+2x]过原点的切线方程.
错解 [fx=3x2-6x+2]，设切线的斜率为[k]，则[k=f0=2]，所以所求曲线切线方程为[y=2x].
正解 “过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点，而过某点的切线，此点并不一定是切点. 本题过原点的切线有两条，其中一条以原点为切点，另一条以点[P32，-38]为切点.
[fx=3x2-6x+2]，设切线的斜率为[k].
（1）当切点是原点时，[k=f0=2]，所以所求曲线的切线方程为[y=2x].
（2）当切点不是原点时，设切点是[x0，y0]，
则有[y0=x30-3x20+2x0]，[k=y0x0=x20-3x0+2]①.
又[k=fx0=3x20-6x0+2]②，
由①②得，[x0=32]，[k=y0x0=-14].
故所求曲线的切线[y=-14x].
综上，切线方程为[y=2x]或[y=-14x.]
3. 已知过曲线外的一点求切线的方程
例6 求过点[A（2，0）]且与曲线[y=1x]相切的直线方程.
解析 [f（x）=-1x2]，设切线的斜率为[k].
设切点[Px0，y0]，则[y0=1x0x0≠0].
[∴k=-1x02]，切线方程为[y-y0=-1x02（x-x0）]，
即[y-1x0=-1x02（x-x0）].
又[∵切线方程过点A2，0]，
即[0-1x0=-1x02（2-x0）x0≠0]，
[∴x0=1，切点P1，1，]
[故切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0].
点拨 对这三种情况，首先要判断点是否在曲线上，其次看曲线上的是否作为切点. “过曲线上某点”与“在曲线上某点处”是不同的. 在某点处的切线表明此点是切点；而过某点的切线，此点并不一定是切点，应该分是切点和不是切点两种情况来考虑.
同学们在以下几个方面经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等思维过程，就能改进自己的学习方式，体会学习的成就感.如：在知识形成过程的“关键点”，在应用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”，在数学知识之间的“联接点”，在数学问题研究的“发散点”，在思维发展的“临界点”.
例1 已知函数[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是减函数，求实数[a]的取值范围.
错解 [fx=-x2+2ax-1]，因为[fx]在[R]上是减函数，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1
事实上， 当[a=1]时，[fx=-x-12].
则当[x∈-∞，1]时，[fx<0].
当[x∈1，+∞]时，[fx<0].
当[x=1时，fx=0]，而函数[fx]在[x=1]处连续.
因此[fx]在[R]上是减函数.
同理可知当[a=-1]时，[fx]在[R]上是减函数.
所以[a]的取值范围为[-1≤a≤1].（有条件的同学可用几何画板作出[a=±1]时的函数图象.）
点拨 错误的根源是将函数单调性的充分条件误认为是充要条件，在根据函数的单调性求解参数问题时最容易犯这种错误. 解决这类问题时既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数[f（x）]在区间[I]上单调递增（递减）等价于不等式[fx≥0（fx≤0）]在区间[I]上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证[fx=0]是否有有限个解.
求函数的极值点二种易混淆的情形
1. 误认为导数为零的点一定是极值点
例2 函数[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]处有极值[10]，求[a]，[b]的值.
错解 [fx=3x2-2ax-b]，由题意得，[f1=0]，且[f1=10]，
即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件.只有同时满足在[x0]附近导数的符号相反，才能判定在[x=x0]处取得极值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，还应检验[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近导数符号的变化情况.经检验发现只有[a=-4]，[b=11]符合条件.
2. 误认为极值只能在导数为零的点处取得
例3 求函数[fx=x2-x-6]的极值.
错解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2
当[-2
当[12
正解 [fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件. 在确定极值时，只讨论满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值.在上述解法中，显然忽视了讨论[x=-2]和[x=3]处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了解答不完备的现象.正确的结果还应包括在[x=-2]和[x=3]处函数取到极小值0.
点拨 第一种情况误认为[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的充要条件，忽视了判断满足[fx=0]的点[x0]附近导数的符号变化情况.要求紧扣[fx0=0]是可导函数[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要条件而非充分条件这个原则.第二种情况误认为极值只能在导数为零的点处取得，对极值的认识缺乏延伸.要求同学们结合概念从函数图象的角度体会极值不仅仅在导数为零的点处取得.
求曲线的切线方程的三种不同情况
1. 已知在曲线上一点求切线方程
例4 求曲线[y=1x]在点[A]（1，1）处的切线方程.
解析 [f（x）=-1x2]，设切线的斜率为[k]，
[∴k=f（1）=-1].
[∴切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0].
2. 已知过曲线上一点求切线方程
例5 求曲线[fx=x3-3x2+2x]过原点的切线方程.
错解 [fx=3x2-6x+2]，设切线的斜率为[k]，则[k=f0=2]，所以所求曲线切线方程为[y=2x].
正解 “过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点，而过某点的切线，此点并不一定是切点. 本题过原点的切线有两条，其中一条以原点为切点，另一条以点[P32，-38]为切点.
[fx=3x2-6x+2]，设切线的斜率为[k].
（1）当切点是原点时，[k=f0=2]，所以所求曲线的切线方程为[y=2x].
（2）当切点不是原点时，设切点是[x0，y0]，
则有[y0=x30-3x20+2x0]，[k=y0x0=x20-3x0+2]①.
又[k=fx0=3x20-6x0+2]②，
由①②得，[x0=32]，[k=y0x0=-14].
故所求曲线的切线[y=-14x].
综上，切线方程为[y=2x]或[y=-14x.]
3. 已知过曲线外的一点求切线的方程
例6 求过点[A（2，0）]且与曲线[y=1x]相切的直线方程.
解析 [f（x）=-1x2]，设切线的斜率为[k].
设切点[Px0，y0]，则[y0=1x0x0≠0].
[∴k=-1x02]，切线方程为[y-y0=-1x02（x-x0）]，
即[y-1x0=-1x02（x-x0）].
又[∵切线方程过点A2，0]，
即[0-1x0=-1x02（2-x0）x0≠0]，
[∴x0=1，切点P1，1，]
[故切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0].
点拨 对这三种情况，首先要判断点是否在曲线上，其次看曲线上的是否作为切点. “过曲线上某点”与“在曲线上某点处”是不同的. 在某点处的切线表明此点是切点；而过某点的切线，此点并不一定是切点，应该分是切点和不是切点两种情况来考虑.
同学们在以下几个方面经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等思维过程，就能改进自己的学习方式，体会学习的成就感.如：在知识形成过程的“关键点”，在应用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”，在数学知识之间的“联接点”，在数学问题研究的“发散点”，在思维发展的“临界点”.